Линейная, векторная алгебра. Аналитическая геометрия Конспект лекций Часть 1 Николаева

Координаты точек, лежащих в плоскости , связаны соотношением (3.38). Ес-

ли же M , то AM не перпендикулярен n AM,n 0, значит, координа-

ты такой точки не удовлетворяют полученному уравнению. Поэтому (3.38) – уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору. Заметим, что это уравнение линейно относительно x, y, z. Раскрыв скобки в (3.38), получим Ax By Cz Ax0 By0 Cz0 0 .

Обозначим D Ax0 By0 Cz0 , тогда уравнение (3.38) примет вид:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Любой ненулевой вектор n, перпендикулярный плос-

кости , называется ее нормальным вектором, или нормалью.

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ РАСПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ

Выясним, какие особенности в расположении плоскости влечет за собой равенство нулю одного или нескольких коэффициентов в уравнении (3.39).

71

5)By Cz 0 OX, O 0,0,0 проходит через OX .

6)Ax Cz 0 OY, O 0,0,0 проходит через OY .

7)Ax By 0 OZ, O 0,0,0 проходит через OZ .

11)Ax 0 x 0 – плоскость YOZ .

12)By 0 y 0 – плоскость XOZ .

13)Cz 0 z 0 – плоскость XOY .

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В ОТРЕЗКАХ

Пусть плоскость не параллельна ни одной из координатных осей и не проходит через начало координат. Тогда она отсекает на координатных осях отрезки a, b, c (рис. 46). Выведем уравнение такой плоскости.

72

Cc D 0 C D . c

Подставив А, В, С в общее уравнение, получим

D x D y D z D 0, D 0 a b

(3.40)

(3.40)– уравнение плоскости в отрезках.

ПРИМЕР. Вычислить объем тетраэдра, образованного плоскостями

2x 3y 4z 12 0, x 0, y 0, z 0.

Рис. 47

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТРИ ТОЧКИ

Пусть в некоторой пдск заданы три точки, не лежащие на одной прямой: A x1,y1,z1 , B x2,y2,z2 , C x3,y3,z3 . Известно, что через них проходит единственная плоскость .

Чтобы вывести ее уравнение, рассмотрим произвольную точку этой плоскости M x,y,z . Тогда AM,AB,AC – компланарные векторы, и их смешанное про-

изведение равно нулю: AM,AB,AC 0. Тогда по формуле (2.9) получим

(3.41) – уравнение плоскости, проходящей через три точки.

73

ЗАМЕЧАНИЕ. Если точки лежат на одной прямой, то векторы AB и AC коллинеарны и их соответствующие координаты пропорциональны. Поэтому в определителе (3.41) две строки пропорциональны и по свойству 6 определителей он тождественно равен нулю, что означает, что координаты любой точки M x,y,z удовлетворяют уравнению (3.41). Это иллюстрация того факта, что через прямую и любую точку можно провести плоскость.

ПРИМЕР. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки

A 1,2, 3 , B 0,1, 1 , C 7, 3,5 .

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между плоскостями называется любой из двух смежных двугранных углов, образованных плоскостями при их пересечении. Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0 или радиан.

Если 1 2 , то n1 n2 n1,n2 0 – условие перпендикулярности плоско-

стей.

74

ПРИМЕР. Найти угол между плоскостями

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Всякая линия в пространстве есть результат пересечения двух поверхностей. В частности прямую линию можно рассматривать как результат пересе-

чения двух плоскостей

1 : A1x B1y C1z D1 0, n1 A1,B1,C1

и

2 : A2x B2 y C2z D2 0, n2 A2,B2,C2 .

Если 1 не параллельна 2 , то есть n1 не коллинеарен n2 , то система уравнений

Ax1 B1y C1z D1 0

(3.42)

A2x B2 y C2z D2 0

определяет прямую линию в пространстве.

Уравнения (3.42) называются общими уравнениями прямой в пространстве.

Поэтому выведем более удобные уравнения, эквивалентные (3.42), то есть из бесконечного множества плоскостей, проходящих через данную прямую, выберем в некотором смысле более заметную пару.

75

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

(3.43) – векторное уравнение прямой в пространстве. Из (3.43) получаем:

(3.44) – параметрические уравнения прямой в пространстве, t R – параметр.

(3.45) – канонические уравнения прямой в пространстве, то есть уравнения пря-

мой, проходящей через точку A x0,y0,z0 параллельно вектору s m,n, p .

Заметим, что уравнения (3.45) задают прямую как результат пересечения плоскостей

x x0 y y0

m n

x x0 z z0 ,

одна из которых параллельна OZ , а вторая – OY или как

76

(3.46) – уравнения пространственной прямой, проходящей через две заданные точки.

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Рассмотрим прямые, заданные в некоторой пдск каноническими уравнениями:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между прямыми в пространстве называется угол между двумя пересекающимися прямыми, проходящими через произвольную точку пространства параллельно данным.

Из определения следует, что 1, 2 s1,s2 . Если 1, 2 , то

пространстве.

77

случае ноль в знаменателе писать принято: он означает, что направляющий вектор прямой (и сама прямая) параллелен плоскости XOZ . Эта прямая являет-

ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩИХ УРАВНЕНИЙ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Рассмотрим прямую , заданную общими уравнениями (3.42) в пространстве:

A1x B1y C1z D1 0

.

A2x B2 y C2z D2 0

Привести эти уравнения к каноническому виду можно двумя способами:

1) найти координаты какой-либо точки A x0, y0,z0 , лежащей на , ее

направляющий вектор s и написать уравнения (3.45);

2) найти координаты двух точек, лежащих на , и воспользоваться уравнениями (3.46).

1 способ. Координаты точки A – любое частное решение системы линейных уравнений (3.42). Эта система имеет бесконечное множество решений, так как ранги основной и расширенной матриц rA rA 2, а число неизвестных n 3.

s – направляющий вектор прямой , поэтому s n1, s n2 , где n1 A1,B1,C1

– нормаль плоскости 1, а n1 A2,B2,C2 – нормаль плоскости 2 . Из опреде-

ления векторного произведения векторов следует, что тогда s n1 n2 . Так как s – произвольный вектор, параллельный , то будем считать, что s n1 n2 .

78

x 2y 5z 5 0

ПРИМЕР. Привести уравнения прямой к канониче-

x y 3z 1 0

скому виду.

Найдем какое-нибудь частное решение этой системы: пусть, например,

x 2y 5

z 0 3y 6 y 2 x 1, то есть точка A 1,2,0 лежит на

x y 1

прямой.

1 8 3

2 способ. Найдем два произвольных частных решения системы уравнений, задающей прямую.

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Пусть в некоторой пдск заданы плоскость

79

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЩИХ ТОЧЕК ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Чтобы найти общие точки прямой : x x0 y y0 z z0 и плоскости m n p

: Ax By Cz D 0, надо решить систему линейных уравнений: