Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

лінійна алгебра та аналітична геометрія

.pdf

Скачиваний:

333

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

10 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 235 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

4. Системи лінійних алгебричних рівнянь		41
Крок 5. Отже, x1 та x3 — базисні змінні, а x2 C1,x4	C2,x5	C3

— вільні змінні, яким надано довільних значень C1,C2,C3 . Виписуємо

систему, яка відповідає перетвореній розширеній матриці, і виражаємо з неї базисні змінні:

								1															1
x	1	2C			1				C		2	1,	x	1	1 2C					1				C	,
	1				1			3			2			1						1			3	2

x			2	C			C					0,	x			2	C		C			.
x	3			C		2	C			3		0,	x	3			C	2	C			.
	3	3				2				3				3	3			2			3

Крок 6. Записуємо загальний розв’язок системи:


			2C					1	C
	1					1				2
	1							3
								3


	C		1
			1

	2
x		C			C
				2			3				.
											.
	3


	C		2
			2


	C		3
			3

4.4. Дослідження однорідних СЛАР

Розгляньмо ненульову (тобто не всі коефіцієнти рівнянь дорівнюють нулю) однорідну СЛАР


		a12x2 a1nxn		0,
a11x1		a12x2 a1nxn		0,

	..............................................				Ax	0.

		a x	a x		0,
...a x		a x	a x	n	0,
	m 1 1	m2 2	mn	n

Твердження 4.2 (властивості однорідної СЛАР).

Однорідна СЛАР завжди сумісна (вона зажди має нульовий розв’язок x 0).

Сума розв’язків однорідної СЛАР також є її розв’язком.

Добуток розв’язку однорідної СЛАР на будь-яке число також є розв’язком системи.

Будь-яка лінійна комбінація розв’язків однорідної СЛАР є розв’язком цієї системи.

Оскільки однорідна СЛАР завжди сумісна, то слушно поставити питання про умови існування ненульових розв’язків.

Твердження 4.3. Якщо ранг матриці Am n однорідної СЛАР дорівнює r, то система має n r лінійно незалежних (а, отже, ненульових) розв’язків.

42		Розділ 1. Методи й моделі лінійної алгебри
		Будь-яку сукупність з n r лінійно незалежних
	Означення 4.5.	Будь-яку сукупність з n r лінійно незалежних

розв’язків однорідної СЛАР називають фундаментальною системою розв’язків (ФСР).

Дослідження однорідних СЛАР ілюструє схема на рис. 4.2.

rang Am n r

СЛАР Ax 0

r n		r n

Безліч розв'язків		Єдиний розв'язок
з (n r) сталими
з (n r) сталими		x 0

Рис. 4.2

Теорема 4.4 (про структуру загального розв’язку однорідної СЛАР).

Якщо {e1,...,en r } — ФСР однорідної СЛАР, то загальний розв’язок цієї системи є лінійною комбінацією розв’язків e1,...,en r :

xзаг. одн C1e1 C2e2 ... Cn ren r .

Приклад 4.3. Знайдімо фундаментальну систему розв’язків та загальний розв’язок системи:

			2x				x			x		x			0,
x		1	2x		2		x		3	x	4	x		5	0,
		1			2				3		4			5

			3x2				2x			3 3x4 4x5 0,
x1			3x2				2x			3 3x4 4x5 0,
				5x				x			2x				2x		0,
2x			1	5x		2		x		3	2x		4		2x	5	0,
			1			2				3			4			5
	4x			4x				x			0.
	4x		1	4x			2	x		5	0.
			1				2			5

Розв’яжімо систему методом Ґауса — Йордана. Для однорідної системи замість розширеної матриці можна перетворювати саму матрицю системи (сумісність системи гарантовано).

	1	2	1	1	1									1	2	1	1	1
	1	2	1	1	1									1	2	1	1	1
		3	2	3	4										5	3	4	5
1		3	2	3	4	a			a			a	0		5	3	4	5	a			a
								2			2													3
								2			2	1								2				3
	2	5	1	2	2				a			2a		0	1	1	0	0				a
	2	5	1	2	2	a			a			2a		0	1	1	0	0	a			a
							3			3											3		2
4		4	0	0			3		a	3		1	0		4	4	4				3		2
4		4	0	0	1 a		4		a	4		4a	0		4	4	4	5
							4			4		1

	1 2		1	1	1	a a 2a
							1	1			2

		1	1	0	0
0

	0	5	3	4	5			a 5a
						a
							3		3
0		4	4	4	5			a			2
						a	4		4	4a	2

									4. Системи лінійних алгебричних рівнянь																																										43
										1				0				3		1					1
										1				0				3		1					1

														1				1		0					0
									0					1				1		0					0
																																							1
										0				0 8						4				5															1
																											a			3											a		3
																											a														a
																																							8
														0			8			4				5															8
									0					0			8			4				5

1 0			3			1										1																			1 0									0				1 2 7 8
1 0			3			1										1	a			a			3a					3							1 0									0				1 2 7 8
																			1		1							3

			1							0						0																												0				1 2 5 8
0 1			1							0						0	a2 a2 a3																0 1											0				1 2 5 8

			1		1 2									5 8																														1 1 2					5 8		.
0 0			1		1 2									5 8																			0 0											1 1 2					5 8

			8							4 5																																		0				0		0
0 0			8							4 5							a		4	a	4			8a					3				0 0											0				0		0
																			4		4								3
Отже, rang A r 3; x1, x2,x3																						— базисні змінні, x4																									C1, x5		C2 —
вільні змінні, C1,C2						. Перетворена матриця відповідає системі:
								1								7																					1									7
																				0,
			x1							C1							C2									x1													C1								C2,
			x1					2		C1						8	C2									x1											2		C1							8	C2,
								2								8																					2									8
								1								5																					1									5
			x	2							C		1				C	2		0, x									2											C		1					C	,
			x					2			C					8	C			0, x																	2			C						8	C	,
								2								8																					2									8	2
								1								5																	1											5
																				0,															C1
			x	3						C1							C	2								x3																			C2.
			x	3				2		C1						8	C	2								x3							2											8	C2.
								2								8																	2											8
Отже, загальний розв’язок
								1		C1						7	C2										1									7
		x
		x						2								8											2
			1					1								5											1
								1								5											1									5
										C		1					C	2
								2		C						8	C										2												8
	x							2								8											2												8
			2			1								5											1																	5
						1								5											1																	5
	x
x							C								C					C											C													C e C e .
x							C								C					C											C													C e C e .
						2				1				8			2					1			2									2								8					1 1		2 2
			3			2				1				8			2					1			2									2								8					1 1		2 2
																									1													0
	x				C			1																	1													0
			4					1

																									0													1
	x				C																				0													1
			5					2
			5					2


																										e														e
																									1						,e										2
Фундаментальна система розв’язків: {e																															,e		}. 
																														1		2

4.5. Дослідження неоднорідних систем лінійних алгебричних рівнянь

Розгляньмо неоднорідну СЛАР


		a12x2 a1nxn		b1,
a11x1		a12x2 a1nxn		b1,
									(4.5)
	........................................		......			Ax	b,b	0,	(4.5)

		a x	a x		b	,
a ...x		a x	a x	n	b	,
	m 1 1	m2 2	mn	n	m

і відповідну їй однорідну СЛАР

44 Розділ 1. Методи й моделі лінійної алгебри


		a12x2 a1nxn		0,
a11x1		a12x2 a1nxn		0,

	........................................		......		Ax	0.

		a x	a x		0,
...a x		a x	a x	n	0,
	m 1 1	m2 2	mn	n

Умову сумісності системи (4.5) виражає теорема 4.1.

Теорема 4.5 (про структуру загального розв’язку неоднорідної СЛАР).

Загальний розв’язок неоднорідної СЛАР дорівнює сумі загального розв’язку відповідної однорідної СЛАР і деякого частинного розв’язку неоднорідної СЛАР:

xзаг. неодн xзаг. одн xчаст. неодн.

Приклад 4.4. Продемонструймо на загальному розв’язкові системи

		2x			x		x		x			1,
x	1	2x		2	x	3	x	4	x		5	1,
	1			2		3		4			5
			4x2 x3 x5							2
2x1			4x2 x3 x5							2

теорему про структуру загального розв’язку неоднорідної СЛАР (користуючись результатом прикладу 4.2).

Перепишімо загальний розв’язок заданої системи:

		1		2C					1	C										1
							1				2						2								0
									3
									3				1							3

																					0
	C			1								0				1					0			0
				1								0				1								0

	2																			2
x			C			C							0	C			0	C				C		1
					2			3							1				2				3			.
		3																			3					.
		3																			3

													0				0								0
	C			2									0				0			1					0
				2

												0				0					0			1
	C			3								0				0					0			1
				3

												частинний
												частинний		загальний розв’язок однорідної СЛАР
												розв’язок		загальний розв’язок однорідної СЛАР

неоднорідної

СЛАР

4.6. Розв’язування матричних рівнянь методом Ґауса — Йордана

Розгляньмо рівняння щодо матриці X

AX B,

де A та B — відомі матриці розміром m n та m l. Тоді розв’язком цього рівняння є матриця X розміром n l :


			1,l.
	X xj , j		1,l.
		l
З означення добутку матриць випливає, що
	bj
				, j 1,l.
A xj		Axj bj		, j 1,l.
l		l

З’ясувати розв’язність і розв’язати рівняння AX B можна, застосовуючи метод Ґауса — Йордана до матриці A | B .

4. Системи лінійних алгебричних рівнянь

Зауваження 4.2. Матричне рівняння доцільніше розв’язувати методом Ґауса і для оборотної матриці A. І лише у разі, коли треба розв’язати низку рівнянь з однією і тією самою оборотною матрицею A, а стовпці вільних членів не відомі наперед, ефективніший метод оберненої матриці.

Приклад 4.5. Розв’яжімо методом Ґауса — Йордана матричне рівняння

AX B, де

1 2	1	2	1
1 2	1	2	1

3 3 2 2 1

Записуємо розширену матрицю і зводимо її елементарними перет-1 .1 1 ; BA 2 1

вореннями рядків до східчастого вигляду:

												1			2			1				2			1



												2			1 1							1				1						c						2c
		C (A \| B)										2			1 1							1				1	c		2			c			2			2c
																													2						2					1
																		2				2
										3 3								2				2				1 c			3		c				3				3c
																													3						3					1
							1			2					1			2				1


																																	1
							0		3				3				3				3												1	c
							0		3				3				3				3				c	2							3	c	2
																										2							3		2
									3					1			4				4
						0			3					1			4				4

	1	2		1			2		1																			1				0 1								0		1

											c				c					2c			2
														1				1					2

	0	1		1			1		1																			0				1						1		1 1			...
	0	1		1			1		1																			0				1						1		1 1			...

		3	1		4																																	2	1
0		3	1		4					4 c				3	c			3		3c				2			0 0											2	1			1
														3				3						2
Оскільки,				rang A rang(A \| B),																		то			матричне												рівняння					розв’язне.
Продовжуємо елементарні перетворення:


										1 0					1						0					1						c						c
										1 0					1						0					1		c				c						c

										0 1						1					1				1							c						c
										0 1						1					1				1			c				c				2		c		3
						1																								2						2				3
						1										1			1 2 1 2
			c					c	0 0							1			1 2 1 2
				3		2		3
				3		2		3	1 2																				1 2
			1 0 0													3 2																						3 2
			1 0 0													3 2																						3 2

			0 1 0							3 2 3 2											X										3 2						3 2
			0 1 0							3 2 3 2											X										3 2						3 2				.

									1 2
		0 0 1							1 2							1 2												1 2										1 2

46	Розділ 1. Методи й моделі лінійної алгебри

5. Застосування лінійної алгебри

5.1. Матриці в моделюванні мереж (матричний запис)

Рис. 5.1

aij

А саме:

	Матриці використовують для опису електричних
	мереж, потоків на шляхах, виробничих процесів
	тощо.
		Мережу, зображену на рис. 5.1, складає 5
	гілок		або	ребер		(з’єднань, занумерованих
	1, 2,..., 5) та			4 вузли (точок,				де дві або більше
	гілки сполучаються) з одним заземленим вузлом
	(на кожній гілці стрілкою вказано напрям).
		Мережу описують за допомогою «вузлової
	інцидентної матриці» A aij 4 5 , де

				виходить з вузла i ,
1, якщо гілка j				виходить з вузла i ,

				входить у вузол i ,
1, якщо гілка j				входить у вузол i ,

	0, якщо гілка j			не зв'язана з вузлом i .
	0, якщо гілка j			не зв'язана з вузлом i .

	гілка		1	2	3	4	5
	вузол 		1	1	1	0	0
	вузол 		1	1	1	0	0

			0	1	0	1	1
	вузол 		0	1	0	1	1	.

			0	0	1	0	1
	вузол 		0	0	1	0	1

				0	0	1	0
	вузол  1			0	0	1	0

5.2. Цифрова фотографія (додавання матриць)

Усі зображення, які можна побачити в мережі Інтернет, створені або опрацьовані за допомогою комп’ютера (одержані, приміром, з цифрового фотоапарата або відскановані) і збережені в цифровому форматі, мають тисячі або й, навіть, мільйони маленьких квадратиків, які називають пікселами. Піксели одержують поділянням будь-якого зображення сіткою. Комп’ютер може змінювати яскравість кожного піксела сітки.

Приміром, літеру Г на рис. 5.2 зображено за допомогою 9 пікселів у сітці 3 3. Розгляньмо чотири відтінки: білий, світло-сірий, темно-сірий та чорний і занумеруймо їх як 0,1, 2, 3 відповідно (рис. 5.3).

Запишімо матрицю, яка відповідає цифровій фотографії літери Г, кожний елемент якої відповідає використаному відтінку:

	2	2	1
	2	2	1

	2	1	1
A	2	1	1	.

		1	1
2		1	1

5. Застосування лінійної алгебри

Щоб збільшити контрастність фотографії (темно-сірий відтінок літери перетворити на чорний (тобто збільшити на 1), а світло-сірий відтінок тла на білий (тобто зменшити на 1)) (рис. 5.4), до матриці фотографії A треба

	1	1	1
	1	1	1
		1	1
додати матрицю B 1		1	1	:

		1	1
1		1	1

	2	2	1		1	1		3	3	0
	2	2	1	1	1	1		3	3	0

	2	1	1		1	1		3	0	0
A B	2	1	1	1	1	1		3	0	0	.

		1			1				0
2		1	1	1	1	1	3		0	0

Білий

Світло-

Темно-

Чорний

сірий

Рис. 5.4

Рис. 5.2

Рис

. 5.3

5.3. Випуск продукції (множення матриць)

Розгляньмо підприємство, яке випускає продукцію трьох видів P1, P2, P3 і ви-

користовує сировину двох типів S1 та S2. Норми витрат сировини харак-

теризує матриця

		2	3
		2	3

		5	2
	A	5	2	,


	1		4

де кожний елемент aij ,i 1, 2, 3, j 1, 2,			вказує, скільки одиниць сировини
j -го типу витрачають на виробництво одиниці продукції i -го виду.
План випуску продукції задано матрицею-рядком
c	100	80		130 ,
					30

вартість одиниці кожного типу сировини — матрицею-стовпцем b
						.
					50

Знайдімо витрати сировини, потрібної для планового випуску продукції, та загальну вартість сировини.

Витрати сировини 1-го типу складають

S1 2 100 5 80 1 130 730,

а 2-го типу

S2 3 100 2 80 4 130 980.

48	Розділ 1. Методи й моделі лінійної алгебри

Це означає, що матриця-рядок витрат сировини
			2	3
			2	3

S cA 100			5	2	730	980 .
S cA 100	80 130		5	2	730	980 .


		1		4

Тоді сумарна вартість сировини
	30
Q Sb 730 980
		730		30 980 50 70900.
		730		30 980 50 70900.
	50

Сумарну вартість сировини можна обчислити і по-іншому: спочатку знаходимо матрицю вартостей сировини на одиницю продукції


		2	3				210
		2	3		30		210
					30

R Ab		5	2				250
R Ab		5	2				250	,
					50
					50
	1		4
						230


а потім загальну вартість сировини
						210
						210


Q cR 100		80		130		250		70900.
Q cR 100		80		130		250		70900.


						230

5.4. Кодування і розкодування повідомлень (множення й обернення матриць)

Розгляньмо простий спосіб закодувати повідомлення. Кожній літері латинки зіставляють її номер: A 1, B 2,...,Z 26, прогалину кодують як 0.

Приміром, числовий еквівалент слова MATH є 13,1, 20, 8. Числовий еквівалент повідомлення потім перетворюють на матрицю, записуючи числа у стовпці. Нарешті, помножуючи матрицю повідомлення на невироджену (отже, й оборотну) матрицю A, кодують повідомлення. За допомогою обе-

рненої матриці A 1 можна розкодувати повідомлення. Закодуймо повідомлення MATH .

1. Записуємо повідомлення за допомогою чисел

13,1, 20, 8.

2. Записуємо матрицю по стовпцях і формуємо квадратну матрицю (у разі, якщо не вистачає чисел для формування квадратної матриці, заповнюють числове повідомлення наприкінці нулями):

	13	20
	13	20
P		8	.
1		8

3. Помножуємо будь-яку невироджену матрицю, скажімо матрицю

	2	3

A	3	4	, на матрицю P. Дістаємо криптограму
	3	4

	5. Застосування лінійної алгебри									49
		2	3		13 20	29			64
C AP
C AP										.
	3		4		1 8	43				92

4. Отже, закодоване повідомлення має вигляд
		29, 43, 64, 92.
Розкодуймо одержане повідомлення.
						2	3
1. Обертаючи кодувальну матрицю A										дістаємо розкоду-
1. Обертаючи кодувальну матрицю A						3	4		,	дістаємо розкоду-
						3	4

1		4
1		4	3
вальну матрицю A			.
	3		2

2. Множачи розкодувальну матрицю A 1 на закодовану матрицю C,
дістаємо матрицю повідомлення:
1		4	3	29 64				13		20
1
P A C										.
		3	2		43	92			1 8

3. Записуємо початкове числове повідомлення

13,1, 20, 8

і його літерний оригінал

MATH .

5.5. Мережевий потік

Системи лінійних алгебричних рівнянь природно виникають під час вивчення потоку деякої величини через мережу. Приміром, це можуть бути потоки автотранспорту в міських транспортних мережах, або потоки електричного струму в енергетичних мережах, або потоки певного товару від постачальника до споживача у торгівельних мережах. Системи рівнянь, за допомогою яких вивчають реальні мережі, можуть містити до сотень, тисяч або й мільйонів рівнянь та невідомих.

Мережу складають множина вузлів і множина гілок, які сполучають усі або деякі вузли. Приміром, перехрестя вулиць – це вузол, вулиці — гілки. На кожній гілці вказують напрям потоку, а його величину позначають деякою невідомою.

У задачах на мережевий потік припускають, що:

1)загальний вхідний потік в мережі дорівнює загальному вихідному потоку з мережі;

2)загальний вхідний потік у вузлі дорівнює загальному вихідному потоку з вузла.

Так, на рис. 5.5 зображено, що 30 одиниць надходить до вузла через

гілку і x1 та x2 одиниць виходить з вузла через інші гілки. Оскільки потік

«зберігається» в кожному вузлі, то

x1 x2 30.

50	Розділ 1. Методи й моделі лінійної алгебри

Задача мережевого аналізу полягає у визначення величини потоку в кожній гілці, за певних умов, приміром, якщо відомі вхідні та вихідні потоки.

Для прикладу розгляньмо електричну схему, що містить чотири резистори і два джерела напруги (рис. 5.6).

		x1			Q
		x1		20		10	i
				20		10	i	3
			i1					3
30		x2		80 V	10	15	90 V


					i2
					P
	Рис. 5.5				Рис. 5.6
Напрями струмів i1,i2		та i3 вказано на кожній ділянці кола стрілками.

Струми можна визначити, застосовуючи омів закон

Напруга струм опір

та два кірхгофових закони:

1)у будь-якій точці кола сума вхідних струмів дорівнює сумі вихідних струмів (кірхгофів закон струмів).

2)у будь-якій петлі сума всіх падінь напруги дорівнює ЕРС (кірхгофів закон напруг).

Застосуємо закони Ома і Кірхгофа до розглядуваного кола:

вузол P : i1 i2 i3 0;
вузол Q : i1 i2 i3	0;
права петля: 10i2 25i3 90;
ліва петля: 20i1 10i2	80.
Бачимо, що рівняння для вузлів P та Q пропорційні, отже, залишаю-
чи лише одне з цих рівнянь, маємо систему:

		i2 i3 0,
	i1	i2 i3 0,
				25i		90,
	10i		2	25i	3	90,
			2		3
				10i		80.
	20i			10i		80.
			1	2

Її можна розв’язати або методом Ґауса — Йордана, або за правилом Крамера: i1 2 A,i2 4 A,i3 2 A .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 235 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.08.2019134 Кб1Лист__нформац_молодь_2012_ВНЗ.doc
#
16.09.2019404 Кб7Лист1.doc
#
10.11.2019769 Кб1ЛИТОБЗОР ЧИСТОВИК.doc
#
01.05.2025383 Кб1лицей 3.docx
#
01.07.202523 Кб2ЛІДЕРСТВО, ЯК СОЦІАЛЬНО-ПСИХОЛОГІЧНИЙ АСПЕКТ.docx
#
17.03.201610 Мб333лінійна алгебра та аналітична геометрія.pdf
#
01.03.2025674 Кб0ЛІНІЙНА АЛГЕБРА.docx
#
01.04.2025857 Кб0Логіка висловлювань.doc
#
01.07.2025151 Кб3ЛР 1-1.doc
#
01.07.2025824 Кб2ЛР 1-3.doc
#
01.07.2025279 Кб2ЛР 2-3.doc

	1	2	1	1	1									1	2	1	1	1
	1	2	1	1	1									1	2	1	1	1
		3	2	3	4										5	3	4	5
1		3	2	3	4	a			a			a	0		5	3	4	5	a			a
								2			2													3
								2			2	1								2				3
	2	5	1	2	2				a			2a		0	1	1	0	0				a
	2	5	1	2	2	a			a			2a		0	1	1	0	0	a			a
							3			3											3		2
4		4	0	0			3		a	3		1	0		4	4	4				3		2
4		4	0	0	1 a		4		a	4		4a	0		4	4	4	5
							4			4		1

	1	2	1	1	1									1	2	1	1	1
	1	2	1	1	1									1	2	1	1	1
		3	2	3	4										5	3	4	5
1		3	2	3	4	a			a			a	0		5	3	4	5	a			a
								2			2													3
								2			2	1								2				3
	2	5	1	2	2				a			2a		0	1	1	0	0				a
	2	5	1	2	2	a			a			2a		0	1	1	0	0	a			a
							3			3											3		2
4		4	0	0			3		a	3		1	0		4	4	4				3		2
4		4	0	0	1 a		4		a	4		4a	0		4	4	4	5
							4			4		1

	1	2	1	1	1									1	2	1	1	1
	1	2	1	1	1									1	2	1	1	1
		3	2	3	4										5	3	4	5
1		3	2	3	4	a			a			a	0		5	3	4	5	a			a
								2			2													3
								2			2	1								2				3
	2	5	1	2	2				a			2a		0	1	1	0	0				a
	2	5	1	2	2	a			a			2a		0	1	1	0	0	a			a
							3			3											3		2
4		4	0	0			3		a	3		1	0		4	4	4				3		2
4		4	0	0	1 a		4		a	4		4a	0		4	4	4	5
							4			4		1