Теория Графов 5

Определение и основные свойства двусвязных графов

Доказательство необходимости

(=)) Условие о том, что любые две вершины лежат на одном

цикле можно переформулировать следующим образом между любыми двумя вершинами есть две непересекающиеся простые цепи (за исключением концевых вершин )

Возьмем произвольную вершину u 2 V

Обозначим через U множество вершин, которые имеют две непересекающиеся простые цепи, соединяющие их с u

Будем считать также, что u 2 U

Отметим, что каждая вершина x смежная u лежит в U (в противном случае ребро ux было бы мостом, что противоречит двусвязности)

Определение и основные свойства двусвязных графов

Доказательство необходимости

(=)) Условие о том, что любые две вершины лежат на одном

цикле можно переформулировать следующим образом между любыми двумя вершинами есть две непересекающиеся простые цепи (за исключением концевых вершин )

Возьмем произвольную вершину u 2 V

Обозначим через U множество вершин, которые имеют две непересекающиеся простые цепи, соединяющие их с u

Будем считать также, что u 2 U

Отметим, что каждая вершина x смежная u лежит в U (в противном случае ребро ux было бы мостом, что противоречит двусвязности)

Возьмем вершину v 2 V , несмежную u

Определение и основные свойства двусвязных графов

Доказательство необходимости

(=)) Условие о том, что любые две вершины лежат на одном

цикле можно переформулировать следующим образом между любыми двумя вершинами есть две непересекающиеся простые цепи (за исключением концевых вершин )

Возьмем произвольную вершину u 2 V

Обозначим через U множество вершин, которые имеют две непересекающиеся простые цепи, соединяющие их с u

Будем считать также, что u 2 U

Отметим, что каждая вершина x смежная u лежит в U (в противном случае ребро ux было бы мостом, что противоречит двусвязности)

Возьмем вершину v 2 V , несмежную u

Покажем, что v 2 U

Определение и основные свойства двусвязных графов

Доказательство необходимости

(=)) Условие о том, что любые две вершины лежат на одном

цикле можно переформулировать следующим образом между любыми двумя вершинами есть две непересекающиеся простые цепи (за исключением концевых вершин )

Возьмем произвольную вершину u 2 V

Обозначим через U множество вершин, которые имеют две непересекающиеся простые цепи, соединяющие их с u

Будем считать также, что u 2 U

Отметим, что каждая вершина x смежная u лежит в U (в противном случае ребро ux было бы мостом, что противоречит двусвязности)

Возьмем вершину v 2 V , несмежную u

Покажем, что v 2 U

Определение и основные свойства двусвязных графов

Доказательство необходимости

Определение и основные свойства двусвязных графов

Доказательство необходимости

î/ï Пусть v 2= U

Определение и основные свойства двусвязных графов

Доказательство необходимости

î/ï Пусть v 2= U

Среди всех простых цепей, соединяющую вершину v с какой-нибудь вершиной из U, выберем цепь кратчайшей длины

Определение и основные свойства двусвязных графов

Доказательство необходимости

î/ï Пусть v 2= U

Среди всех простых цепей, соединяющую вершину v с какой-нибудь вершиной из U, выберем цепь кратчайшей длины

P : v = v0;v1;:::;vt 1;vt = w

Конечно, w 2 U

Определение и основные свойства двусвязных графов

Доказательство необходимости

î/ï Пусть v 2= U

Среди всех простых цепей, соединяющую вершину v с какой-нибудь вершиной из U, выберем цепь кратчайшей длины

P : v = v0;v1;:::;vt 1;vt = w

Конечно, w 2 U

ôàêò 1) никакая вершина цепи P(кроме w) не принадлежит U

Обратное, противоречило бы минимальности длины P

Определение и основные свойства двусвязных графов

Доказательство необходимости

î/ï Пусть v 2= U

Среди всех простых цепей, соединяющую вершину v с какой-нибудь вершиной из U, выберем цепь кратчайшей длины

P : v = v0;v1;:::;vt 1;vt = w

Конечно, w 2 U

ôàêò 1) никакая вершина цепи P(кроме w) не принадлежит U

Обратное, противоречило бы минимальности длины P