element_geometrija_stereometrija_tom_2

§2. Преобразования подобия

2.1.Определение и инварианты подобий пространства. Преобразование пространства называется преобразованием подобия, или подобием, если для любых двух точек A и B и их образов A1 и B1 при этом преобразовании выполняется равенство A1B1 = kAB, где k — постоянное (положительное) число, называемое коэффициентом подобия. В частности, при k = 1 подобие является движением. Гомотетия с коэффициентом k есть подобие с коэффициентом |k|.

Как и в планиметрии, подобие fk пространства можно представить композицией гомотетии HO±k и движения f:

Из представления (11.1) подобия вытекают свойства (инварианты) подобий пространства.

1.При подобии прямая отображается на прямую, отрезок на отрезок на отрезок, луч на луч, плоскость на плоскость, полуплоскость на полуплоскость.

2.Подобие сохраняет величину угла между прямыми, между прямой

иплоскостью, между двумя плоскостями.

3.Подобие сохраняет отношение любых двух отрезков. (Это — прямое следствие из определения подобия).

4. Если тело T 0 — образ тела T при подобии fk, то V (T 0) = k3V (T ). В частности, если T и T 0 — тетраэдры, то это отношение есть следствие первой формулы Штаудта для объема тетраэдра, определения подобия и свойства 2. Если T 0 и T — многогранники, то их можно разбить на подобные тетраэдры, откуда и будет следовать свойство 4. Для других тел оно получается с помощью соответствующих формул их объ-

емов.

Существуют два рода подобий пространства. Подобия первого рода сохраняют ориентацию каждого тетраэдра, подобия второго рода переводят каждый тетраэдр в тетраэдр противоположной ориентации. (Об ориентации тетраэдра см. § 2 гл. 10.)

Аналогично соответствующей теореме для подобий плоскости доказывается теорема о задании подобия пространства: если даны два тетраэдра ABCD и A0B0C0D0 такие, что A0B0 = kAB, B0C0 = kBC, C0D0 = kCD, A0C0 = kAC, A0D0 = kAD, B0D0 = kBD, то существует только одно подобие пространства, при котором A → A0, B → B0, C → C0,

D→ D0.

2.2.Координатные формулы подобий пространства получаются на основе формул (10.1) движения и представления (11.1) подобия. Поль-

222

зуясь произволом выбора центра гомотетии, примем в качестве него начало O заданной прямоугольной декартовой системы координат. Тогда для подобия fk получаем формулы:

Так как гомотетия, с положительным коэффициентом есть преобразование первого рода, то в этих формулах род движения f совпадает с родом подобия fk. Напомним, что матрица

ортогональна (п. 7.2 гл. 10).

2.3. Центр подобия пространства. Поскольку существуют гомотетии двух родов, то в представлении (11.1) подобия пространства можно всегда полагать совпадающими род подобия и род гомотетии. Тогда в этом представлении движение f будет всегда движением только первого рода. Таковыми являются переносы, повороты и винтовые движения. Но композиция гомотетии и переноса есть гомотетия с другим центром. Следовательно, все подобия пространства сводятся к композициям гомотетии и поворота:

Ось l поворота зависит от выбора центра A гомотетии.

Подобие, отличное от движения, не может иметь более одной неподвижной точки, которая называется центром подобия. Докажем, что

подобие, не являвшееся движением, всегда имеет центр.

Пусть подобие пространства задано композицией (11.3). Если A l, то точка A и есть искомый центр подобия. При A / l проведем через A плоскость w перпендикулярно l. Плоскость w неподвижна как при гомотетии, так и при повороте, и следовательно, неподвижна и при заданном подобии. На множестве точек этой плоскости w данное подобие fk явля-

ется композицией гомотетии с центром A и поворота Ra , где B = l ∩ w.

B

Эта композиция является подобием первого рода плоскости w. Поэтому его неподвижная точка Q существует. Ее построение рассмотрено в следующем пункте 2.4. Эта точка Q и есть центр данного подобия fk пространства.

2.4. Построение центра подобия первого рода плоскости. Пусть подобие fk первого рода плоскости задано композицией

223

Центр B поворота зависит от выбора центра A гомотетии. Требуется найти точку Q = fk(Q).

(рис. 165). Тогда fk(A) = A0 и fk(B0) = B. По определению поворота ориентированный угол ABA0 равен углу a поворота. По свойству подобий

A

A0

Рис. 165

первого рода плоскости ориентированные углы AQA0 и B0QB также равны a (угол подобия). Поэтому искомая точка Q принадлежит той дуге AA0 окружности ABA0, для которой точка B является серединой. Из точки Q отрезок B0B виден под (ориентированным!) углом a. Следовательно, точка Q принадлежит одной из двух дуг окружностей известного множества точек плоскости. Таким образом, искомый центр Q подобия есть вторая точка пересечения двух указанных дуг, имеющих общую точку B.

Построенная точка Q действительно неподвижна при заданном подобии fk. Это подобие может быть задано двумя парами соответственных точек A → A0 и B0 → B. Треугольники AQB0 и A0QB подобны (по равенству углов A и A0, B0QA и BQA0) и одинаково ориентированы. Это значит, что Q → Q.

2.5. Классификация подобий пространства. В представлении (11.3) подобия пространства композицией гомотетии и поворота возьмем за центр гомотетии неподвижную точку Q (центр) подобия. Тогда эта точка Q необходимо должна принадлежать оси l поворота. Итак, имеем классификационную теорему о подобиях пространства,

Теорема. Любое подобие пространства, отличное от движения и гомотетии, является композицией гомотетии и поворота около оси, содержащей центр гомотетии. Род гомотетии совпадает с родом подобия. Эта композиция коммутативна.

224

Указанная композиция гомотетии и поворота, ось которого содержит центр гомотетии, называется гомотетическим поворотом пространства. Он может быть первого или второго рода.

Наглядно классификацию всех подобий пространства, включая и движения, можно представить следующей схемой.

ПОДОБИЯ ПРОСТРАНСТВА

Задачи к главе 11

11.1.Докажите, что шесть центров гомотетий трех попарно неравных сфер лежат по три на четырех прямых.

11.2.Докажите, что шесть центров гомотетий четырех попарно гомотетичных фигур лежат в одной плоскости по три на четырех прямых.

11.3.Найдите отношение объема тетраэдра к объему тетраэдра, вершинами которого являются центроиды граней данного тетраэдра.

11.4.Постройте куб, одна грань которого касается данной сферы,

авершины противоположной грани лежат на этой сфере. Найдите отношение ребра куба к диаметру сферы.

11.5.Две сферы касаются внутренним образом в точке S. Плоскость a касается меньшей сферы в точке T . Докажите, что луч ST служит осью конуса с вершиной S, содержащего окружность пересечения плоскости a с большей сферой.

11.6.Постройте сферу, проходящую через данную точку и касающуюся трех данных пересекающихся плоскостей.

11.7.Постройте сферу, проходящую через две данные точки и касающуюся двух данных плоскостей.

225

11.8.Постройте сферу, касающуюся трех данных пересекающихся плоскостей и данной сферы.

11.9.Докажите, что две ограниченные фигуры не могут быть гомотетичными более чем двумя способами.

11.10.Преобразование пространства, отличное от движения, отображает каждую прямую на параллельную ей прямую или на себя. Докажите, что это преобразование является гомотетией.

11.11.Преобразование пространства отображает каждую прямую на прямую и сохраняет величину угла между прямыми. Докажите, что это преобразование является подобием.

11.12.Найдите множество центров гомотетий пространства, каждая из которых отображает три заданные точки на точки, принадлежащие трем заданным плоскостям, имеющим единственную общую точку.

11.13.Найдите множество центров гомотетий пространства с одним

итем же коэффициентом, при каждой из которых образ данной прямой m пересекает другую данную прямую l.

11.14.Найдите множество прямых, проходящих через данную точку

иобладающих тем свойством, что отрезки этих прямых, заключенные между двумя данными плоскостями, делятся данной точкой в одном

итом же отношении k.

11.15.Докажите, что два тетраэдра подобны, если между их элементами установлено такое соответствие, при котором соответственные элементы одинаково расположены в обоих тетраэдрах и выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1) ребра одного тетраэдра пропорциональны соответственным ребрам другого;

2) три грани одного тетраэдра подобны трем соответственным граням другого;

3) одна из граней одного тетраэдра подобна соответственной грани другого и прилежащие к этим граням соответственные двугранные углы равны;

4) две грани одного тетраэдра подобны двум соответственным граням другого и двугранные углы между этими гранями равны;

5) трехгранный одного тетраэдра равен соответственному трехгранному углу другого и соответственные ребра, образующие эти трехгранные углы, пропорциональны;

6) два трехгранных угла одного тетраэдра равны двум соответственным трехгранным углам другого.

11.16.На данной прямой l найдите точку, равноудаленную от данной точки M и данной плоскости a.

226

11.17.В данную сферу впишите тетраэдр, грани которого соответственно параллельны граням данного тетраэдра.

11.18.Дана сфера и точка S вне нее. Постройте конус с вершиной S, окружность основания которого лежит на данной сфере, а образующие делятся сферой пополам.

11.19.В правильную четырехугольную пирамиду вписана сфера. Плоскость, проходящая через ее центр параллельно плоскости основания пирамиды, делит объем пирамиды пополам. Найдите двугранный угол при основании пирамиды.

11.20.Постройте куб по его диагонали.

11.21.Даны две неравные сферы a и b и принадлежащие им соответственно точки A и B. Найдите преобразование подобия, при котором a → b и A → B.

11.22.Найдите множество центроидов тетраэдров, вписанных в данный тетраэдр.

227

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим две аффинные системы координат (АСК) (D, e1 e2 e3) и D0, e01 e02 e03 , где e1 = DA, e2 = DB, e3 = DC

и e01 = D0A0, e02 = D0B0, e03 = D0C0. Определим преобразование f пространства законом: каждой точке M, имеющей координаты x, y, z относительно первой АСК, поставим в соответствие такую точку M0, которая относительно второй АСК имеет те же самые координаты x, y, z. Очевидно, это преобразование f аффинное, поскольку образом плоскости, имеющей уравнение ax + by + cz + d = 0 относительно первой АСК, является множество точек, которое относительно второй АСК имеет то же самое уравнение, т. е. тоже плоскость, ибо вид уравнения плоскости не зависит от выбора аффинной системы координат. Согласно закону преобразования f, в частности, f(A) = A0, f(B) = B0, f(C) = C0, f(D) = D0.

Для доказательства единственности аффинного преобразования f достаточно заметить, что в с я к о е аффинное преобразование пространства обладает свойством: соответственные точки в соответственных АСК имеют равные соответственные координаты. Это прямо следует из инвариантности отношения коллинеарных векторов (из инвариантности отношения трех точек прямой) при аффинном преобразовании. В самом деле, если

Поэтому любое другое аффинное преобразование, имеющее те же четыре пары соответственных точек A → A0, B → B0, C → C0, D → D0, необходимо совпадает с первоначально построенным аффинным преобразованием f.

1.3. Координатные формулы аффинного преобразования. Пусть дана аффинная система координат (O, e1 e2 e3) и аффинное преобразование f переводит точку M(x, y, z) в точку M0(x0, y0, z0). Требуется выразить координаты x0, y0, z0 через x, y, z и параметры, задающие преобразование f.

Такими параметрами могут служить координаты образов базисных

векторов: e01(a1, a2, a3), e02(b1, b2, b3), e03(c1, c2, c3) и координаты образа O0(d1, d2, d3) начала O координат данной АСК относительной этой АСК. Для решения поставленной задачи используем векторное равенство:

OM0 = O0M0 + OO0.

229

Согласно определению координат вектора и координат точки имеем:

O0M0 = xe01 + ye02 + ze03 =

=x(a1 e1 + a2 e2 + a3 e3) + y(b1 e1 + b2 e2 + b3 e3) + z(c1 e1 + c2 e2 + c3 e3) =

=(a1x + b1y + c1z)e1 + (a2x + b2y + c2z)e2 + (a3x + b3y + c3z)e3.

Первоначальное векторное равенство равносильно трем координатным:

Поскольку векторы e01, e02, e03 линейно независимы, то

a1 b1 c1

Этот определитель называется определителем аффинного преобразования.

Обратно, если преобразование пространства задано формулами (12.1) при 6= 0, то оно является аффинным преобразованием.

Для доказательства технически проще проверить, что преобразование, обратное преобразованию (12.1), аффинное. Отсюда будет следовать аффинность преобразования (12.1). Возьмем произвольную плоскость Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. Выполняя подстановки (12.1), получим уравнение ее прообраза:

(Aa1 + Ba2 + Ca3)x + (Ab1 + Bb2 + Cb3)y+

+ (Ac1 + Bc2 + Cc3)z + (Ad1 + Bd2 + Cd3) = 0.

Коэффициенты при x, y, z не могут быть одновременно нулями, так в противном случае система

A = B = C = 0, что противоречит смыслу уравнения плоскости.

Итак, формулы (12.1) при 6= 0 и есть искомые координатные формулы аффинного преобразования пространства.

230