Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1331 вуз, 5514 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Нижегородский Государственный Технический Университет им. Р.Е. Алексеева
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Учебное пособие_Численные методы -26 -дек_2014 (97-2003)

.pdf
Скачиваний:
337
Добавлен:
11.03.2016
Размер:
7 Мб
Скачать
☆

Рис. 7.14. Методы Эйлера (решение в Microsoft Excel)

Рис. 7.14. (окончание)

Найдем аналитическое решение:

2 p (t) 4 p(t) 20 0,

dp

2 p 10

 

dt

 

 

p(0) 20,

0

.

 

Общее однородное решение:

dp

2 p 0 ,

 

dp

2dt ,

ln( p) 2t C ,

p(t) e 2t C

Ce 2t .

dt

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

221

 

 

Частное неоднородное решение:

p C C

C(t)e

2t

,

dp

C e

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

2t

2Ce

2t

 

2Ce

2t

 

 

 

 

 

 

10e

2t

dt

5e

2t

,

p

 

 

 

2t

2Ce

2

 

 

10 0

,

5e

2t

e

2t

 

 

 

t

,

 

 

C

 

 

подставляем в исходное уравнение:

 

2t

10

,

C

 

 

10

10e

2t

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2t

 

e

 

 

 

 

e

 

 

5

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7.15. Сравнение результатов расчетов

Общее неоднородное решение:

p(t) Ce

2t

5

,

p(0) Ce

0

5

C 5

20

,

 

 

Частное решение:

p(t) 15e 2t 5 .

 

Сравним аналитическое решение

Microsoft Excel (рис. 7.15).

C 15

.

 

с решениями, полученными в

Примеры для самостоятельного решения

Для заданных функций спроса и предложения найти зависимость равновесной цены от времени, при заданном начальном моменте времени:

1-й вариант:

2-й вариант:

3-й вариант:

4-й вариант:

222

223

Контрольные вопросы

1.Что такое обыкновенное дифференциальное уравнение?

2.Какие типы методов решения ОДУ вы знаете?

3.В чем суть метода Пикара?

4.Изложите основные пункты алгоритма по методу Рунге-Кутта четвертого порядка.

5.Какие неявные методы Вы знаете?

6.Сформулируйте условие устойчивости.

7.Перечислите подвиды метода Эйлера решения ОДУ.

8.В чем отличие явного от неявного метода Эйлера?

9.Как получить более точное решение ОДУ?

10.Как оценить погрешность результата при решении ОДУ?

224

А. Пуанкаре
(1854-1912)

8. Система дифференциальных уравнений

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых требовалось определить координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени при различных воздействиях.

Основой теории дифференциальных уравнений стало дифференциальное исчисление, созданное Лейбницем и Ньютоном. Сам термин «дифференциальное уравнение» был предложен в 1676 г. Лейбницем. Из огромного числа работ XVIII в.

по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера, Лагранжа, Лапласа.

Новый этап развития теории дифференциальных уравнений начинается с работ Анри Пуанкаре. Созданная им «качественная теория дифференциальных уравнений» вместе с теорией функций комплексных переменных легла в основу современной топологии.

Качественная теория дифференциальных уравнений, или, как теперь её чаще называют, теория динамических систем, сейчас активно

развивается и имеет важные применения в естествознании.

8.1. Общие сведения

Система обыкновенных дифференциальных уравнений вида:

dy

a

 

x y

a

 

x y

 

 

... a

x y

 

b x ,

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

11

 

1

12

 

 

2

1n

 

 

n

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

x y

a

 

 

x y

 

... a

 

x y

 

b

x ,

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

2

 

n

dx

21

1

 

 

 

2n

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

x y

a

 

 

x y

 

... a

 

x y

 

b

x ,

n

n1

n2

2

 

n

 

 

 

1

 

 

 

nn

 

 

n

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где aij(x) и bi(x) известные, а yj(x) неизвестные функции, i=1,2,…,n, j=1,2,…,n, называется линейной системой дифференциальных уравнений.

При описании линейных систем дифференциальных уравнений удобнее пользоваться векторной (матричной) формой записи. Обозначим

225

Y

y

1

 

 

 

 

y

2

 

...

 

 

 

 

 

 

yn

     

,

Y '

dY

dx

 

     

y

'

1

 

 

y2

'

...

 

 

 

 

 

yn '

,

 

a

 

x

a

x ...

 

 

11

x

 

12

x ...

 

 

 

A x

a

21

a

22

 

 

 

 

 

 

 

...

 

...

...

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

a

n1

a

n2

, , ,

 

 

 

 

 

 

a

x

 

1n

 

 

a

2n

x

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

a

nn

x

 

 

 

,

b x

b

x

 

1

 

 

b2

x

 

...

 

 

 

 

 

b

n

x

 

 

 

.

Тогда линейная система дифференциальных уравнений в векторной (матричной) форме записывается в виде Y'=A(x)Y+b(x) или, что то же

самое, в виде

dY dx

A x Y

b x

.

Матрица A называется матрицей системы (матрицей левых частей), а вектор–функция b(x) неоднородностью системы.

Система Y'=A(x)Y+b(x) называется неоднородной линейной системой дифференциальных уравнений, а системаY'=A(x)Y однородной линейной системой.

8.2. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений

Простейшая однородная система дифференциальных уравнений имеет следующий вид:

где k, l, m, n – числовые коэффициенты. В частности, они могут быть нулевыми, а x(t) и y(t) – это неизвестные функции. В качестве

независимой переменной выступает переменная t. и первые

производные неизвестных функций x(t) и y(t) соответственно.

Решить систему дифференциальных уравнений, значит найти такие функции x(t) и y(t), которые удовлетворяют и первому, и второму уравнению системы.

Найденный ответ записывают в виде общего решения системы

дифференциальных уравнений x t ,y t .

Для системы ДУ можно решить задачу Коши, то есть, найти частное решение системы, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Систему можно переписать в виде

xt kx ly,

yt mx ny.

226

8.3. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений

Неоднородная система дифференциальных уравнений, которая в большинстве случаев может встретиться вам в задачах, имеет следующий вид:

По сравнению с однородной системой в каждом уравнении дополнительно добавляется некоторая функция, зависящая от t. Функции f(t) и g(t) могут быть константами (причем, по крайне мере, одна из них не равна нулю), экспонентами, синусами, косинусами и т.д.

8.4.Численные методы решения систем дифференциальных уравнений

Метод Эйлера (простой)

Простейшим и исторически первым численным методом решения задачи Коши является метод Эйлера. Пусть на отрезке [a, b] имеем задачу Коши:

y' f (x, y),

y(x ) y .0 0

Метод основывается на том, что дифференциальное уравнение может быть решено на основе представления искомой функции в ряд Тейлора

(причем из разложения в ряд Тейлора берется

только

первая

производная). Тогда решение представимо в виде

y f (x

) f '(x )(x x )

.

0

0

0

Рис. 8.1. Геометрическая интерпретация одного шага метода Эйлера

227

Геометрическая интерпретация одного шага метода Эйлера

заключается в аппроксимации решения на отрезке [xi, xi+1] касательной

y

i 1

y

i

y x

x x

 

, проведенной в точке

x

, y

n

 

к интегральной кривой,

 

 

i

i

 

n

 

 

проходящей через эту точку (рис. 8.1).

 

 

 

 

 

Таким образом, после выполнения n шагов неизвестная интегральная кривая заменяется ломаной линией (ломаной Эйлера).

Разобьем отрезок [a; b] на n равных частей (заметим, что a=x0). Тогда j-я точка отрезка находится по формуле xj+1=xj+h, где h=(b-a)/n, j номер

шага.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получаем последовательность точек yj

искомого решения для

решения системы из n уравнений:

ij 1

ij

i

i

1i

 

2 j

 

nj

 

, где

 

,

 

i

 

 

 

y

y

h f

x , y

, y

 

,..., y

 

 

i 1, n

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

зависимая функция.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методы

Эйлера

легко

 

распространяется

 

на

системы

дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим метод Эйлера и его модификации для случая дифференциального уравнения второго порядка, которое приводится к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка. Для решения системы из двух уравнений расчетные формулы удобно записать без двойных индексов в следующем виде:

Метод Эйлера (первая модификация)

Первая модификация метода Эйлера в общем виде вычисляется по

 

 

 

 

 

 

h

f x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

двум формулам:

z

 

z

 

 

, y

, z

z

 

z

 

hf x

 

 

, y

 

, z

 

 

, из которых

1

i

 

i

i

 

1

1

1

 

i

 

2

i

i

i

 

 

 

 

i

i

i

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

 

 

первая формула

 

 

предсказывает

поведение

 

функции,

а вторая

корректирует. При этом: xi 1 xi h ,

x

 

 

x

 

 

h

i

1

i

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

Геометрическая интерпретация представлена на рис. 8.2. Касательная

к

кривой

 

Y(x) в точке (х0, у0) проводится с угловым коэффициентом

y

f x

, y

 

 

 

~

 

 

. С помощью метода Эйлера найдено значение

y1 ,

которое

0

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

~

в точке

используется затем для определения наклона касательной f x1 , y1

(х1, у1). Отрезок с таким наклоном заменяет первоначальный отрезок касательной от точки (x1-x0)/2 до точки х1. В результате получается уточненное значение искомой функции у1 в этой точке.

228

В нашем случае нам на каждом последующем шаге нужно одновременно решать оба уравнения и для y, и для z, т.е. надо решать четыре уравнения при каждом x:

.

Но из преобразований следует, что решение на каждом шаге можно свести к решению двух уравнений:

,

.

Рис. 8.2. Первая модификация метода Эйлера

Метод Эйлера (вторая модификация)

Вторая модификация метода Эйлера в общем виде делится на два этапа:

Графически модификация сведена к нахождению биссектрисы угла между касательной к точке xi и хордой xi- xi+1 (рис. 8.3).

229

Рис. 8.3. Графическая иллюстрация второй модификации метода Эйлера

В нашем случае нам на каждом последующем шаге нужно одновременно решать оба уравнения и для y, и для z, т.е. надо решать четыре уравнения при каждом x:

,

,

,

.

Метод Эйлера (третья модификация)

Третья модификация метода Эйлера в общем виде вычисляется в два этапа:

.

Графически задаем касательную в точке xi и в точке

x

i

1

 

 

2

 

 

, затем вторая

касательная параллельно переносится в точку xi и строится биссектриса угла, образованного двумя касательными (рис. 8.4).

230

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности