Т3 Логика решения задач

Приведенные зависимости отражают характерные закономерности для систем управления.

Повышение мощности управляющего воздействия, определяемой коэффициентом усиления регулятора, приводит сначала к снижению ошибки управления. Однако, дальнейший рост мощности отрицательно сказывается на ошибке управления, так как регулятор начинает форсировано отрабатывать случайные возмущения, на которые он не был рассчитан, что приводит к потере устойчивости управления.

Повышение сложности управляющего воздействия, определяемой полосой пропускания системы управления, вначале также приводит к снижению ошибки управления. Однако, дальнейший рост полосы пропускания системы отрицательно сказывается на ошибке управления, так как регулятор, точно настроенный на отработку заданных расчетных воздействий, неустойчив к нерасчетным случайным изменениям характеристик воздействий.

В области полосы пропускания системы для повышения точности управления необходимо повышать коэффициент усиления регулятора. Однако это вступает в противоречие с устойчивостью системы управления. С целью обеспечения компромисса между точностью и устойчивостью управления необходимо корректировать передаточные свойства системы на основе соответствующего выбора корректирующей части регулятора.

Приведенные соотношения справедливы и для общего случая проекционного подхода к анализу решений задачи управления (4.2), когда условия ортогональности (4.5) не соблюдаются. Это приводит к необходимости учета связей между спектральными составляющими процессов в эвклидовом функциональном пространстве. Подобная задача управления является многосвязной по спектральным составляющим, что соответственно усложняет приведенные выше формулы. Кроме того, для многосвязных систем возникают дополнительные особенности процессов управления, связанные с возможными требованиями автономности, инвариантности и др. Указанные вопросы рассматриваются в п. 3.4.6 данного очерка.

235

Практическая реализация регулятора, построенного с использованием проекционного подхода, имеет следующую структуру

u Lк KR Aфе .

Здесь Aф спектральный анализатор, функционирующий в реальном

времени. Построение спектральных анализаторов реального времени рассмотрено в п. 4.2 очерка 4 настоящей работы.

3.4.5.Анализ систем автоматического управления

вчастотной области

310. Рассмотрим частный случай спектрального подхода к анализу систем автоматического управления – использование частотных методов. Частотные методы широко используются в инженерной практике для решения практических задач анализа и синтеза линейных стационарных систем.

В качестве примера рассмотрим одномерную линейную стационарную систему автоматического управления, структура которой представлена на рис. 3.4.8. Здесь WO ( j ) - передаточная функция

управляемой динамической системы; KR - коэффициент усиления регулятора; WR ( j ) - передаточная функция корректирующего звена регулятора; yт - задающее воздействие, u - управляющее воздействие на динамическую систему; z - возмущающее воздействие; y - выходная реакция системы; e yт y - сигнал рассогласования между yт и y .

Рис. 3.4.8. Схема контура управления с отрицательной обратной связью

Зависимость выходной реакции системы от внешних воздействий на контур управления, представленная в частотной области, для данного случая имеет вид

где Ф0 ( j ) - передаточная функция контура по задающему воздействию; Фz ( j ) - передаточная функция контура по возмущающему

воздействию.

236

Соответствующие передаточные функции определяются формулами

В технических системах контур управления на основе выбора значения коэффициента усиления и корректирующего звена регулятора проектируется таким образом, чтобы в рабочем диапазоне частот p

В этом случае управляемая динамическая система отслеживает задающее воздействие:

При этом влияние возмущающих воздействий должно быть пренебрежимо мало

Фz ( j )Z( j ) 0 , p . (5.6)

Рассчитанный таким образом контур с отрицательной обратной связью становится системой управления. Это – новое качество, которое не было присуще исходной динамической системе. При этом сама динамическая система, которая вошла составной частью в систему управления, стала управляемой.

Качество системы управления должно быть устойчивым. Другими словами система управления не должна терять свое качество, определяемое техническими условиями (5.4)-(5.6), при воздействии возмущений. В рассматриваемом случае это означает, что техническое условие (5.6) должно выполняться не только для рабочего диапазона частот, но и для частот самого широкого спектра при самых различных спектральных характеристиках помех.

Действие возмущений на выход системы управления можно оценить величиной

где z2 - дисперсия, оценивающая уровень помех в системе:

Показатель (5.10) называется показателем колебательности системы. Он характеризует резонансные свойства замкнутого контура системы управления по отношению к действующим возмущениям и непосредственно связан с запасами устойчивости системы по частотному критерию устойчивости Найквиста29.

Действительно, из неравенства (5.10) следует

WO ( j )WR ( j )KR

Рис. 3.4.9. Годограф Найквиста

29 Рассматривая здесь трактовка критерия устойчивости Найквиста математически строго справедлива для систем автоматического управления, которые устойчивы при разомкнутой отрицательной обратной связи. В общем случае здесь необходимо учитывать неустойчивые полюса передаточной функции разомкнутой системы. Строгое изложение данного материала содержится в курсах по теории автоматического управления.

238

Здесь запретная область радиусом вокруг критической точки (-1, 0) определяет ограничение для годографа WO ( j )WR ( j )KR частотной

характеристики разомкнутого контура системы управления, соответствующее неравенству (5.11).

Рассмотрим физическую основу потери устойчивости в системах с обратной связью. Обратим внимание, если годограф Найквиста захватывает критическую точку (-1, 0), это свидетельствует о том, что колебания, проходя по контуру с обратной связью, меняют свой знак на противоположный. При этом формально отрицательная обратная связь становится фактически положительной, что и ведет к потере устойчивости.

Необходимых запасов устойчивости можно достичь целенаправленным выбором корректирующего звена WR ( j ) . В теории

управления с этой целью часто используется корректирующее звено с передаточной функцией

Здесь с помощью коэффициента Kc можно для каждой заданной частоты

корректировать длину вектора, соединяющего начало координат комплексной плоскости с годографом Найквиста. При этом постоянная времени T1 позволяет вращать указанный вектор в опережающем

направлении, постоянная времени T2 - в запаздывающем направлении.

Целенаправленно изменяя указанные факторы, можно обеспечить необходимую величину запаса устойчивости в системе управления на основе выполнения неравенств (5.10), (5.11).

3.4.6. Управление в сложных многосвязных системах

320. Под многосвязным объектом управления будем понимать управляемую систему, частные свойства и характеристики которой существенно взаимосвязаны и взаимообусловлены между собой. Управление подобной системой представляет серьезные сложности, так как изменение в процессе управления одной из координат влечет за собой изменение остальных координат. Для практической управляемости подобной системой необходимо, чтобы изменение управляющего воздействия влияло лишь на выделенные целевые координаты, оставляя неизменными другие. С этой целью необходимо тем или иным способом обеспечить автономное (сепаратное, независимое) прохождение действия от отдельных управляющих сигналов к соответствующим целевым координатам.

239

В технике этот принцип с достаточной полнотой можно обеспечить для линейных систем, так как сам принцип линейности предполагает суперпозицию различных воздействий. Например, при использовании спектральных и частотных методов анализа сигналы и характеристики линейных стационарных систем на определенных частотах независимы друг от друга, что существенно облегчает конструирование систем управления.

Предположим, что сложный многосвязный объект управления можно упрощенно представить схемой (рис. 3.4.10).

x1 y1

x2 y2

x3 y3

xi yi

Рис. 3.4.10. Многосвязный объект управления.

Аналитическое описание многосвязного объекта управления для случая, когда его передаточные свойства описываются линейными связями, имеет вид

Как и в предыдущем пункте данной главы приведенные здесь сигналы представляют собой реализации траекторий реальных сигналов и являются элементами обобщенного эвклидова пространства.

330. Рассмотрим задачу обеспечения автономного управления данным объектом. Суть проблемы автономного управления здесь состоит в том, что управление каждым выходом объекта должно осуществляться независимо от других выходов. Для многосвязного объекта (рис. 3.4.9) это

240

осуществить трудно, так как подача управляющего воздействия на один вход объекта в силу наличия связей (6.2) в общем случае влечет за собой изменения на всех выходах объекта.

Решение состоит в наложении компенсирующих перекрестных связей на входах объекта управления. Данный метод можно показать на примере двухмерного объекта управления, схема которого представлена на рис. 3.4.11. Здесь R1,2 , R2,1 - компенсирующие связи, которые выбираются

из условия автономности управления по каждому сепаратному каналу.

Рис. 3.4.11. Пример компенсации перекрестных связей

Так как для линейных систем соблюдается принцип суперпозиции действий от разных источников, то для схемы рис. 3.4.11 необходимым условием компенсации перекрестных действий входов объекта управления является выполнение следующих равенств

Условия (6.3) получены на основе двухканальной передачи действий с целью их компенсации. Так, для схемы рис. 3.4.11 по входному

241

воздействию h1 имеются два канала передачи воздействия: R1,2 L2,2 и L1,2 . Аналогично по входному воздействию h2 имеются два канала передачи:

R2,1L1,1 и L2,1 . По каналам R1,2 L2,2 , R2,1L1,1 воздействия передаются с отрицательным знаком, а по каналам L1,2 , L2,1 - с положительным. При

равенстве переданных действий (6.3) суммирование их на выходах приводит к компенсации действий.

340. Принцип компенсации может быть использован в системах управления для парирования возмущений от различных источников.

На рис. 3.4.12 приведена схема парирования действий внешних возмущений. Здесь возмущение z поступает в некоторую промежуточную точку объекта управления, который описывается линейными связями L1 ,

L2 . Дополнительно, возмущение z измеряется и через линейные связи Lz , Rz поступает в некоторую промежуточную точку регулятора, который описывается линейными связями R1 , R2 .

z

Rz Lz

нелинейных связей. На практике нелинейности часто выступают как нелинейные коэффициенты усиления или нелинейные функции. В этом случае связи объекта управления могут быть представлены выражением

где KO ( x) - нелинейный коэффициент усиления объекта управления.

Наличие нелинейного коэффициента усиления в прямом канале передачи управляющего воздействия является во многих случаях нежелательным. Как было показано ранее, коэффициент усиления в прямом канале передачи управляющего воздействия непосредственно

242

определяет ошибку управления и устойчивость системы. Нелинейность означает переменный характер величины коэффициента усиления в зависимости от входного воздействия. Следовательно, ошибка управления и устойчивость системы здесь будут существенно зависеть от входного воздействия. Кроме того, наличие нелинейности нарушает принцип суперпозиции при прохождении сигналов в системе, спектральные компоненты сигналов становятся взаимосвязанными, что значительно усложняет обеспечение автономности управления.

Линеаризацию нелинейной связи (6.7) можно сделать с помощью функции, обратной функции нелинейного коэффициента усиления:

Аналогичным образом можно компенсировать и линейную составляющую связи на основе равенства

После того, как передаточные свойства объекта управления компенсированы в прямом канале передачи управляющего воздействия, можно придать передаточным свойствам прямого канала желаемые характеристики, например, следующим образом

управляющих воздействий.

360. В общем случае могут быть использованы самые разнообразные способы коррекции свойств цепей передачи воздействий в многосвязных системах. Основной подход здесь основан на принципе компенсации нежелательных передаточных свойств с помощью корректирующих динамических связей.

370. Приведенные выше способы коррекции основывались на использовании выражений с обратными функциональными отображениями, например - (6.4), (6.6), (6.8), (6.9), (6.10). Эти выражения являются чисто формальными и не отражают реальной структуры передаточных свойств корректирующих связей. Они условно представляют вычислительные операции по решению уравнений (6.3), (6.5) и т.п. Будучи обратными задачами динамики, постановки указанных задач являются некорректными и требуют регуляризации. Регуляризация здесь, как и ранее, состоит в том, что сложность корректирующих связей ограничивается, например, на основе использования динамических связей заданной структуры при решении операторных уравнений (6.3), (6.5), (6.8)-(6.10). Методы решения операторных уравнений на основе экспоненциальной фильтрации рассмотрены в п. 4.3 очерка 4 настоящей работы.

3.4.7. Представление объектов и процессов управления

243