фарафонов теория вероятностей

3. M[ξ+ η]= M[ξ]+ M[η].

(Подробнее о сумме случайных величин см. п. 8). Математическое ожидание случайной величины η, являющейся

функцией случайной величины ξ, т.е. η= ϕ(ξ), определяется формулой

Определение. Дисперсией Dξ случайной величины ξ называется неслучайная величина, определяемая формулой

i=1

Свойства дисперсии:

1. D[С] = 0, если С – const;

2. D[С×ξ]=С2 × D[ξ]; (7.11а) 3. D[ξ+ η]= D[ξ]+ D[η], если ξ, η – независимые случайные ве-

личины.

Величина σξ = Dξ называется средним квадратическим от-

клонением случайной величины ξ.

Вероятностный смысл Мξ и Dξ заключается в том, что математическое ожидание дает среднее значение случайной величины, а дисперсия (и среднее квадратическое отклонение) характеризует степень ее отклонения от среднего значения.

Начальные моменты αk и центральные моменты βk определя-

ются в соответствии с выражением (7.9) формулами:

i=1

41

7.3. Непрерывная случайная величина

Определение. Случайная величина ξ называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна при всех значениях x.

Для любого из возможных значений x непрерывной случайной величины ξ выполняется условие (7.3); поэтому имеет смысл лишь вычисление вероятностей p(ξ B), где B=[a, b) конечный интервал (или объединение таких интервалов).

Иными словами, вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо конкретное значение равна нулю. Отличной от нуля является вероятность попадания в какой-то конечный интервал.

Для вычисления указанной вероятности используется общая формула (7.4).

Определение. Случайная величина ξ называется абсолютно непрерывной (распре­ ­деленной с некоторой плотностью), если существует такая интегрируемая, неотрицательная функция f(x), что при любом x:

-¥

Функция f(x), называемая плотностью распределения вероятностей, равна

Обычно непрерывной называют абсолютно непрерывную случайную величину. В соответствии с формулами (7.4) и (7.13) для вероятности попадания случайной величины в интервал (a£ξ<b) имеет место равенство

b

p(a£ξ<b)= ò f(x)dx. a

42

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины ξ называется неслучайная величина, определяемая равенством

-¥

Математическое ожидание функции η = ϕ(ξ) находится по аналогичной формуле

-¥

Свойства математического ожидания и дисперсии определяются прежними соотношениями (7.8) и (7.11а).

Начальные αk и центральные моменты βk определяются соответственно выражениями:

-¥

7.4. Функция случайных величин

Величина η = ϕ(ξ), являющаяся функцией случайной величины ξ, также является случайной величиной.

Основные задачи сводятся к определению ее характеристик – законов распределения и числовых характеристик по аналогичным характеристикам случайного аргумента.

Пусть ξ – дискретная случайная величина, заданная законом (рядом) распределения:

43

xi, pi = p(ξ = xi), (i = 1, 2, …, n).

Учитывая, что возможные значения yi случайной величины η

определяютсясоотношениями yi =ϕ(xi) и p(η= yi)= p(ξ = xi)= pi , получаем закон распределения для η:

Замечание. При неоднозначности функции ϕ(ξ)нескольким xi может отвечать одно yj (j = 1, 2, …, m, m < n). В этом случае соответствующие вероятности pi следует просуммировать.

Для числовых характеристик справедливы формулы, вытекаю-

щие из (7.9):

i=1

7.5. Примеры наиболее распространенных распределений случайных величин

Биномиальное распределение (распределение Бернулли)

Распределением Бернулли называется распределение случайной величины x – числа успехов в серии из n независимых одинаковых испытаний. Вероятности отдельных значений x = 0,1,2, ..., n находятся по формуле Бернулли

Условие нормировки для распределения Бернулли следует из формулы (бином Ньютона):

Числовые характеристики биномиального распределения можно найти разными способами. Можно прямо воспользоваться фор-

мулами (7.7), (7.11).

44

Альтернативный способ вычислений заключается в том, что случайную величину x представляют как сумму независимых случайных величин xk:

n

ξ = åξk. k=1

Пусть каждая случайная величина xk отвечает отдельному испытанию. Очевидно, что xk равна нулю с вероятностью q = 1 – p и равна единице с вероятностью p. Числовые характеристики xk определяются следующим образом:

M[ξk]=0×(1- p)+1× p= p , D[ξk]=02 ×(1- p)+12 × p- p2 = pq .

Математическое ожидание самой случайной величины x равно сумме математических ожиданий xk:

а дисперсия (учитывая независимость отдельных xk) равна сумме дисперсий xk:

Распределение Пуассона

Распределение Пуассона p(k)= λk e-λ широко применяется в те- k!

ории массового обслуживания. Например, оно определяет вероятность числа k вызовов на АТС в единицу времени при средней интенсивности вызовов l. Другими примерами могут служить поступление вызовов на пункт медицинской помощи, клиентов на предприятие бытового обслуживания, последовательность отказов элементов.

Ряд распределения имеет вид:

Математическое ожидание и дисперсию пуассоновского распределения можно найти, и они получаются равными l:

45

Mξ = Dξ = λ.

Результат можно проверить прямым счетом по формулам (7.7), (7.11). Например, для математического ожидания имеем

Показательный закон распределения

В теории массового обслуживания время обслуживания одной заявки распределено по показательному закону, плотность вероятности которого имеет вид (μ > 0)

График плотности вероятности приведен на рис. 7.1.

fξ(x)

µ–

0x

Рис. 7.1. График плотности вероятности показательного закона

Условие нормировки плотности вероятности легко проверяется:

где z = x, dz = dx.

Функция распределения показательного закона имеет вид

где z = y, dz = dy.

Найдем теперь математическое ожидание и выясним содержательный смысл параметра μ. Математическое ожидание (среднее время обслуживания одной заявки) найдем интегрированием по частям:

46

где z = x, dz = dx.

Таким образом, среднее время обслуживания обратно пропорционально μ. В свою очередь μ = 1/Мξ – среднее число заявок, обслуженных в единицу времени, или интенсивность обслуживания.

Дисперсию показательной случайной величины находим, дважды интегрируя по частям:

где z = x, dz = dx.

Нормальный закон распределения

Нормальное распределение (распределение Гаусса) занимает в теории вероятностей особо важное место, поскольку согласно центральной предельной теореме достаточно большая сумма сравнительно малых независимых случайных величин имеет распределение, близкое к нормальному. Плотность вероятности нормального закона имеет вид

При вычислении нормировки мы воспользовались известным результатом, а именно интегралом Пуассона

На рис. 7.2 приведено семейство кривых нормальных плотностей в зависимости от параметров а, σ. С геометрической точки зрения

47

параметр а – точка максимума плотности и центр симметрии; σ определяет крутизну кривой и величину максимума.

fξ(x)

σ1<σ

a<0 a>0

x

Рис. 7.2. Семейство плотностей нормальных кривых

Выясним теперь теоретико-вероятностный смысл параметров. Найдем математическое ожидание случайной величины ξ . С учетом замены переменной z = (x–a)/σ имеем

Первый интеграл равен нулю, как интеграл от нечетной функции по симметричному относительно нуля интервалу, второй интеграл сводится к интегралу Пуассона.

Таким образом, параметр а является математическим ожиданием нормальной случайной величины.

При вычислении дисперсии необходимо проинтегрировать по частям дважды:

Отсюда σ2 – это дисперсия нормальной случайной величины, а σ – ее среднее квадратическое отклонение.

48

Определение вероятности попадания нормальной случайной величины в интервал требует введения специальной функции – функции Лапласа (см. приложение, табл. 2):

1 x -t2

Φ(x)= 2π ò0 e 2 dt,

поскольку интеграл от нормальной плотности не выражается в известных элементарных функциях.

С использованием этой функции получаем

σ

При решении практических задач можно либо заново проделать подобные выкладки, либо пользоваться окончательным результатом:

Если интервал является симметричным относительно математического ожидания, то формула упрощается:

p(а-t×σ<ξ< a+t×σ)= 2Φ(t).

Отметим два следствия из последнего соотношения. Во-первых, поскольку функция Лапласа достаточно бы-

стро приближается к своим предельным значениям, например 2Φ(3)»0,9973, то справедливо так называемое правило «трех сигм»: теоретически нормальная плотность вероятности отлична от нуля при любых значениях x, однако практически значения случайной величины ξ сосредоточены на отрезке a±3σ:

p(а-3×σ<ξ< a+3×σ)= 2Φ(3)»0,9973.

Вероятность попадания вне этого отрезка всего 0,0027.

49

Во-вторых, формула позволяет строить интервал с заданной вероятностью попадания – подобную задачу часто приходится решать в математической статистике.

Интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который равна числу p, строится следующим образом.

Вначале, пользуясь таблицей функции Лапласа, находим tp из условия 2Φ(tp)= p. Затем строим интервал, удовлетворяющий заданному условию:

p(а-tp ×σ<ξ< a+tp ×σ)= 2Φ(tp)= p.

7.6. Решение типовых примеров

Пример 7.1. Известна вероятность события А: р(А) = 0,5. Случайная величина ξ – число появлений А в трех опытах. Требуется построить ряд распределения случайной величины ξ в трех опытах; найти ее математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Ряд распределения ξ мы построим, если найдем все возможные значения ξи соответствующие вероятности. В трех опытах число успехов может быть 0, 1, 2 или 3. Вероятности определим по формуле Бернулли:

p(ξ =0)=C03(0,5)0(0,5)3-0 =0,125; p(ξ =1)=C13(0,5)1(0,5)3-1 =0,375;

p(ξ = 2)=C32(0,5)2(0,5)3-2 =0,375; p(ξ =3) =C33(0,5)3(0,5)3-3 =0,125.

Получим ряд распределения

Причем найденные вероятности удовлетворяют условию нормировки:

0,125+ 0,375 + 0,375 +0,125 = 1.

Числовые характеристики величины ξ можно найти непосредственно по формулам (7.7), (7.11):

M[ξ]=0×0,125+1×0,375+2×0,375+3×0,125=1,5;

50