Новотный и Хехт, Основы нанооптики

Глава 14

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ ФЛУКТУАЦИЯМИ

Тепловое движение и нулевые колебания электрически заряженных частиц в ве­ ществе порождают флуктуирующее электромагнитное поле. Квантовая теория утвер­ ждает, что флуктуирующие частицы обладают лишь дискретными уровнями энергии, и, следовательно, испущенное ими флуктуационное излучение имеет спектр абсо­

лютно черного тела. Однако поскольку соответствующая формула для излучения

черного тела справедлива, строго говоря, если тело находится в состоянии термоди­

намического равновесия, к неравновесным состояниям ее можно при менять только

как некоторое приближение к истине. Это приближение корректно на больших

расстояниях от излучающего вещества (дальнее поле), но существенно отличается

от истинного положения дел вблизи поверхности вещества (ближнее поле).

Поскольку флуктуации заряда и тока в веществе приводят к потерям на излуче­ ние, ни один объект в свободном пространстве при конечной температуре не может

находиться в термодинамическом равновесии. Равновесие с полем излучения может быть достигнуто лишь удержанием излучения в ограниченном пространстве. Однако

в большинстве случаев состояние объекта можно считать близким к термодинами­ ческому равновесию, а отклонения от такового можно описывать моделью линейного

отклика. В этом случае имеет место важнейшая флуктуацuонно-дuссunацuонная

теорема, которая связывает скорость диссипации энергии в неравновесной системе

с флуктуациями, возникающими спонтанно в различные моменты времени в равно­

весных системах.

Флуктуационно-диссипационная теорема важна для понимания поведения флук­ туирующих полей в окрестности нанометровых объектов и оптических взаимодей­

ствий на нанометровых расстояниях (например, сил Ван-дер-Ваальса). Цель настоя­

щей главы состоит в том, чтобы провести детальный анализ нескольких важных эффектов флуктуационной электродинамики.

14.1. Флуктуационно-диссипационная теорема

Флуктуационно-диссипационную теорему обычно получают из золотого правила

Ферми, рассчитывая квантовые корреляционные функции. Истоки теоремы лежат в соотношении Найквиста, описывающем флуктуации напряжения на сопротив­

лении. Однако в общей форме ее получили Коллен и Велтон [1]. Приведенное

здесь рассмотрение является чисто классическим, и лишь в конце выкладок в них

вводится постоянная Планка. Хотя флуктуационно-диссипационную теорему можно вывести, используя обобщенные переменные, нагляднее будет провести рассуждения

для конкретной физической задачи. Рассмотрим наноразмерную систему, харак­

терный пространственный масштаб которой много меньше длины световой волны

(см. рис. 14.1), что позволяет описывать взаимодействие с системой в электриче­

ском дипольном приближении. Теория может быть легко расширена, если учесть

мультипольные слагаемые более высоких порядков. Пусть наноразмерная система

состоит из конечного числа заряженных частиц с N степенями свободы. В состоянии

где использована подстановка т' = т +t. Вследствие стационарности корреляционная

функция под интегралом не зависит от т, и интегрирование по т приводит К дельта­

функции. 1) Окончательное соотношение известно как теорема 8инера-Хинчина:

-ос

которая показывает, что при надлежащие разным частотам спектральные компонен­

ты некоррелированы. Интеграл в правой части равенства называется спектраль­

ной плотностью. Чтобы получить спектральное представление флуктуационно­

диссипационной теоремы, необходимо применить преобразование Фурье (14.12).

Правая часть равенства приводит к свертке спектра ступенчатой функции 8(VJ) 2),

и спектру d/dt(8/-Lk(О)8/-LJ(t»). Чтобы избавиться от мнимой части 8, будем искать

решение не для aJk(VJ), а для ajk(VJ) - a;;)VJ). Воспользовавшись стационарностью,

теоремой Винера-Хинчина и тем фактом, что (8/-Lk(т)t5/-Lk(t + т») - вещественная

величина, получаем

(14.17)

Это равенство представляет собой аналог (14.12) в частотном представлении. Мно­ житель kT можно определить как среднюю энергию в расчете на одну степень свободы частицы в системе (принцип равнораспределения). Эта средняя энергия ос­

нована на предположении, что энергия электромагнитной волны обладает непрерыв­ ным распределением. Однако, согласно квантовой теории эти моды могут обладать

лишь дискретными значениями энергии, разделенными интервалом дЕ = l~VJ, и,

следовательно, среднюю энергию kT следует заменить:

что соответствует средней энергии квантового осциллятора (первое слагаемое) и энергии нулевых колебаний (второе слагаемое). При этом в качестве последнего

слагаемого мы выбрали 1iы вместо nVJ/2 для достижения согласия с квантовой теорией, которая требует, чтобы выражение (8jij(VJ)8jik(VJ'») было антикоррелировано

при VJ > О (см. разд. 14 1.4).

В пределе при n - о или nVJ « kT подстановка (14.18) вновь принимает класси­ ческое значение kT. Переписывая правую часть (14.18) как 1iы/[I - ехр(-l/VJ/kТ)]

и подставляя это выражение в (14.18), приходим к квантовой версии флуктуационно­

диссипационной теоремы [4], [5]:

(14.19)

с правой частью полученного равенства связана диссиnация, тогда как левая часть представляет флуктуации равновесной системы. Важно отметить, что квантовая ме­ ханика приводит к диссипации даже при температуре абсолютного нуля. Остающиеся

1) f~oc exp{zxy} dy = 27rб(х)

408 Гл /4 Взаимодействия, обусловленные флуктуациями

флуктуации действуют только на положительных частотах! Это легко увидеть из

следующего предела:

Флуктуационно-диссипационную теорему можно обобщить таким образом, чтобы она учитывала пространственную зависимость источников. Оказывается, что если

функция отклика системы локальна, т. е. ejk(r, t) = ejk(t) или ejk(k, U)) = ejk(U)), то

флуктуации в двух различных пространственных координатах некоррелированы [6].

Для флуктуаций плотности тока 8j(r, t) в изотропной и однородной среде с диэлек­

теорему в той форме. в которой она была развита Колленом и Велтоном [1]. Отме­

тим, что флуктуация дипольного момента 8~ порождает локальное стохастическое

электрическое поле 8Е согласно равенству

которое прямо следует из временного соотношения (145), если применить к нему преобразование Фурье (14.14). Подстановка линейного соотношения в (14.19) при-

водит к равенству

которое задает корреляцию локального электрического поля, индуцированного флук­

туациями диполя. Интегрируя обе части равенства по U)' и применяя теорему

Винера-Хинчина, получаем

х

2:/Ц} С _(~~"'lkT) [n:k~l(U)) -Q}k1(U))] = 2~ f (БЕk.(т)БЕ)(t+т))еЖUJfdt. (14.24)

-х

Дальнейшее интегрирование по U) приведет к возникновению дельта-функции в пра­ вой части равенства, что позволит рассчитать интеграл по времени. Окончательный

результат имеет вид

х

Теперь применим полученную формулу к флуктуациям заряда в резисторе. Флук­

туации плотности тока можно выразить через флуктуации дипольного момента

как д) = (l/dt(b/l.)8(r - г'). В предположении об изотр~ности резистора (j = k),

соотношение между током и полем задается равенством бj(U)) = -Zu)Q(U))б(г - г')8Е,

что позволяет нам определить множитель [-1U)(х(U))8(г - г,)Г1 как удельное сопро-

При этом мы уменьшили интервал интегрирования до [о ... х] и воспользовались равенством R(w) = -R(-w). В левой части полученного равенства стоит среднеквад­

ратичная флуктуация напряжения. При температурах kT :» ftw, что характерно прак­

тически для большинства частот при комнатной температуре, выражение в скобках можно заменить его классическим пределом kT. Более того, для систем с конечной

полосой частот В = (Wmax - WmiIl)/21Г И для не зависящего от частоты сопротивления

получаем

(1428)

Полученное равенство соответствует белому шуму, или шуму Джонсона, который генерируется резистором в электрическом токе. В полосе частот 10 кГц при комнат­

ной температуре резистор 1О МОм генерирует напряжение ~ 40 МКВср кв ЗНЗ'! •

14.1.3. Диссипация, обусловленная флуктуациями внешних полей. Мы

получили выражение для диссипации системы как функции флуктуаций ее зарядов.

В настоящем разделе мы получим соотношение, выражающее диссипацию через

поля, порожденные флуктуацией зарядов. Плотность тока бj в (14.21) порождает

электрическое поле

Vo

где все токи ограничены областью Vo. Умножая вышеуказанное выражение на со­

ответствующее выражение для поля БЕ(г', w'), усредняя по ансамблю и применяя

(14.21), получаем

Отметим теперь, что диэлектрические.... свойства области источника определяются не

только значением е", но и тензором G, поскольку последний зависит от множителя

для корреляционных функций электрического поля с помощью тождества [8, 9]:

11 \1;1

которое можно получить из равенства G~J(r',r;VJ) = Gj,(r,r',VJ), потребовав, что­

бы Фrнкция Грина обращалась в нуль на бесконечности, и используя определе-

ние G (2.78). Чтобы удовлетворить условию равенства нулю на бесконечности,

....

G должна состоять из уходящей и приходящей частей, гарантирующих отсутствие

переноса энергии, т. е. усредненный по времени вектор Пойнтинга должен быть равен нулю в любой точке пространства. Это условие гарантирует, что все заряды

находятся в равновесии с полем излучения [10].

Теперь флуктуационно-диссипационную теорему можно выразить через одну лишь функцию Грина:

(14.32)

Этот результат устанавливает соответствие между флуктуациями поля (левая часть)

и диссипацией (правая часть), которое выражается с помощью мнимой части функ­

ции Грина. Как и ранее, результат справедлив строго в состоянии равновесия,

т. е. тогда, когда температуры поля и источников совпадают.

14.1.4. Нормальное и антинормальное упорядочивание. Разобьем напряжен­ ность электрического поля E(t) в произвольной точке r на две части:

о-:х>

где E(VJ) - фурье-образ поля E(t). Функции E+(t) и Е-Щ более не являются

вещественными, теперь это так называемые комплексные аналитические сигналы [3].

Функция E+(t) определяется положительными частотами функции E(t), тогда как

E-(t) - отрицательными. Поскольку E(VJ) - вещественная, имеет место равенство

E*(VJ) = Е(-VJ), откуда следует, что Е- = (Е+)*. Рассмотрим также обратное пре­

образование Фурье функций E+(t) и E-(t):

Очевидно, что спектры связаны с исходным спектром Е следующим образом:

в квантовой механике Е- ассоциируют с оператором рождения a;t, а Е+ - с опе­

ратором уничтожения а; (см. разд. 8.4). Последовательность Е-Е+ описывает веро­

ятность поглощения фотона, а последовательность Е+Е- - вероятность излучения

фотона [3]. Существенно, что в квантовой механике эти процессы не идентичны,

т. е. Е+ и Е- не коммутируют. Поэтому корреляционные функции Е-Е+ (нормаль-

ное упорядочивание) и Е+Е- (антинормальное упорядочивание) следует рассчиты­

вать независимо.

Теперь обратим внимание на флуктуации поля 8E(r, t), среднее значение которых

равно нулю, и разложим их спектр на часть, соответствующую положительным

частотам, и часть, соответствующую отрицательным частотам. Воспользовавшись

результатами [4] и применяя процедуру, использованную при выводе (14.32), находим

мально упорядоченных операторов равна нулю для положительных частот, и сходным

образом корреляционные функции антинормально упорядоченных операторов равны

нулю для отрицательных частот.

Можно показать, что (8Е)-БЕ;:;*) = (БЕ1t5Et*) = о и, следовательно, корре­

ляционная функция полного поля Е = Е- + Е+ представляет собой просто сумму

корреляционных функций вышеуказанных нормально и антинормально упорядочен­

ных полей, что возвращает нас к равенству (14.32) и позволяет интерпретировать

корреляционную функцию (8Ез8Е;') как последовательность событий поглощения

и испускания.

Для полноты картины мы также установим флуктуационно-диссипационную тео­ рему для симметризованных корреляционных функций. Интересующее нас выраже­

ние имеет вид

(1438)

Из (14.36) и (14.37) непосредственно следует, что приведенное выше выражение

множителя 1 на 1/2. Следовательно, при Т = О симметризованная корреляционная

функция более не равна нулю при отрицательных частотах.

14.2. Излучение флуктуирующих источников

Плотность энергии произвольно флуктуирующего электромагнитного поля в ва­

кууме дается равенством (сравните с (2.55»

Для упрощения записи опустим аргумент r. В предположении стационарности флук­

туаций усредненное W принимает вид

-ос

причем для БН имеет место аналогичное выражение. Теперь можно определить

спектральную плотность энергии W w(w) как ')

-х

После домножения обеих частей равенства на 8(,,", - ,,",'), применения теоремы

Винера-Хинчина и введения пространственной зависимости получаем

равны.

Определим спектральную плотность энергии ~V<и, обусловленную распределением флуктуаций тока бj в произвольной системе отсчета, предполагая, что послед-

2) Поля. заданные системой дискретных флуктуирующих диполей, можно записать в ана­

логичной форме (см разд 83.1), а затем с помощью флуктуационно-диссипационной теоре­

мы (1423) - Примеч авт. можно вывести И"",