Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975

Характер переходных процессов в системе определяется видом левой части дифференциального уравнения (6.5). Поэтому для определения качественной картины переходных процессов является практически безразличным, записать ли исходное дифференциальное уравнение для управляющего или возмущающего воздействия.

Уравнение (6.5) может с равным успехом быть записано для ошибки регулирования х (t). При этом левая часть уравнения (6.5) полностью сохраняет свой вид.

Процесс регулирования определяется решением дифференциального уравнения как сумма двух решений — частного решения неоднородного уравнения (6.5) с правой частью и общего решения уравнения (6.5) без правой части, т. е. с правой частью, равной нулю:

(6.6)

В случае yчасти (t) = const это будет установившееся значение. II ервое слагаемое (6.6) называют также вынужденным решением ув (t), а второе слагаемое — переходной

составляющей yп (t). Тогда формула (6.6) может быть записана в виде

Система будет называться устойчивой, если с течением времени при переходная составляющая будет стремиться к нулю: . Найдем эту составляющую из (6.5). Для этой цели необходимо решить дифференциальное уравнение без правой части

(6.7)

Общее решение ищется в виде

Дифференцируя это выражение n раз и подставляя в (6.7), получаем после сокращения на общий множитель

(6.8)

Полученное алгебраическое уравнение называется характеристическим. Корни его

будут определять характер переходного процесса в системе. Нетрудно заметить, что по своему виду левая часть (6.8) полностью совпадает с левой частью (6.5). Поэтому характеристическое уравнение получается приравниванием левой части (6.5) нулю:

(6.9)

Однако здесь буква означает уже не символ дифференцирования, а некоторое комплексное число, которое является решением (корнем) характеристического уравнения.

Так как в решении характеристического уравнения содержится п кор-, ней, то переходная составляющая может быть записана в виде

(6.10)

Сп —

где — корни характеристического уравнения, С1,...,Cn . постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Корни характеристического уравнения определяются только видом левой части уравнения (6.5). Постоянные интегрирования определяются также и видом правой его части. Поэтому быстрота затухания и форма переходного процесса определяются как левой, так и правой частями исходного дифференциального уравнения. Однако поскольку в понятие устойчивости системы входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса (независимо от быстроты затухания и формы переходного процесса), то устойчивость линейной системы не зависит от вида правой части дифференциального уравнения (6.5) и определяется только характеристическим уравнением (6.9).

Чтобы определить, устойчива система или нет, нет необходимости решать характеристическое уравнение и определять его корни. Выясним, какие свойства корней необходимы и достаточны для того, чтобы система была устойчивой.

Корни могут быть вещественными, комплексными и чисто мнимыми. Рассмотрим эти случаи.

1. Вещественный корень. Пусть один из корней, например p1, является вещественным. Если он отрицательный (), то слагаемое, определяемое этим

корнем в (6.10), будет представлять собой экспоненту . Очевидно, что при этот член будет затухать.

При получится не затухающий, а расходящийся процесс (рис. 6.2, а). 2. Комплексные корни. Комплексные корни бывают попарно сопряженными. При

отрицательной вещественной части два корня, например р1 и р2, будут иметь вид

. В этом случае слагаемые, определяемые этими корнями в уравнении (6.8), могут быть представлены в виде

где — новые постоянные интегрирования.

Нетрудно видеть, что в этом случае получаются затухающие колебания, причем

мнимая часть корня представляет собой круговую частоту затухающих колебаний, а

— показатель затухания, определяющий затухание огибающей к кривой переходного процесса (рис. 6.2, б).

Такой процесс изображен на рис. 6.2, г.

Следовательно, для затухания переходного процесса необходимо, чтобы вещественные части корней были отрицательными. Это относится как к вещественным, так и к комплексным корням. Если хотя бы один ко рень характеристического уравнения будет иметь положительную вещественную часть, то переходный процесс в целом будет расходиться, т.е. система окажется неустойчивой.

Корни характеристического уравнения можно представить в виде точек на комплексной плоскости величины р (рис. 6.3).

Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни лежали слева от мнимой оси плоскости корней. Если хотя бы один корень окажется справа от мнимой оси, то система будет неустойчивой. Таким образом, мнимая ось представляет собой граничную линию в плоскости корней, за которую не должны переходить корни характеристического уравнения. Вся левая полуплоскость представляет собой при этом область устойчивости.

Превращение устойчивой системы в неустойчивую произойдет в том случае, если хотя бы один вещественный или пара комплексных корней перейдет из левой полуплоскости в правую. Границей перехода будет так называемая граница устойчивости системы. Система будет находиться на границе устойчивости при наличии:

1)нулевого корня;

2)пары чисто мнимых корней;

3)бесконечного корня.

Во всех трех случаях предполагается, что все остальные корни имеют отрицательные вещественные части.

В первом случае вещественный корень попадает на границу устойчивости (ось мнимых) в начале координат, т. е. выполняется условие рk=0. Это означает, что в характеристическом уравнении (6.9) будет отсутствовать свободный член аn = 0. Дифференциальное уравнение (6.5) в этом случае может быть записано в виде

и система будет устойчивой не относительно регулируемой величины у, а относительно ее скорости изменения ру. Величина же отклонения регули руемой величины может принимать произвольные значения. Такую систему называют нейтрально устойчивой, имея в виду ее безразличие к значению самой регулируемой величины.

На границе устойчивости второго типа, которая называется колебательной границей устойчивости, два корня попадают на ось мнимых. Система в этом случае будет иметь незатухающие гармонические колебания с постоянной амплитудой (рис. 6.2, г).

Наконец, вещественный корень может попасть из левой полуплоскости в правую, проходя через бесконечность. В этом случае соответствующее слагаемое в выражении (6.10) обращается в нуль, что соответствует понижению порядка дифференциального уравнения на единицу. Это будет при а0 = 0. Граница устойчивости третьего типа встречается сравнительно редко, и в дальнейшем будут рассматриваться практически только первый и второй типы границы устойчивости.

Как было сказано выше, ни одна реальная система автоматического регулирования не является строго линейной. Линейные характеристики звеньев и линейные дифференциальные уравнения получаются путем линеаризации реальных характеристик и уравнений. При разложении в ряд Тейлора удерживались линейные члены и отбрасывались члены высших порядков, которые для малых отклонений считались пренебрежимо малыми.

Обоснование законности такой линеаризации содержится в теоремах Ляпунова. 1. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет все корни с

отрицательными вещественными частями, то реальная система будет также устойчивой, т. е. малые нелинейные члены не могут в этом случае нарушить устойчивость системы.

2.Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет1 хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то реальная система будет также неустойчивой, т. е. малые нелинейные члены не могут сделать ее устойчивой.

3.При наличии нулевых и чисто мнимых корней поведение реальной системы не всегда даже качественно определяется ее линеаризованными уравнениями. При этом даже малые нелинейные члены могут коренным образом изменить вид переходного процесса, сделав систему устойчивой или неустойчивой.

Опираясь в своих линейных расчетах на эти теоремы Ляпунова, необходимо всегда иметь в виду, что они, во-первых, относятся к исследованию устойчивости в малом, т. е. в малой окрестности данного состояния равновесия, когда кривая СВ мало отличается от прямой СD (см. рис. 3.2) и, соответственно, отбрасываемые в формуле члены малы. Вовторых, все это относится только к описанному выше способу линеаризации уравнений— разложению нелинейных функций в степенные ряды, что геометрически соответствует замене кривой отрезком касательной, а не к какому-либо другому способу линеаризации. К сильно выраженным нелинейностям на больших участках, в том числе и к

нелинейностям релейного типа, эти теоремы, вообще говоря, неприменимы. Для исследования устойчивости нелинейных систем общего вида имеются другие теоремы Ляпунова, так называемый прямой метод Ляпунова или, по старой терминологии, «вторая метода» Ляпунова, которые будут изложены ниже, в главе 17.

Далеко не всегда бывает удобно вычислять корни характеристического уравнения. Поэтому желательно иметь такие критерии, с помощью которых можно было бы судить об устойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения, без вычисления корней. Эти критерии называются критериями устойчивости.

Покажем, что необходимым (но не достаточным) условием устойчивости системы является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Это значит, что при положительности всех коэффициентов система может быть устойчивой, но не исключена возможность неустойчивости системы. Если же не все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то система наверняка неустойчива и никаких дополнительных исследований устойчивости не требуется.

Заметим, что вместо того, чтобы быть положительными, все коэффициенты характеристического уравнения могут быть отрицательными. Умножая все члены характеристического уравнения на минус единицу, можно сделать все коэффициенты положительными, т. е. в этом случае выполнить указанное выше требование.

Для доказательства сформулированного необходимого условия устойчивости будем вначале предполагать, что все корни вещественные. Представим левую часть характеристического уравнения (6.9) в виде произведения

,

где p1, . . ., рn — корни характеристического уравнения. При этом будем считать, что а0 > 0. Это всегда можно выполнить умножением уравнения на минус единицу.

В устойчивой системе все корни должны быть отрицательными, т. е. и т. д. При этом получим

Если теперь раскрыть скобки и вернуться к уравнению вида (6.9), то все коэффициенты уравнения получатся положительными, так как, перемножая и складывая

положительные величины и т. д., нельзя получить отрицательных величин.

При наличии в решении характеристического уравнения комплексных корней с отрицательной вещественной частью, например , результат не изменится, так как множители, соответствующие этим корням, будут иметь вид

.

Очевидно, что появление такого множителя не может изменить вывод о положительности всех коэффициентов характеристического уравнения.

Имея в виду рассмотренное необходимое условие устойчивости, далее будем всегда предполагать, что все коэффициенты характеристического уравнения положительны.

Необходимое условие устойчивости становится достаточным только для уравнений первого и второго порядков. В этом случае система будет устойчивой при положительности всех коэффициентов характеристического уравнения, в чем нетрудно убедиться прямым нахождением корней уравнения.

§ 6.2. Критерий устойчивости Гурийца.

Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, была сформулирована Максвеллом в 1868 году. Эта задача была впервые решена в алгебраической форме Раусом в 1873 году для уравнений четвертой и пятой степени и в. 1877 году — полностью.

Поскольку критерий Рауса дан в форме алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения задачи, использование его в практике является неудобным. Поэтому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости, сфор купированный в 1895 году математиком А. Гурвицем. Этот критерий был найден Гурвицем по просьбе словацкого профессора Стодолы, занимавшегося исследованием процесса регулирования турбин.

Ниже критерий Гурвица приводится без доказательства.

Для характеристического уравнения (6.9) составим квадратную матрицу (таблицу) коэффициентов, содержащую n строк и n столбцов:

(6.11)

Эта таблица составляется следующим образом.

По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов выписываются все коэффициенты по порядку от а1 до аn. Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а также если индекс его меньше нуля или больше п, на месте его пишется нуль.

Критерий устойчивости сводится к тому, что при а0 > 0 должны быть больше нуля все п определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов.

Определители Гурвица составляются по следующему правилу (см. (6.11)):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель Гурвица выражается через предпоследний следующим образом:

(6.15)

Однако в устойчивой системе предпоследний определитель тоже должен быть положительным. Поэтому условие положительности последнего определителя сводится к условию аn >0, т. е. к положительности свободного члена характеристического уравнения.

Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравнивая нулю последний определитель: , при положительности всех остальных определителей. Как следует из (6.15), это условие распадается на два условия:

аn = 0 и . Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическая граница устойчивости) и второе — границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости).

Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия устойчивости Гурвица, можно получить в виде частных случаев критерии устойчивости для системы первого, второго, третьего, четвертого и более высоких порядков.

1. Уравнение первого порядка Для этого уравнения критерий Гурвица дает

т. е. коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными. 2. Уравнение второго порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица требует

Последний определитель, как отмечалось выше, сводится к условию положительности последнего коэффициента: а2 > 0.

Таким образом, и для уравнения второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.

3. Уравнение третьего порядка

Для этого уравнения получаем условия

Третий (последний) определитель дает условие а3 > 0. Условие при а0 > 0, а4 > 0 и а3 > 0 может выполняться только при а2 > 0.

Следовательно, для уравнения третьего порядка уже недостаточно положительности всех коэффициентов характеристического уравнения. Требуется еще выполнение определенного соотношения между коэффициентами .

4. Уравнение четвертого порядка

На основании критерия Гурвица можно получить, что для уравнения четвертого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, требуется выполнение условия

5. Уравнение пятого порядка

Для уравнения пятого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, должны выполняться еще два условия:

Как видно, уже для уравнения пятой степени условия устойчивости по критерию Гурвица получаются достаточно громоздкими. Поэтому использование этого критерия практически ограничивается уравнениями четвертого порядка.

Существенным недостатком критерия Гурвица является также то, что для уравнений высоких порядков в лучшем случае можно получить ответ о том, устойчива или неустойчива система автоматического регулирования. При этом в случае неустойчивой системы критерий не дает ответа на то, каким образом надо изменить параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой. Это обстоятельство привело к поискам других критериев, которые были бы более удобными в инженерной практике. Для иллюстрации применения критерия Гурвица рассмотрим пример на

определение устойчивости дистанционной следящей системы. Принципиальная и структурная схемы изображены на рис. 6.4. В качестве чувствительного элемента использованы два сельсина (СД и СП), включенные по трансформаторной схеме. Передаточная функция сельсинов равна коэффициенту передачи схемы:

где — ошибка, равная разности углов поворота командной и исполнительной осей.

Передаточная функция усилителя:

где k2 — коэффициент усиления и Ту — постоянная времени усилителя. Передаточная функция двигателя (Д):

где — коэффициент передачи двигателя по скорости, а Тм — электромеханическая постоянная времени двигателя совместно с оконечным каскадом усилителя.

Передаточная функция редуктора (Р) равна его коэффициенту передачи, определяемому передаточным отношением:

Так как цепь регулирования состоит из включенных последовательно звеньев, то передаточная функция разомкнутой цепи будет равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:

где — общий коэффициент усиления разомкнутой цепи. Характеристическое уравнение:

1 + W (р) = 0.

После подстановки W(р) получаем

В данном случае характеристическое уравнение имеет третий порядок. Нетрудно видеть, что условие положительности всех коэффициентов выполняется всегда, если выполнено условие К > 0, что будет при правильном согласовании направления вращения двигателя со знаком рассогласования.

Дополнительное условие , накладываемое на коэффициенты характеристического уравнения, сводится при подстановке значений коэффициентов

к неравенству

которое и является условием устойчивости рассматриваемой системы.

Из этого неравенства, в частности, можно заметить, что увеличение каждой постоянной времени сказывается отрицательно на устойчивости системы, так как при этом снижается предельное значение общего коэффициента усиления К, при котором система еще остается устойчивой.

§ 6.3. Критерий устойчивости Михайлова

Рассмотрим отдельно левую часть характеристического уравнения (6.9), которая представляет собой характеристический полином:

(6.16)

Подставим в этот полином чисто мнимое значение , где представляет собой угловую частоту колебаний, соответствующих чисто мнимому корню характеристического уравнения. При этом получим характеристический комплекс

(6.17)

где вещественная часть будет содержать четные степени со:

(6.18) а мнимая — нечетные степени :

(6.19)

Функции представляют собой модуль и фазу (аргумент) характеристического комплекса.

Характеристический полином (6.16) не будет иметь корней в правой полуплоскости,

если полное приращение фазы или аргумента при изменении от 0 до ∞ равно , где n — степень полинома D(р). Следовательно, система регулирования будет устойчивой.

Если полное приращение аргумента окажется меньше , то система неустойчива. Докажем это.

Если все коэффициенты заданы и задано определенное значение частоты , то величина изобразится на комплексной плоскости в виде точки с координатами X и У или в виде вектора, соединяющего эту точку с началом координат. Если же значение частоты со менять непрерывно от нуля до бесконечности, то вектор будет изменяться по величине и по направлению,

описывая своим концом некоторую кривую (годограф), которая называется кривой Михайлова (рис. 6.5).

Практически кривая Михайлова строится по точкам, причем задаются различные значения частоты и по формулам (6.18) и (6.19) вычисляются X () и У (). Результаты расчетов сводятся в таблицу, по которой и строится затем кривая.

Выясним связь между видом крж-вой Михайлова и знаками вещественных корней характеристического уравнения. Для этого определим, чему должен равняться угол

поворота вектора при изменении от нуля до бесконечности. Для этого запишем характеристический полином в виде произведения сомножителей

(6.20)

где р1, . . ., рn — корни характеристического уравнения.

Характеристический вектор можно тогда представить в следующем виде:

(6.21)

Каждая из скобок представляет собой комплексное число. Следовательно, представляет собой произведение n комплексных чисел. При перемножении аргументы комплексных чисел складываются. Поэтому результирующий угол поворота вектора при изменении от нуля до бесконечности будет равен сумме углов поворота отдельных сомножителей (6.21):

(6.22)

. Аналогичные построения (рис. 6.6, б) показывают, что результирующий

угол поворота будет . Знак минус показывает, что вектор поворачивается по часовой стрелке.

3. Пусть два корня, например р2 и p3 представляют собой комплексные сопряженные

величины с отрицательной вещественной частью, т. е. р2,3 =. Сомножители в выражении (6.21), определяемые этими корнями, будут иметь вид

.

При = 0 начальные положения двух векторов определяются точками А1 и А2 (рис. 6.7, а). Первый вектор повернут относительно оси вещественных по часовой стрелке на

угол , второй вектор — на тот же угол против часовой стрелки. При увеличении от нуля до бесконечности концы обоих векторов уходят кверху в бесконечность и оба вектора в пределе сливаются с осью мнимых.

поворота второго вектора . Вектор, соответствующий произведению

, повернется на угол 4. Пусть те же комплексные корни имеют положительную вещественную часть, т.е.

. Проводя построения, аналогичные предыдущим (рис. 6.7, б), можно получить, что результирующий угол поворота вектора, соответствующего произведению

двух сомножителей, будет .

Таким образом, если характеристическое уравнение будет иметь I корней с положительной вещественной частью, то, каковы бы ни были эти корни (вещественные

или комплексные), им будет соответствовать сумма угловповоротов, равная . Всем же остальным n — l корням характеристического уравнения, имеющим отрицательные

вещественные части, будет соответствовать сумма углов поворотов, равная (n — l) . В

результате общий угол поворота вектора при изменении со от нуля до бесконечности, согласно формуле (6.22), будет

(6.23)

Этим выражением и определяется искомая связь между формой кривой Михайлова и знаками вещественных частей корней характеристического уравнения. В 1936 году А. В. Михайловым был сформулирован следующий критерий устойчивости для линейных систем любого порядка.

Для устойчивости системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы вектор , описывающий кривую Михайлова, при изменении от нуля до бесконечности

имел угол поворота Эта формулировка непосредственно вытекает из (6.23). Для устойчивости системы

необходимо, чтобы все корни лежали в левой полуплоскости, т. е. должно быть l=0. Отсюда определяется требуемый результирующий угол поворота вектора.