Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ledenev-a

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2016

Размер:

8 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 322 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Для вертикальной силы Р (d, 0), действующей снизу вверх, функция напряжений, удовлетворяющая условиям на свободной границе

полуплоскости (х = 0) σx = 0; τxy = 0, имеет вид

m −1

m +1 dx (d + x)

ϕ =

y(θ1 + θ2 ) −

(x − d ) ln

−

r 2

где m =

; θ

–

угол между осью x (вертикальной) и прямой, соеди-

няющий точку приложения силы Р с точкой (х, у), в которой определяются напряжения, θ2 – аналогичный угол, но не для точки приложения силы, а для зеркального отображения этой точки с координатами (– d, 0); r1 и r2 – расстояния между точками (х, у) и соответствую-

щими точками (d, 0) и (– d, 0).

Для горизонтальной силы Q, действующей слева направо и приложенной в точке (d, 0), функция напряжений определяется уравнением

	Q		1
ϕ =		−		(x − d
ϕ =	π	−	2	(x − d
	π		2

	+ Q2 ) −	m −1		r	+	m +1 dxy
) (Q1			ln	1			.
) (Q1		4m	ln	r2		2m r 2	.
		4m		r2		2m r 2
						2

Компоненты напряжений представляют через функцию напряжений:

σ =	∂ 2ϕ	;	σ =	∂ 2ϕ	;	τ = −	∂ 2ϕ	.
	∂y 2			∂x2
x			y			xy	∂x∂y

Формулы для вычисления напряжений от сосредоточенной силы Р для плоского напряженного состояния:

+ 1

(x − d )

(x + d )[(x + d )

+ 2dx]

8dx (d + x) y

σx

−

r 6

m −1

x − d

3x + d

4xy

−

;

r 2

(x − d ) y

(x + d ) ( y

+ 2d

) − 2dy

]

8dx (d + x) y

σ y

= −

P m +1

r 4

r 6

π 2m

m −1

− d

x + 3d

4xy

−

;

r 2

r 4

− d )

− 2dx − d

8dx (d + x)

τ xy = −

P m

r 4

r 6

π 2m

m −1

4x(d + x)

−

r 2

4m r 2

Формулы для вычисления напряжений в условиях плоского напряженного состояния от сосредоточенной силы Q:

− d )

− x

+ 6dx

8dxy

σ x =

Qy m

−

r 4

r 6

m −1

4x(d + x)

−

;

4m r

− 4dx −

8dx (d + x)

σ y

m +1

r 6

2m r

m −1

4x(d + x)

−

;

r 2

r 4

4m r 2

− d ) y

(2dx + y

) (d + x)

8dx (d + x) y

τ xy

Q m +1

−

r 6

m −1

x − d

3x + d

4x(d + x)

−

r 2

r 4

Формулы для вычисления напряжений от сосредоточенной силы в условиях плоской деформации:

P(1− μ

−

4dx − 2d

dxy

u =

) 1

(1+ μ1 )

+ ln r1r2 +

+ 2

πE

2r 2

r 4

2( y 2 + dx + d 2 )

− μ1 ) ln r1 +

3ln r2 +

1 (1

+ μ1 )

2dxy

μ1

d (x + d ) + y

−

(1 − μ

)

− 2

;

2r 2

r 2

P(1− μ

y(x − d )

y (x − d )

− x

+ y

ν =

) 1

(1+ μ1 ) −

−

+ dy

πE

2r 2

+ (1− μ1 ) arctg

−

1 (1

+ μ1 ) ×

x + d

(x − d ) y

y (x + d )

2 (x + d ) dxy

μ1

−

(1− μ )

Перемещения от горизонтальной силы Q в условиях плоской деформации:

Q(1− μ

)

y(x − d )

4dy

(x + d ) y

(x + d ) d + y

u =

+ μ1 ) −

−

2dy

πE

2r 2

r 4

(1− μ )

x + d

2arctg

−

1 (1+ μ1 ) ×

(x − d )

(x + d )

x + d

μ1

+ y

−

2dxy

−

(1− μ )

;

Q(1− μ

)

(x − d )

ν =

(1+ μ1)

ln[(x − d )2 + y2 ][(x + d )2 + y 2 ] +

πE

2r 2

x2 + 6dx + 3d 2

2dx (d + x)2

(1− μ )

−

ln[(x − d )

2 + y 2 ]+

ln[(x + d )2 + y

2 ]+ 2x

d + x

−

r 2

μ (1 + μ )

(x − d )2

d 2

− x2

− 2dx

(x + d )2

−

+ 2dx

μ1 (1− μ1 )

d + x

ln[(x − d )2 + y 2 ]−

ln[(x + d )2 + y 2 ]+ 2x

r 2

В [17] показано: для того, чтобы формулы для напряжений привести к условиям плоской деформации, то величину μ = 1/ m заменить

величиной μ1 = μ /(1 − μ) .

Задача Р. Миндлина (R. Mindlin, 1950)

Вертикальная сосредоточенная сила Р приложена вблизи упруго-

го полупространства (рис. 1.3).

Перемещение в радиальном направлении

u =

z − c

(3 − 4μ)(z − c)

−

4(1 − μ)(1 − 2μ)

6cz(z + c)

R (R + z + c)

16πG(1 − μ)

где

G =

(1 + μ)

–

модуль

сдвига;

(z − c)2 + r 2

;

R =

(z + c)2

+ r 2

Перемещение в вертикальном направлении

w =

3 − 4μ

8(1 − μ)2 − (3 − 4μ)

(z − c)

R13

16πG(1

− μ)

(3 − 4μ)(z + c)2 − 2cz

6cz(z + c)

;

Рис. 1.3. Схема к задаче Р. Миндлина для вертикальной силы, приложенной вблизи поверхности упругого полупространства

σx

(1 − 2μ)(z − c)

−

3x2 (z − c)

(1 − 2μ)[3(z − c) − 4υ(z + c)]

−

8π(1 − μ)

−

3(3 − 4μ)x2 (z − c) − 6c(z + c)[(1 − 2μ)z − 2μc]

−

30cx2 z(z + c)

4(1 − μ)(1 − 2μ)

−

1 −

−

;

R (R + z + c)

σ y

(1− 2μ)(z − c)

−

3y 2 (z − c)

(1 − 2μ)[3(z − c) − 4μ(z + c)]

−

8π(1− μ)

−

3(3 − 4μ) y 2 (z − c) − 6c(z + c)[(1 − 2μ)z − 2μc]

−

R25

30cy2 z(z + c)

4(1 − μ)(1 − 2μ)

y 2

−

1 −

−

;

R2 (R2 + z + c)

− 2μ)(z − c)

(1 − 2μ)(z − c)

3(z − c)

σz

−

8π(1− μ)

−

3(3 − 4μ)z(z + c)2

− 3c(5z − c)

−

30cz(z + c)3

;

− 2μ)

3(z − c)

τ yz

−

(1 − 2μ)

−

8π(1 − μ)

−

3(3 − 4μ)z(z + c) − 3c(3z + c)

−

30cz(z + c)2

;

(1 − 2μ)

(1− 2μ)

3(z − c)

τzx

−

8π(1− μ)

−

3(3 − 4μ)z(z + c)

− 3c(3z + c)

−

30cz(z + c)

Горизонтальная сосредоточенная сила Р приложена вблизи поверхности упругого полупространства (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Схема к задаче Р. Миндлина для горизонтальной силы, приложенной вблизи поверхности упругого полупространства

Решение задачи дается формулами:

3 − 4μ

(3 − 4μ)x2

2cz

3x2

u =

−

16πG(1

− μ)

	4(1 − μ)(1 − 2μ)					x2
+				1	−		;
	R		+ z + c
						R (R + z + c)
		2				2 2

v =

Pxy

(3 − 4μ)

−

6cz

−

4(1 − μ)(1 − 2μ)

;

R (R

+ z + c)2

16πG(1 − μ) R3

w =

z − c

(3 − 4μ)(z − c)

−

6cz(z + c)

4(1 − μ)(1 − 2μ)

;

16πG(1

− μ)

R2 (R2 + z + c)

1− 2μ

(1− 2μ)(5 − 4μ)

3(3 − 4μ)x

σx

−

8π(1− μ)

4(1− μ)(1− 2μ)

x2 (3R2

+ z + c)

−

3 −

3c − (3 − 2μ)(z + c) +

;

R (R + z + c)

(R + z + c)

2 2

σ y

1 − 2μ

(1 − 2μ)(5 − 4μ)

−

3y2

−

3(3 − 4μ) y

−

8π(1

− μ)

(3R

+ z + c)

4(1 − μ)(1 − 2μ)

5 y

−

− (1 − 2μ)(z + c) +

;

R (R + z + c)2

R2 (R + z + c)

σz

1 − 2μ

−

1 − 2μ

−

3(z − c2 )

−

3(3 − 4μ)(z + c)

8π(1 − μ)

5z(z + c)

+ (1 − 2μ)(z

+ c) +

;

Pxy

3(z − c)

3(3 − 4μ)(z + c)

τ yz

−

− 2μ +

5z(z + c)

;

8π(1 − μ)

(1 − 2μ)(z − c)

τzx =

−

8π(1 − μ)

−

3x2 (z − c)

−

3(3 − 4μ)x2 (z + c)

−

+ c) − (1 − 2μ)x

−

z(z + c)

z(z

;

1 − 2μ

3x2

3(3 − 4μ)x2

τxy

−

8π(1 − μ)

4(1 − μ)(1 − 2μ)x

(3R2

+ z + c)

6cz

−

1 −

−

1 −

R (R + z + c)2 R2 (R + z

+ c)2

Задача Л. Кельвина (L. Kelvin, 1855)

Сосредоточенная вертикальная сила приложена на такой глубине, что влияние граничной плоскости несущественно (рис. 1.5).

Перемещения в направлении оси х

ux	=	P(λ + μ0 )	xz	.
		8πμ0 (λ + 2μ0 ) r3

Рис. 1.5. Схема к задаче Л. Кельвина для вертикальной силы, приложенной внутри упругого полупространства

Перемещения в направлении оси y

u y	=	P(λ + μ0 )	yz	.
u y	=	8πμ0 (λ + 2μ0 ) r 3		.
		8πμ0 (λ + 2μ0 ) r 3
Вертикальные перемещения

P(λ + μ0 )

z 2

λ + 3μ0 1

w =

λ + μ

8πμ

(λ + 2μ

)

r 3

Напряжения определяются по формулам:

= P / 8π(1− μ)[(1 − 2μ)z(r 2

+ z 2 )−3/ 2 − 3r 2 z(r 2 + z 2 )−5 / 2 ];

σΘ = P / 8π(1 − μ)(1 − 2μ)z(r 2 + z 2 )−3/ 2 ;

= −P / 8π(1− μ)[(1 − 2μ)z(r 2

+ z 2 )−3/ 2 − 3z(r 2 + z 2 )−5 / 2 ];

= −P / 8π(1 − μ)[(1 − 2μ)r(r 2

+ z 2 )−3/ 2 − 3rz 2 (r 2 + z 2 )−5 / 2 ].

Вформулах: λ и µ – постоянные Ляме

λ= Eμ /(1+ μ)(1− 2μ); μ0 = E / 2(1+ μ0 ).

Пространственная контактная задача. Рассмотрим задачу о давлении штампа на упругое полупространство (рис. 1.6). Силы трения между упругим телом и штампом не возникают. Предположим, что на границу полупространства при z = 0 действует заданная нагрузка p(x, y). Для нахождения напряженного состояния и перемещений в теле используют функции, введенные для решения трехмерной задачи П.Ф. Папковичем и Нейбером. Перемещения u, v и w выражаются через гармонические функции φ1, φ2 и φ3:

∂

u = φ1

−

(φ0

+ xφ1 + yφ2 + zφ3 );

4(1 − μ) ∂x

v = φ

−

∂

(φ

+ xφ + yφ

+ zφ

);

4(1 − μ) ∂y

∂

w = φ3

−

(φ0 + xφ1 + yφ2 + zφ3 ).

4(1 − μ) ∂y

На границе упругого полупространства τzx

= τzy

= 0.

Если ввести новую гармоническую функцию

ϕ =

3 − 4μ

φ ,

8(1− μ)2

Рис. 1.6. Схема к пространственной контактной задаче

то получим перемещения:

∞

∂ϕ1

u = (1− 2μ)∫

dz − z

;

∂x

∞

∂ϕ

v = (1− 2μ)

∫z

− z

;

∂y

∂ϕ1

w = 2(1− μ)ϕ − z

∂z

Компоненты напряжения:

1+ μ

∂ϕ

∞

∂2ϕ

∂2

= 2μ

+ (1

− 2μ)

∫

dz − z

;

∂z

∂x2

+ μ

∂2ϕ1

τ yz = −z

;

∂y∂z

∞ ∂2ϕ

1+ μ

∂ϕ

∂2ϕ

σ y

= 2μ

+ (1

− 2μ)

∫

dz − z

;

∂z

∂y

∂y2

1+ μ

τzz

= −z

∂2ϕ

1 ;

∂z∂x

1+ μ

∞

∂2ϕ

∂

2ϕ

τxy

= (1− 2μ)

− z

;

∫

∂x∂y

+ μ

∂ϕ

∂2ϕ

σz

− z

∂z

21 .

∂z

Распределение контактных давлений под жестким фундаментом в случае пространственной задачи [79, 80]

Центральная нагрузка при круглой площади подошвы. Вертикаль-

ные перемещения точек поверхности массива, при давлении р, непрерывно распределенном по загруженной площади (рис. 1.7).

W =	1	∫∫F	p(ξ, η) dξdη	,
	πC
			(x − ξ)2 + ( y − η)2

где ξ и η – координаты центра элементарной нагруженной площадки; х и у – координаты рассматриваемой точки.

<<< < Предыдущая 12 / 322 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.05.2015226 Кб46kursovaya_глинозем.doc
#
03.12.2018449 Кб24KURSOVOJ_PROYeKT_FROLOV_M_S_401-T.docx
#
13.08.201984 Кб22Laboratornaja_rabota_No3_Struktury.doc
#
01.04.2025144 Кб7laboratornaya_rabota_1.doc
#
01.07.202513 Мб6Landshaftnaya_arkhitektura_Litvekova.doc
#
15.03.20168 Мб79ledenev-a.pdf
#
19.12.20182 Мб31Lektsia_10_EMM__1.doc
#
29.07.2019111 Кб17Lektsia_12_BD.doc
#
19.12.201878 Кб21Lektsia_5_Excel.doc
#
29.07.201973 Кб19Lektsia_6_Modelir.doc
#
29.07.201991 Кб22Lektsia_8_stilm_Yap.doc