06. Система координат. Координаты точки

Заменасистемыкоординат:постановказадачииобозначения

В оставшейся части лекции рассматривается следующая задача: пусть в пространстве заданы две системы координат и известны координаты некоторой точки в одной из них. Требуется найти координаты той же точки в другой системе координат. Ту систему координат, в которой координаты точки известны, будем называть старой, а ту, в которой их надо найти, новой. Ясно, что для того, чтобы решить задачу, надо знать, как связаны между собой старая и новая системы координат. Поэтому будем считать известными координаты начала новой системы координат в старой системе и координаты каждого из векторов, образующих базис новой системы координат, в базисе старой системы.

координат, (p1, p2, p3) координаты точки P в старой системе координат, а (t11, t21, t31), (t12, t22, t32) и (t13, t23 , t33) координаты векторов ~c1 , ~c2 и

координаты точки M в старой системе координат. Требуется найти ее координаты в новой системе. Обозначим их через (x1′ , x2′ , x3′ ).

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Заменасистемыкоординат:выводформул

стороны равны (x1 , x2 , x3), а с другой

(p1 + t11x1′ + t12x2′ + t13x3′ , p2 + t21x1′ + t22x2′ + t23x3′ , p3 + t31x1′ + t32x2′ + t33x3′ ).

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Формулызаменысистемыкоординат

В силу единственности разложения вектора по базису в пространстве (см. теорему 2 в лекции 2), имеют место равенства

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Заменасистемыкоординат:решениеисходнойзадачи(1)

Формулы (6) позволяют найти координаты точки в старой системе координат (x1 , x2 и x3 ), если известны их координаты в новой системе (x1′ , x2′ и x3′ ). Между тем исходная постановка задачи была прямо противоположной: по координатам точки в старой системе координат найти ее координаты в новой системе. Тем не менее, можно считать, что формулы (6) дают решение исходной задачи.

Для того, чтобы убедиться в этом, посмотрим на формулы (6) как на систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными x1′ , x2′ , x3′ :

(Эта точка зрения естественна, поскольку, в соответствии с исходной постановкой задачи, величины x1′ , x2′ и x3′ неизвестны, а все остальные величины, входящие в систему (8), а именно, xi , pi , и tij для всех

1 6 i, j 6 3, известны).

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Заменасистемыкоординат:решениеисходнойзадачи(2)

Матрицей системы (8) является матрица перехода от старого базиса к новому. В силу замечания 1, определитель этой матрицы не равен нулю. Согласно теореме Крамера для систем третьего порядка (см. теорему 2 в лекции 1), отсюда вытекает, что система (8) имеет единственное решение. Найдя это решение, мы найдем выражение координат точки M в новой системе координат через ее координаты в старой системе. Мы не будем приводить соответствующие формулы в общем виде, так как они выглядят довольно громоздко.

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Формулыповоротасистемыкоординатнаплоскости(1)

Рассмотрим важный частный случай формул (7). Предположим, что старая система координат на плоскости прямоугольная декартова, а новая система координат получается из старой поворотом плоскости вокруг начала координат старой системы на некоторый угол α (см. рис. 2).

O~

b1

Рис. 2

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Формулыповоротасистемыкоординатнаплоскости(2)

В частности, начало новой системы координат совпадает с началом старой системы, и потому p1 = p2 = 0. Нетрудно понять, что матрица перехода от старого базиса к новому имеет в данном случае вид

(она называется матрицей поворота системы координат на угол α). Следовательно, формулы замены системы координат принимают вид

Эти формулы называются формулами поворота системы координат на угол α.

Лекция 6: Система координат. Координаты точки