Рис. 8.21.
При известных:
UɺАB = U Л e jλ , UɺВС = а2UɺАВ , UɺСА = аUɺАВ , Z АВ , Z BС , Z CА .
Определить:
фазные токи IɺАВ , IɺBС , IɺCА ;
линейные токи IɺА, IɺB , IɺC . По закону Ома определяем фазные токи:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IɺАВ |
= |
UɺAВ |
IɺBС |
= |
UɺBС |
IɺСА |
= |
Uɺ |
СА |
|
Z AВ |
|
Z BС |
|
Z СА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По первому закону Кирхгофа определяем линейные токи:
IɺA = IɺAB − IɺCA ,
IɺB = IɺBC − IɺAB ,
IɺC = IɺCA − IɺBC .
Векторная диаграмма
151
|
UɺBC |
UɺCA |
|
|
IɺCA |
IɺA |
UɺAB |
IɺC |
λ > 0 |
IɺBC |
ɺ |
|
|
I AB |
|
IɺB |
|
|
|
Рис. 8.22. |
|
Несимметричный режим сложной трехфазной цепи |
При известных:
EɺA = Ee jα , EɺB = а2 EɺA , EɺC = аEɺA ,
Z 1 = R1 ± jX1, Z 2 = R2 ± jX 2 , Z 3 = R3 ± jX 3 .
Определить:
линейные и фазные токи, линейные и фазные напряжения. По методу узловых потенциалов:
ɺ |
|
ɺ |
= 0 ; ϕɺb |
= ϕɺc = ϕɺbc . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕn |
= ϕN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
EɺA |
ϕɺa |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
− ϕɺbc |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z 2 |
|
Z |
|
|
|
|
Z1 |
|
|
Z1 |
|
|
|
3 |
|
|
Z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−ϕɺ |
|
|
2 |
+ ϕɺ |
|
2 |
+ |
2 |
+ |
2 |
= |
EɺB |
+ |
EɺC |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bc |
|
|
|
Z 2 |
|
|
Z |
|
|
|
Z1 Z1 |
|
|
|
Z 2 |
|
|
|
|
Z1 |
|
|
|
3 |
|
|
152
|
ЕА |
|
Z1 |
I |
|
U |
са |
I |
|
|
Z 3 |
|
|
|
|
|
А |
|
А |
а |
|
А3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U А1 |
|
I А |
|
|
|
|
Z |
U А |
|
|
|
|
|
Z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ЕВ |
|
|
|
2 |
|
I В3 |
|
|
|
3 |
|
|
N |
В |
I |
|
U аb |
b |
|
3 |
|
|
|
n |
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
U В1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z 1 |
|
I В2 |
" |
|
|
|
U В |
3 |
|
|
|
ЕС |
|
|
|
|
|
Z 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
I С1 |
|
|
I bc |
I С3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U С |
|
|
|
с |
|
|
|
U |
С3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I ab |
|
I bc' |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8.23.
По обобщенному закону Ома определяем линейные токи:
Iɺ |
ϕɺ |
|
− ϕɺ |
+ Eɺ |
, Iɺ |
ϕɺ |
|
− ϕɺ |
|
+ Eɺ |
, |
= |
N |
b |
B |
= |
N |
|
с |
С |
B1 |
|
|
|
Z1 |
С1 |
|
|
|
|
|
Z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iɺ |
ϕɺ |
|
− ϕɺ |
|
+ Eɺ |
= |
N |
|
a |
A |
А1 |
|
|
|
|
|
IɺА3 |
= |
[ϕɺа − ϕɺn ] |
, |
IɺB3 |
= |
[ϕɺb − ϕɺn ] |
|
|
Z 3 |
|
|
Z 3 |
|
|
|
|
|
|
|
определяем фазные токи: |
|
|
' |
= |
[ϕɺb − ϕɺc ] |
, |
Iɺca |
= |
[ϕɺc − ϕɺa ] |
|
Iɺbc |
Z 2 |
|
|
Z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
По 1 закону Кирхгофа определяем линейные токи:
IɺА2 = Iɺab − Iɺca , IɺВ2 = Iɺbc' − Iɺab , IɺС 2
ток в нулевом проводе:
,
Z1
, |
IɺС3 |
= |
[ϕɺс |
− ϕɺn ] |
; |
|
|
Z |
|
|
|
|
|
3 |
, |
Iɺab |
= |
[ϕɺa − ϕɺb ] |
|
|
Z 2 |
|
|
|
|
|
= Iɺca − Iɺbc' ;
IɺN = IɺA3 + IɺB3 + IɺC 3
ток короткого замыкания:
Iɺbc" = IɺB1 − IɺB 2 − IɺB 3
Проверка: IɺN = IɺA1 + IɺB1 + IɺC1 .
По закону Ома определяем напряжения:
UɺA1 = Z1IɺA1 ; UɺB1 = Z1IɺB1 ; UɺC1 = Z1IɺC1 ;
UɺA3 = Z3 IɺA3 ; UɺB3 = Z3 IɺB3 ; UɺC 3 = Z3 IɺC 3 .
Причем
Uɺab = ϕɺa − ϕɺb ; Uɺbc = ϕɺb − ϕɺc = 0 ; Uɺca = ϕɺc − ϕɺa
Баланс мощностей а) комплекс полной вырабатываемой мощности
Sɺ |
|
= Eɺ |
|
Iɺ* |
|
+ Eɺ |
Iɺ* |
|
+ Eɺ |
Iɺ* |
= P + jQ , ВА |
|
В |
|
А |
A1 |
B |
B1 |
C |
C1 |
В |
B |
|
|
б) активная потребляемая мощность |
|
|
P = I 2 |
|
R + I 2 R + I 2 R + I 2 R + (I |
' ) |
2R + I 2 R + I 2 R + |
П |
|
A1 1 |
|
B1 1 |
|
C1 1 |
ab 2 |
bc |
2 ca 2 |
А3 3 |
+ I |
2 |
R |
+ I |
2 |
R , Вт |
|
|
|
|
|
|
|
|
B3 |
3 |
|
C 3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) реактивная потребляемая мощность |
|
QП = ±I A21Х1 ± IB21 Х1 ± IC21Х1 ± Iab2 Х2 ± (Ibc' ) 2 Х2 ± Iса2 Х2 ± |
I A2 |
3 Х3 ± IB2 |
3 Х3 ± IC2 |
3 Х3 , вар |
|
|
|
|
Относительные погрешности
δ P % = Pв - Pп ×100 = 0 £ 3% .
Pв
δQ % = Qв - Qп ×100 = 0 £ 3% .
Qв
Векторная диаграмма
+ j
|
I С1 |
A |
|
I N |
|
|
I А1 |
|
|
E А |
U С3 N |
|
U |
n |
+ 1 |
В3 |
|
U са |
U А1 |
I В1
U А3
U ab
E В
а
Рис. 8.24.
Измерение мощности. Вращающееся магнитное поле
Измерение мощности осуществляется ваттметрами, которые имеют две обмотки: токовую обмотку с малым сопротивлением и обмотку напряжения с большим сопротивлением.
При этом ваттметр имеет четыре клеммы:
U
Uɺ
W
U
Рис. 8.25.
P = U × I × cosϕ, Вт
W
Где
Iɺ= I × e jβ , A ; Uɺ = U × e jα , B ;
ϕ = α − β , град.
Измерение суммарной активной мощности трехфазной цепи с нулевым проводом.
|
|
|
|
|
U |
|
|
Uɺ |
|
А |
IɺА |
W1 |
|
|
А |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uɺ |
В |
IɺB |
|
|
W2 |
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
U |
|
|
С |
IɺC |
|
|
|
W3 |
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UɺC |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8.26. |
|
|
P = P + P + P = P + P + P = |
|
|
|
А |
В С |
W1 |
W2 |
W3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U AI A cos(UɺA IɺA ) + U ВIВ cos(UɺВIɺВ ) + UС IС cos(UɺС IɺС ) , Вт.
Измерение суммарной активной мощности трехфазной цепи без нулевого провода.
Измерение мощности осуществляется двумя ваттметрами, причем одна из трех возможных схем следующая.
156
U
|
|
|
|
UɺАВ |
IɺВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
W2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UɺВС |
IɺС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UɺСА |
С |
|
|
|
Рис. 8.27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р = P |
+ P = U |
|
|
|
) + U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
A |
cos((−Uɺ |
)Iɺ |
ВС |
I |
В |
cos(Uɺ |
ВС |
Iɺ |
), Вт . |
|
W1 |
W2 |
СA |
СA |
A |
|
|
|
|
В |
|
Измерение суммарной реактивной мощности трехфазной цепи без нулевого провода в симметричном режиме.
А IɺA
|
|
|
|
UɺАВ |
IɺB |
|
|
|
|
|
|
Uɺ |
В |
|
|
|
W |
СА |
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uɺ |
ВС |
U |
|
|
|
|
|
IɺC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8.28. |
Q = 3U |
Л |
I |
Л |
sinϕ = |
3 × P , вар |
|
|
|
|
W |
P |
= U |
I |
|
|
^ |
|
= U |
|
I |
|
cos(90° − ϕ) = U |
|
I |
|
sinϕ |
|
cos Uɺ |
Iɺ |
|
|
|
|
|
W |
|
CA |
B |
|
СА В |
|
Л |
|
Л |
|
Л |
|
Л |
|
UɺСА
(90° − ϕ)
UɺС
UɺA
UɺВС IɺВ
ϕ
Рис. 8.29.
Круговое вращающееся магнитное поле.
Круговое вращающееся магнитное поле может быть создано при помощи трехфазного тока, что является одним из его важнейших технических достоинств. Присоединим к трехфазной цепи три одинаковые неподвижные катушки, оси которых сдвинуты в пространстве по отношению к друг другу на 120 градусов. При симметричной системе фазных токов iA, iB, iC эти катушки будут создавать индукции магнитного поля BA, BB, BC.
у
|
|
|
|
|
iВ |
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
Х |
|
|
|
|
|
ВС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
iС |
|
B |
120° |
120° |
|
|
С |
Ä |
|
|
Ä |
|
|
|
|
Y
iA А
ÄА
Рис. 8.30.
Фазные токи: iA = Im sin ωt
iВ = Im sin(ωt −120°)
iС = I m sin(ωt + 120°)
Фазные индукции магнитного поля:
ВA = Вm sin ωt
ВВ = Вm sin(ωt − 120 °)
ВС = Вm sin(ωt + 120 °)
Проекции суммарного вектора магнитной индукции. 1. Проекция на ось Х:
ВХ = ВАХ + ВВХ + ВСХ = Вm sinωt + Вm cos 240°sin(ωt −120°) +
+Вm cos120°sin(ωt + 120°) = 1,5Вm sinωt, Тл .
2.Проекция на ось Y:
ВY = ВАY + ВВY + ВСY = 0 + Вm sin 240°sin(ωt −120°) + +Вm sin120°sin(ωt + 120°) = 1,5Вm cosωt, Тл .
Величина суммарной индукции не зависит от времени:
В = 
ВХ2 + ВY2 = 1,5 Вm
Но ВХ и ВY зависят от времени, поэтому В вращается.
у
В ( t = t1 )
В(t = 0)
В(t = t2 ) х
ω
В(t = t3 )
0 < t1 < t2 < t3
Рис. 8.31.
Если в это вращающееся магнитное поле поместить металлический цилиндр (ротор), то за счет взаимодействия наводимых в нем вихревых токов с магнитным полем цилиндр начнет вращаться – асинхронный двигатель.
Показание ваттметра:
P = U × I × cosϕ, Вт
W
где
Iɺ= I × e jβ , A Uɺ = U × e jα , B
ϕ = α − β , град
