Типовик_мат_6модуль

17

18

19

20

21

22

20

23

24

25

26

27

28

29

21

Функциональные ряды. Область сходимости ряда.

Степенной ряд.

Рассмотрим ряды, члены которых являются функциями, т.е. ряды вида

Ряд называется сходящимся в точке , если сходится числовой ряд Ряд называется сходящимся на множестве X, если он сходится в каждой точке этого множества.

Будем называть областью сходимости данного ряда множество всех тех значений х, при которых он сходится, и областью расходимости – совокупность значений, делающих его расходящимся.

Ряд называется абсолютно сходящимся на множестве X,

если на этом множестве сходится ряд

Так же как и у числовых рядов, сумма

называется его n-й частичной суммой; предел частичных сумм сходящегося на

X ряда называется его суммой

Ряд

23

называется его n-м остатком. Он сходится на X тогда и только тогда, когда на

X сходится ряд . Если в этом случае обозначить сумму остатка ряда через , то сумму ряда можно представить в виде

Степенным рядом называется ряд вида С помощью замены переменного =x-x0 этот ряд может быть преобразован к виду

Первая теорема Абеля: если степенной ряд

Обозначим через Х множество всех таких действительных неотрицательных чисел x R, в которых ряд сходится. Поскольку 0 Х, то Х . Пусть R=supX.

Вторая теорема Абеля: если R – радиус сходимости степенного ряда

R<+ , и этот ряд сходится при x=R, то он сходится равномерно на

24

отрезке [0, R] действительной оси. Если ряд сходится при x=R, то его сумма непрерывна на отрезке [0, R] действительной оси.

Одной из важнейших задач, связанных со степенными рядами, является задача определения радиуса сходимости R по данным коэффициентам ряда an.

Пусть . Тогда

Примеры решения заданий по теме «Функциональные ряды. Область сходимости ряда.Степенной ряд.»

1.Найти область сходимости ряда

Решение.

Исследуем этот ряд на абсолютную сходимость, используя предельный признак Даламбера:

Рассмотрим неравенство

выполняя следующие эквивалентные преобразования:

25

знакочередующийся ряд , сходящийся условно в соответствии с признаком Лейбница.

Итак, рассматриваемый функциональный ряд сходится абсолютно при

и условно при , а при ряд расходится.

2.Найти область сходимости ряда

Решение.

Пусть Тогда

Согласно признаку Даламбера ряд сходится при и расходится при Поэтому исходный ряд при сходится абсолютно, а при расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости. Интервал сходимости исходного ряда

(-7; -3). Проверим сходимость ряда на концах интервала.

При ряд имеет вид

И ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак.

При ряд так же расходится:

Окончательно, интервал сходимости исходного ряда .

3. Найти область сходимости ряда

26

28

29