Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975

плоскости называются сепаратрисами (третий тип особых линий). Особые линии более сложного очертания рассматриваться не будут.

Здесь говорилось пока о системах, которые при малых отклонениях рассматриваются как линейные. Но совершенно аналогичная картина получается и для таких нелинейных систем автоматического регулирования, которые даже «в малом» нельзя рассматривать как линейные. Таковыми являются многочисленные типы релейных систем, а также системы с зоной нечувствительности, с гистерезисной петлей, с сухим трением, с зазором. Интересно отметить, что некоторые из таких систем скорее «в большом», чем «в малом», могут приближаться к линейным, когда зона нечувствительности или зазор оказываются малыми по сравнению с величиной отклонений х. В системах с зоной нечувствительности и с сухим трением существуют, как известно, области застоя, когда установившемуся состоянию при данных внешних условиях (данной нагрузке) соответствует не одна точка, а целая область возможных равновесных состояний системы. На фазовой плоскости это выражается в том, что особая точка вытягивается в особый отрезок (рис. 16.14, д). Заметим, наконец, что координатами (х, у) фазовой плоскости могут служить не обязательно отклонения регулируемой величины и скорость ее, как было выше. Для этой цели могут быть взяты любые две переменные, однозначно характеризующие состояние системы второго порядка в произвольный момент времени.

Пример. Изобразим на фазовой плоскости переходный процесс и автоколебания в системе автоматического регулирования температуры, рассмотренной выше. Координаты фазовой плоскости будут

(16-29)

Если у >0, то согласно (16.10) и рис. 16.4, а переключение регулятора происходит при θ = +b (линия ЕF на рис. 16.15); если же y<0, то при θ = -b (линия ОН). Справа от линии переключения ЕFGН справедливо уравнение системы (16.12), а слева — (16.13). Уравнение (16.12) в обозначениях (16.29) примет вид

откуда получаем дифференциальное уравнение фазовых траекторий

(16.30)

Интегрирование его дает

(16.31)

где С1 — произвольная постоянная. Каждому конкретному значению С1 -соответствует определенная кривая на фазовой плоскости. Семейство кривых, отвечающих различным значениям С1, изображено на рис. 16.15 справа от линии ЕFGН. Эти кривые имеют асимптоту у = -k1с. Направление движения изображающей точки по ним, показанное

стрелками, определяется из условия y = dxdt , т. е. х возрастает при у>0 и убывает при у<0.

Уравнение (16.13) в обозначениях (16.29) будет

(16.32)

что дает решение

согласно которому наносится семейство фазовых траекторий слева от линии ЕFGН (рис. 16.15).

В результате получится, что фазовые траектории расходятся от начала координат и сходятся из бесконечности, т. е. имеет место случай, аналогичный рис. 16.14, а, а значит, где-то должен быть устойчивый предельный цикл. Он обозначен жирной линией на рис. 16.15.

Следовательно, в данной системе автоматического регулирования будут наблюдаться устойчивые автоколебания, к которым сходится переходный процесс с обеих сторон, т. е. при любых начальных условиях.

Автоколебательный процесс является здесь единственно возможным видом установившегося процесса, а строгое поддержание постоянной температуры (θ = 0) невозможно. Амплитуда автоколебаний температуры в данной системе регулирования изображается на рис. 16.15 отрезком а. Период же автоколебаний определяется решением уравнений во времени, как было сделано выше. Половины АВ и ВD (рис. 16.15) предельного цикла соответствуют полупериодам АВ и ВD (рис. 16.4, б) автоколебаний. Отрезок g (рис. 16.15) изображает амплитуду скорости изменения температуры при автоколебаниях; это есть величина (16.18). Видно, что g < k1 с.

Перейдем к составлению уравнений нелинейных систем автоматического регулирования.

§ 16.2. Уравнения систем с нелинейностью релейного типа

Следуя сделанным в § 16.1 замечаниям, приведем несколько примеров составления уравнений нелинейных систем релейного типа.

Система автоматического регулирования напряжения. Пусть имеется шунтовой генератор постоянного тока (регулируемый объект) с вибрационным регулятором напряжения. Упрощенная принципиальная схема такой системы показана на рис. 16.16. Когда контакты К под действием пружины П замкнуты, сопротивление, обозначенное через 2r1; выключено из цепи возбуждения генератора 1. Система рассчитана так, что при этом напряжение U на клеммах генератора возрастает (при любой реально

возможной нагрузке в сети, на которую работает данный генератор). В результате увеличивается ток I2 в катушке 2 электромагнитного реле и якорь реле притягивается, размыкая тем самым контакты К. При разомкнутых же контактах К в цепь возбуждения включено сопротивление 2r1. Это вызывает снижение напряжения U, а значит уменьшение тока I2 и отпускание реле, в результате чего контакты К снова замыкаются, выключая тем самым сопротивление 2Rд из цепи возбуждения. Настройка системы на желаемое номинальное значение регулируемой величины U производится установкой сопротивления Rя.

Уравнение регулируемого объекта (генератора) представим в линейном виде:

(16.33)

где ∆r — изменение сопротивления цепи возбуждения (регулирующее воздействие). Постоянная времени Т1 и коэффициент k1 определяются параметрами якоря и цепи возбуждения.

Уравнение чувствительного элемента (катушки электромагнита 2) запишем в виде

(16.34)

Начало отсчета величин отклонений ∆U , ∆I 2 и ∆r будет определено ниже.

Регулирующий орган (контакты K, скачком включающие и выключающие сопротивление 2r1) является нелинейным звеном релейного типа. Выходная величина его —

сопротивление г цепи возбуждения — меняется скачкообразно при срабатывании и отпускании реле, т. е. в зависимости от величины тока I2 в цепи катушки 2

электромагнитного реле. Это изображено на рис. 16.17, а, где Iср и Iотп — токи полного срабатывания и отпускания реле. Для составления уравнения такого нелинейного звена, удобно, как всегда, ввести отклонения ∆I 2 и ∆r от некоторых постоянных значений I°2 и R°. Как указано на рис. 16.17, а, принимаем

(16.35)

Тогда характеристика данного нелинейного звена в отклонениях примет вид рис. 16.17, б, симметричный относительно начала координат (релейная характеристика с гистерезисной петлей).

В связи с этим уравнение нелинейного звена (рис. 16.17, б) будет

(16.36)

(16.37)

где выражение sign( ∆I 2 — i1) обозначает знак величины ( ∆I 2 — i1). Формулы (16.36) и

(16.37) отвечают соответственно движению вправо по линии: АВСЕF (рис. 16.17) и влево по линии FЕDВА, причем в точках С и D происходит переключение реле (перескоки в точки Е и В соответственно).

Уравнения линейной части системы (16.33) и (16.34), имея в виду исследовать переходный процесс при f(t) = 0, объединим в одно:

(16.38)

Постоянные значения, от которых производится здесь отсчет отклонений переменных, определяются из алгебраических уравнений условного номинального установившегося режима

с использованием реальных характеристик генератора.

Система автоматического регулирования курса водяной торпеды.

Возьмем описанную в § 1.3 простейшую схему (рис. 1.20). Уравнение вращения торпеды вокруг вертикальной оси (рыскание по курсу) как регулируемого объекта запишем приближенно в виде

(16.39)

где ψ — угол отклонения торпеды от заданного направления, J— ее момент инерции относительно вертикальной оси, c1ψ — момент сопротивления среди (воды),

с2 δ — момент руля, δ — угол поворота руля. Разделив (16.39) на с1 получим уравнение регулируемого объекта в виде

(16.40)

где

Чувствительным элементом является трехстепенный гироскоп, поворачивающий рычаг заслонки в системе питания пневматической рулевой машинки на угол, пропорциональный углу отклонения торпеды. Следовательно, уравнение чувствительного элемента будет

(16.41)

где s— величина перемещения заслонки из нейтрального положения.

Будем считать, что поршень рулевой машинки 3 (рис. 1.20) при открытии заслонки, быстро получая полную скорость, мгновенно перебрасывает руль из одного крайнего положения в другое.

В таком приближенном представлении линейная часть системы ограничивается уравнениями (16.40) и (16.41). Единое уравнение линейной части системы, поэтому будет

(16.42)

Рулевая машинка вместе с рулем (привод и регулирующий орган) представляет собой нелинейное звено, уравнение которого согласно вышесказанному можно представить либо в простейшем виде (рис. 16.18, а)

(16.43)

либо, если имеется заметная зона нечувствительности (рис. 16.18, 6), в виде

(16.44)

либо, если существенное значение имеет гистерезисная петля (рис. 16.18, в),

(16.45)

либо, наконец, в простейшем случае, но с запаздыванием (рис. 16.18, г)

(16.46)

где

(16.47)

причем τ — время запаздывания срабатывания реле.

При исследовании системы в целом можно принять один из этих четырех вариантов в зависимости от того, какой из них лучше будет соответствовать свойствам данной релейной системы.

§ 16.3. Уравнения систем с нелинейностью в виде сухого трения и зазора

Приведем примеры составления уравнений для нелинейных систем с сухим трением или зазором в механической передаче.

Следящая система с линейным и сухим трением. В § 5.7 составлены уравнения следящей системы в линейном виде. Рассмотрим теперь такой случай, когда к линейному моменту трения Млт добавляется еще момент сухого трения Мст, имеющий постоянную величину, равную некоторому значению с, и меняющий свое направление (знак) с изменением знака

скорости вращения объекта p β (рис. 16.19). Следовательно, теперь уравнение управляемого объекта примет вид

(16.48)

где β — угол поворота вала управляемого объекта, причем

(16.49)

Важная особенность сухого трения состоит в том, что это (в отличие от релейных характеристик) далеко не всегда означает мгновенное переключение величины Мст при рβ = 0. Здесь возможны два варианта:

(16.50)

В первом случае скорость объекта рβ пройдет через нулевое

значение и его движение будет продолжаться без остановки дальше по закону (16.48). Во втором же случае произойдет остановка управляемого объекта, в течение которой будет

иметь место не переключение, а медленное изменение величины Мст в интервале -c ≤ Mст ≤ +c (или обратно), причем Мcт будет принимать все время определенные значения

(16.51)

В этом случае движение возобновится снова только тогда, когда вращающий: момент достигнет значения |Мвр| =с и превысит его.

Если же остается |Мвр| <с, то система будет неподвижна. Поэтому положение равновесия управляемого объекта оказывается неопределенным внутри некоторого отрезка, а именно при любом значении |Мвр|<с. Этим определяется зона застоя системы. Застой проявляется в том, что, с одной стороны, система не будет двигаться при изменении угла задатчика в определенном интервале и, с другой стороны, что система будет обладать. ошибкой из-за сухого трения в положении равновесия. В процессе же движения системы в одну сторону с любой скоростью сухое трение внесет постоянную ошибку одного знака, что соответствует как бы дополнительной внешней нагрузке Мнг = с.

Итак, уравнение управляемого объекта, как нелинейного звена системы, согласно (16.48) и (16.49) с учетом (16.50) будет иметь вид

(16.52)

Уравнения всех остальных звеньев данной следящей системы в совокупности образуют линейную часть системы, единое уравнение которой для свободного движения упрощенно запишем в виде

(16.53)

Следящая система с зазором. Предположим теперь, что в той же самой следящей системе нелинейность заключается не в сухом трении, а в наличии зазоров в силовой

значения во время остановки, т. е.

(16.57)

Р — сила давления воздуха камеры на мембрану, FM — упругая сила мембраны, Fп — сила пружины.

В результате после перехода к безразмерным относительным отклонениям (14.27) и (14.48) получим вместо (14.47) следующее уравнение чувствительного элемента как нелинейного звена:

Построим характеристику этого нелинейного звена с сухим трением в координатах ( −ϕ ,η ). Легко видеть, что первое из уравнений (16.58) соответствует прямым DА и ВС

при рη > 0 и рη < 0, а второе уравнение (η = const) — отрезкам АВ, СD, ЕF, GН и т. п. на

рис. 16.21, б. Из сравнения рис. 16.21,6 и рис. 16.20, б видно, что сухое трение в таком нелинейном звене (без массы) эквивалентно зазору, половина которого равна b, чего совершенно нельзя сказать о сухом трении в следящей системе, где учитывалась масса (момент инерции).

Все остальные звенья системы (рис. 14.7) образуют линейную часть, единое уравнение которой при f= 0 будет

(16.59)

§ 16.4. Уравнения систем с нелинейностями других видов

Рассмотрим несколько примеров составления уравнений автоматических систем с нелинейностями других видов, чем в §§ 16.2 и 16.3.

Система автоматического регулирования с нелинейной характеристикой привода регулирующего органа. Привод регулирующего органа, каким бы он ни был (электрический, гидравлический, пневматический), всегда имеет, во-первых, некоторую зону нечувствительности в начале координат (рис. 16.22, а) и, во-вторых, зону «насыщения» по краям. Кроме того, может иметь место еще и гистерезис (рис. 16.22, г). Эти две криволинейные характеристики могут быть приближенно заменены кусочнолинейными (рис. 16.226,д или в, е, и). Наконец, существуют приводы с постоянной скоростью (рис. 16.22, ж, з), относящиеся к нелинейным звеньям релейного типа, уже рассмотренным ранее.

Зона нечувствительности b1 выражается в том, что электрический двигатель имеет определенный минимальный ток трогания (i = b1), до достижения которого вал двигателя будет неподвижен (рξ = 0). В гидравлическом же двигателе золотник имеет так

называемую зону перекрытия (его поршенек немного шире отверстия, им закрываемого), вследствие чего он откроет путь рабочей жидкости в цилиндр двигателя, только переместившись на некоторую величину s=b1. Аналогично и в случае пневматического привода, где роль золотника играет заслонка.

Зона насыщения обнаруживается в том, что при увеличении тока сверх, некоторого значения i = b2 скорость перемещения регулирующего органа остается постоянной (рξ =с); также и для гидравлического двигателя при s ≥b2, когда окна золотника

полностью открыты.

Термины «насыщение» и «гистерезис» применяются здесь в обобщенном смысле для обозначения нелинейностей определенного типа; они не обязательно соответствуют физическим явлениям насыщения и гистерезиса.

Уравнение привода регулирующего органа с учетом указанных обстоятельств вместо прежнего линейного будет иметь нелинейный вид:

(16.60)

где F(s) есть нелинейная функция, задаваемая графиком (рис. 16.22, а или г). Для электрических приводов можно записать

(16.61)

В приближенном кусочно-линейном виде (рис. 16.22, б) уравнение (16.60) записывается следующим образом:

(16.62)

В случае наличия гистерезиса (рис. 16;22, д) придется написать два ряда таких же выражений с разными значениями b1 и b2 — один для движения вправо (рc > 0) и другой для движения влево (рc<0). Этим определяется уравнение привода регулирующего органа как нелинейного звена. Уравнение линейной части составляется обычным способом в зависимости от того, в какой конкретно автоматической системе этот привод применен.

Следящая система с линейным и квадратичным трением. В § 16.3 была рассмотрена следящая система с линейным и сухим трением. Пусть теперь управляемый объект в той же следящей системе обладает кроме линейного еще квадратичным трением, т. е.

уравнение объекта имеет вид

Где

(рис. 16.23). Тогда уравнение управляемого объекта как нелинейного звена будет

(16.63)

Уравнение линейной части системы в полном, виде по-прежнему будет (16.53).

Система автоматического регулирования с переменным коэффициентом усиления. В

ряде случаев для повышения качества процесса регулирования: бывает желательно, чтобы воздействие на регулируемый орган было не пропорциональным отклонению регулируемой величины, а усиливалось или ослаблялось при увеличении этого

отклонения (нелинейный закон регулирования). Примерами такого воздействия с переменным коэффициентом усиления могут служить характеристики с ограниченной линейностью или с насыщением (рис. 16.22, а).

Однако они дают уменьшение коэффициента усиления при увеличении отклонения. Рассмотрим теперь два примера характеристик с переменным коэффициентом усиления, который увеличивается при увеличении отклонения.

Уравнение нелинейной части привода регулирующего органа будет в случае характеристики рис. 16.24, а

(16.64),

а в случае характеристики рис. 16.24, б

(16.65)

Все рассмотренные примеры иллюстрируют случай, когда общая схема системы имеет вид рис. 16.1, т. е. случай нелинейной системы первого класса (кроме случая сухого трения в следящей системе при наличии остановок). Комбинации нелинейностей приводят к нелинейным системам второго и третьего классов (см. главу 18).

Система автоматического регулирования с логическим устройством. Пусть динамика регулируемого объекта (рис. 16.25) описывается уравнением

(16.66)

Уравнения измерителей

(16.67)

Уравнение усилителя-преобразователя с логическим устройством