МАТ. АНАЛИЗ, Диф-ое исч-ие ф-ции одной переменной Конспект лекций Часть 2 Николаева

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x x0 называется точкой локального максимума (минимума) функции y y(x), если 0 x x0 ,x0

y(x) y x0 (y x y x0 ). Точки локального максимума или минимума назы-

ваются токами локального экстремума (или просто точками экстремума) (рис.15).

y

y y(x)

0, x 1

ПРИМЕР. y

2, x 1

y

y 1 2, y x 0 x 1 x 1 –

Рис. 16

31

ТЕОРЕМА (вторая теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на отрезке функция достигает на этом отрезке своих наименьшего и наибольшего значений (без доказательства).

y

y f(x)

y y(x)

ЗАМЕЧАНИЕ. Непрерывная функция, заданная на интервале, может не иметь ни наименьшего, ни наибольшего значений (рис. 18).

y 0 недостижимы.

ТЕОРЕМА (Больцано – Коши). Пусть y y(x) непрерывна для всех x a,b и y(a) y b 0.Тогда существует точка c a,b такая, что y(c) 0.

Геометрический смысл этой теоремы ясно виден на рисунках: перейти с верхней полуплоскости y 0 на нижнюю y 0 , двигаясь вдоль графика не-

прерывной функции, не пересекая ось OX , нельзя (рис. 19, 20).

32

y

Без доказательства.

ТЕОРЕМА (о промежуточных значениях). Пусть функция y y(x) не-

прерывна для всех x a,b и m,M – ее наименьшее и наибольшее значения соответственно. Тогда для любого значения m,M найдется c a,b такое,

что y(c) .

Теорема утверждает, что непрерывная функция принимает все промежуточные значения между своими наибольшим и наименьшим значениями.

Глава 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ,

ЕЕФИЗИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

Кпонятию производной приводят различные задачи из физики, механики, геометрии и других областей знания. Рассмотрим две такие задачи.

ЗАДАЧА О ВЫЧИСЛЕНИИ МГНОВЕННОЙ СКОРОСТИ. Пусть те-

ло движется с переменной скоростью и s t – путь, пройденный за время t.

Определить мгновенную скорость в любой момент времени t.

33

приближенное равенство тем точнее, чем меньше промежуток времени t, и если t1 t0 , то есть t 0, то можно утверждать, что

– мгновенная скорость в момент t t0 .

ЗАДАЧА О ПРОВЕДЕНИИ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ

Вначале дадим определение касательной к произвольной кривой в некоторой ее точке (известное определение касательной к окружности для произвольной кривой не подходит, например: ось OY имеет с параболой y x2 одну общую точку, однако касательной к ней не является).

Секущей будем называть прямую, проходящую через две точки, лежащие на кривой.

Рис. 21

34

– угловой коэффициент касательной.

Так как при решении обеих задач (и не только их) пришлось выполнять одни и те же действия, то для обозначения этих действий введем новое понятие.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции y y x в точке x x0 называ-

ется предел отношения ее приращения в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

y y x0 y x0 x x0 .

Геометрический смысл производной: производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

35

Физический смысл производной: производная функции в точке характеризует скорость ее изменения в окрестности этой точки. Отсюда следует, что если y x C const, то y x 0.

Так как из определения следует, что производная в разных точках, вообще говоря, различна, то она сама является функцией.

ЗАМЕЧАНИЕ. Очевидно, для того чтобы функция имела производную,

необходимо, чтобы она была непрерывной. Тогда y 0 (определение 2

x 0

непрерывности), поэтому при вычислении производной по определению необ-

0

ходимо раскрыть неопределенность .

0

ПРИМЕР. Вывести формулу вычисления производной функции y x.

y x x y x x x x.

Так как понятие производной связано с понятием касательной, то в тех точ-

ках, где график не имеет касательной, функция не имеет производной. Также ее нет в тех точках, где касательная к графику функции есть, но она перпендикулярна оси OX.

y

Рис. 23

y x1 не существует, так как предельные положения левой и правой се-

кущих различны (рис. 23).

y x2 не существует, так как предельное положение секущей в этой точке вертикально, то есть перпендикулярно оси OX (рис. 23).

36

y x3 tg0 0, y x4 tg 0 ( – тупой). y x5 tg 0 ( – острый),

– угол между касательной и положительным направлением ОХ (рис. 23).

причем эти производные равны между собой, то в точке x существует производная, причем f x f x f x .

3. если f x f x , то в точке x функция не имеет производной.

изводные неравны, значит, y 0 не существует. В других точках эта функция производную имеет.

37

ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y y x называется дифференцируемой в точке x, если ее приращение в этой точке, соответствующее приращению x, представимо в виде y y x x y x A x x x, где A const, а

lim x 0, то есть x – б.м. функция в точке x 0.

x 0

ТЕОРЕМА (необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции) Для того, чтобы функция y y x была дифференцируемой в неко-

торой точке x, необходимо и достаточно, чтобы y y x имела в этой точке конечную производную y x .

2.Достаточность: существует конечная производная y x

y A x x x, где x – б.м. в точке x 0.

Таким образом, мы доказали, что дифференцируемость функции в некоторой точке эквивалентна существованию в этой точке конечной производной,

поэтому процедуру вычисления производной называют дифференцированием.

38

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

ТЕОРЕМА (о производной сложной функции). Пусть функция u u x

дифференцируема в некоторой точке x, а функция y y u дифференцируема

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зададим x 0. Тогда функция u u x получит приращение u (быть может u 0), а функция y y u – приращение y.

Так как функция y y u дифференцируема в точке u u x , то по определе-

lim y lim y u u lim u u y u u x lim u u y u u x .

Итак, y y u u x , что и требовалось доказать.

Это сложная функция: y u, u 7x 8.

в некоторой окрестности точки x, дифференцируема в этой точке и y x 0.

Тогда обратная функция x x y дифференцируема в соответствующей точке

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зададим приращение y 0. Так как по условию теоремы о непрерывности обратной функции x x y и y y x строго моно-

40