Основы высшей математики для инженеров 2009

F(x, y(x)) J 0 относительно x.

Так как производная функции, тождественно равной нулю, также

равна нулю, то полная производная dF 0. Но в силу соотношения (6) dx

имеем

dF HF HF dy dx Hx Hy dx

и поэтому

HF HF dy 0,

Hx Hy dx

откуда

4.4. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции двух переменных

Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших по рядков. Формула Тейлора для функции двух переменных.

4.4.1. Частные производные высших порядков

Пусть задана функция двух переменных z f (x, y). Частные произ

ми переменных x и y. Поэтому от них можно снова находить частные производные. При этом частных производных второго порядка от

212 Глава 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

функции двух переменных — четыре, так как каждую из функций Hz и

Hx

Hz можно дифференцировать как по x, так и по y.

Hy

Вторые частные производные обозначают так:

Производные второго порядка можно снова дифференцировать

Hnz

HxpHyn p

есть производная n го порядка; здесь функция z сначала p

раз дифференцируется по x, а потом n p раз по y.

П р и м е р. Вычислить частные производные второго порядка от функции f (x, y) x2 y y3.

Естественно поставить вопрос, зависит ли результат дифференци рования функции нескольких переменных от порядка дифференци рования по разным переменным. Справедлива следующая теорема.

4.4.2. Дифференциалы высших порядков

Дифференциалом второго порядка функции z f (x, y) называется дифференциал от дифференциала (первого порядка) этой функции:

d2 z d(dz).

Аналогично определяется дифференциал высшего порядка, например, d3z d(d2 z).

Если z f (x, y), где x, y — независимые переменные и f имеет не прерывные частные производные второго порядка, то

dz (4x 3y)dx ( 3x 2 y)dy;

d2 z 4dx2 6dxdy 2dy2.

Здесь можно поступить и по другому. Возьмем дифференциал от пер вого дифференциала, помня, что dx и dy не зависит от x, y:

d2 z (4dx 3dy)dx (3dx 2dy)dy 4dx2 6dxdy 2dy2.

Отсюда

y b -y, -+ (-x)2 (-y)2 , перепишем формулу Тейлора в виде

Аналогичная формула имеет место для любого n.

4.5. Экстремум функции двух переменных

Определение экстремума функции двух переменных. Необходимые ус ловия существования экстремума. Достаточные условия существования экстремума. Примеры исследования функций на экстремум.

4.5.1. Определение экстремума функции двух переменных

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция z f (x, y) имеет максимум в точке

M0(x, y), если f (x0, y0) f (x, y) для всех точек (x, y), достаточно близ ких к (x0, y0) и отличных от нее.

216 Глава 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функция z f (x, y) имеет минимум в точке

M0(x0, y0), если f (x0, y0) f (x, y) для всех точек (x, y), достаточно близ ких к точке (x0, y0) и отличных от нее.

Максимум и минимум функции называются экстремумами.

П р и м е р.

Функция z (x 1)2 (y 2)2 1 достигает минимума при x 1, y 2. Действительно, f (1, 2) 1, и так как (x 1)2 и (y 2)2 всегда по

ложительны при x 1, y 2, то (x 1)2 (y 2)2 1 1,

т. е. f (x, y) f (1, 2).

Рис. 4.5

4.5.2. Необходимые условия существования экстремума

Теорема. Если функция z f (x, y) достигает экстремума при x x ,

y y0, то каждая частная производная первого порядка от z или обра2 щается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.

M62 0

Доказательство. Пусть y y0. Тогда f (x, y0) является функцией од ного переменного x. Так как при x x0 она имеет экстремум, то

Hz

Hx x x0

y y0

Hz

или равно 0, или не существует. Аналогично или обращается

Hy x x0

y y0

в 0, или не существует.

Эта теорема не является достаточной, так как еще не гарантирует

наличие экстремума. Например, функция z x2 y2 имеет Hz

Hx

Hz 2 y. Частные производные равны 0 в начале координат, однако

Hy

экстремума нет, так как в сколь угодно близких к началу координат точках z принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Точки, в которых частные производные Hz , Hz равны 0 или не су

Hx Hy

ществуют, называются критическими точками.

Теорема (достаточные условия существования экстремума). Пусть в не2 которой области, содержащей точку M0(x0, y0), функция f (x, y) имеет не2 прерывные производные до третьего порядка включительно; пусть, кроме

(в этом случае нужно дополнительное исследование).

4.5.4. Примеры исследования функций на экстремум

П р и м е р. Исследовать на максимум и минимум функцию z x2 xy y2 3x 2 y 1.

Решение. 1. Находим критические точки

Решая систему уравнений

2 x y 3 0,

x 2 y 2 0,

218 Глава 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

а именно

zmin 4 .

3

П р и м е р. Исследовать на экстремум функцию

Mz x3 62y3 3xy.

Решение. 1. Найдем критические точки, пользуясь необходимыми условиями экстремума:

Hz 3x2 3y 0, &Hx

&

&Hz 3y2 3x 0. &Hy

Следовательно, в точке (1, 1) данная функция имеет минимум

zmin 1.

4. Исследуем характер второй критической точки (0, 0):

AC B2 9 0.

Следовательно, в точке (0, 0) функция не имеет ни максимума, ни ми нимума.

4.6. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных. Условный экстремум. Необходимые условия

Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замк нутой области. Пример M62исследования функции на наибольшее и наи меньшее значения. Условный экстремум. Уравнение связи. Необходи мые условия существования экстремума.

4.6.1.Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных

вограниченной замкнутой области

Пусть функция z f (x, y) непрерывна в ограниченной замкнутой области G и дифференцируема внутри нее. Тогда она имеет в этой об ласти наименьшее и наибольшее значения, которые достигаются либо внутри области, либо на ее границе. Таким образом, точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения, являются либо точками экстремума, либо граничными точками области.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функ ции в ограниченной замкнутой области G, следует найти значения функции в критических точках, а также наибольшее и наименьшее значения на границе, а затем из всех этих значений выбрать наиболь шее и наименьшее.

220 Глава 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

4.6.2.Пример исследовании функции на наибольшее

инаименьшее значения

Найти наибольшее и наименьшее значения

z x2 y2 xy x y

в области x 0, y 0, x y 3.

Решение. Находим критические точки:

Hz 2 x y 1 0 &Hx

&

&Hz 2 y x 1 0. &Hy

Таким образом, критическая точка имеет координаты ( 1, 1). Значе ние функции в этой точке z(M) 1.

y 0. На этой прямой имеем: z x2 x; 3 x 0.

z 2 x 1 0 x 1 ; 2