Новотный и Хехт, Основы нанооптики

С точностью до постоянного множителя выражение в правой части совпадает со

чтобы найти угловое распределение электрического и магнитного полей диполя, мы

J.О.1ЖНЫ сначала найти спектр функции ехр ikr/Т. ЭТО не такая простая задача, поскольку функция cxp(ikt')/T' имеет сингулярность в точке r = О и, следовательно,

расходится в точке расположения диполя. Следовательно, однородное уравнение

Ге.lьмгольца в данном случае неприменимо. Однако используя комплексный контур

интегрирования, угловой спектр функции exp(ikr)/r все-таки можно получить. Так

как вывод этой формулы легко найти в других учебниках (например, [11]), мы

ограничимся тем, что при ведем результат:

в процессе интегрирования положительными для любых значений kr; и ky . Соотно­

шение (2 118) известно как тождество Вейля [12]. В гл. 10 мы будем использовать

это тождество для вычисления излучения диполя вблизи плоской поверхности.

ДЛЯ определенного ;/: вектор электрического поля Е2 описывает кривую в плос­

кости (.1',:) за период времени от момента t = О до момента л/с. Найдите

2.6. Найдите зависимость интенсивности прошедшего света для системы двух

стеклянных полупространств (n = 1,5), разделенных воздушной прослойкой

(d) от угла падения (},. Вычислите функцию передачи для .о;-поляризованного излучения. Отнормируйте функцию передачи, поделив на результат при О, = О

Проделайте то же для р-поляризованного излучения.

2.7. Выведите соотношение (2.110), подставляя обратное фурье-преобразование от

720 с.]

4.Yaghjian A.D. Electric dyadic Green's functions in the source region 11 Ргос IEEE 1980 V 68. Р 248-263.

5.Bladel J. V Some remarks оп Green's dyadic for infinite space 11 IRE Tгans Antennas Propag. 1961. У.9 Р 563-566

6Tai С. Т. Dyadic Green's Functions in Electгomagnetic Theory - New Yoгk 1ЕЕЕ Pгess. 2nd edn .. 1993

7Wolf Е and NietoVesperinas М Analyticity of the angular spectrum amplitude of scatteгed

9.Meixner А., Ворр М., and Tarrach а. Direct measurement of standing еvапеsсепt \\'а\б with а photon scanning tunneling micгoscope /1 Appl. Opt 1994 V 33 Р 7995

10.Axelrod D, Thompson N., and Burghardt Т. Total internal reflection fluoгescent microscopy 1/ J Microsc. 1983. У.129. Р 19-28.

11.Mandel L. and Wolf Е. Optica1 Coherence and Quantum Optics - New Yoгk Cambгidge

Univeгsity Press, 1995 [Русск пер' Мандель л., Вольф Э Оптическая когерентность

и квантовая оптика - М.: Физматлит, 2000. - 896 с ]

12.Weyl Н. АusЬгеimпg еlеktгоmаgпеtisсhег Wellen tiber einem еЬепеп Leiter 11 Апп der

Physik 1919 V 60 Р 481-500.

Глава 3

РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ФОКУСИРОВКА

ОПТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

в этой главе мы будем использовать угловое спектральное представление, вы­ веденное в разд. 2.12, для анализа распределения поля в сильносфокусированных

.1азерных пучках. Аналогичный формализм мы применим для того, чтобы понять, как распределение поля в заданной интересующей нас плоскости может быть передано в .1альнюю зону. Этот анализ важен как для понимания конфокальной и многофотон­

ной микроскопии И экспериментов с одним источником, так и для оценки пределов

разрешения. Кроме того, этот формализм задает рамки рассмотрения различных вопросов, которые будут обсуждаться в дальнейших главах.

3.1. Пропагаторы поля

В разд. 2.12 было показано, что в однородном пространстве пространственный

спектр Е оптического поля Е в плоскости z = const (плоскость изображения) од­

нозначным образом задается пространственным распределением в другой плоскости,

.: = О (плоскость объекта), посредством следующего соотношения:

также называемый оптической функцией переноса в свободном пространстве. На­

и в отрицательном направлении по оси z. Уравнение (3.1) можно рассмотреть в по-

нятиях линейной теории отклика: E(kx , ky ; О) - сигнал на входе, Н - аппаратная функция (фильтр), E(k" ky; z) - выходной сигнал. Аппаратная функция о~исывает

прохождение произвольного спектра через систему. Кроме того, функцию Н можно

интерпретировать как функцию отклика, т. к. она описывает поле в точке z исходя

из его значения в точке::; = о. и в этом смысле она напрямую связана с функцией

Грина G

Фильтр Н является осциллирующей функцией для (k;' + k~) < k2 И затухающей

экспоненциально для (k; + k~) > k2. Таким образом, если плоскость изображения до­

статочно удалена от плоскости объекта, вклад спадающих слагаемых (эванесцентных

по.lеЙ) является нулевым и пространство интегрирования может быть ограничено

кругом (k; + Ч) ~ k2 . Другими словами, изображение в точке z является результа­

том обработки фильтром нижних частот исходного объекта, находящегося в точке

.: = о. Пространственные частоты (k;' + k~) > k2 исходного поля отфильтровываются

в процессе распространения, и информация о пространственных вариациях поля высокого порядка оказывается утерянной. Таким образом, всегда имеет место потеря

Te~1 больше, чем меньше величина перетяжки 'Шо. А когда 'Шо становится сравнимой с ве,lИЧИНОЙ Л/II, мы должны включить слагаемые более высокого порядка по kz

в уравнение (3.7). Однако для сильно сфокусированных пучков это разложение

сходится очень плохо, и мы вынуждены искать более точные способы описания. Мы вернемся к этой теме позднее.

другой важной особенностью гауссовых пучков является тот факт, что в природе их не существует, вне зависимости от того, насколько строгая теория их описывает!

Причина в том, что гауссов профиль однозначно предполагает наличие гауссова

спектра. но гауссов профиль простирается от минус до плюс бесконечности и, значит, содержит в себе компоненты, которые недостижимы в реальной ситуации. Таким образом, к гауссовым пучкам всегда необходимо относиться как к приближению. Чем уже перетяжка, тем шире гауссов спектр и тем более проблематично описывать профиль гауссовым пучком. Тем не менее часто не имеет смысла учитывать поправки

кпараксиальному приближению, имеющие более высокий порядок.

3.2.2.Лазерные моды более высокого порядка. Лазерный пучок может суще­ ствовать в различных поперечных модах. Какова будет поперечная мода излученного

света. определяется свойствами резонатора. Обычно, когда необходимо учитывать

БО.lее высокие моды, говорят о эрмитово-гауссовых и лагеррово-гауссовых пучках 1).

Первые формируются в резонаторах с прямоугольными концевыми зеркалами, а вторые наблюдаются в резонаторах в круглыми концевыми зеркалами. В поперечной П.l0СКОСТИ поля этих мод распространяются на большие расстояния, а фаза стано­ вится знакопеременной.

Так как основная гауссова мода является решением линейного однородного диф­

ференциального уравнения в частных производных, а именно уравнения Гельмголь­

ца. то Jlюбая комбинация пространственных производных основной моды также явля­

ется решением этого уравнения. Заудерер [4] отметил, что эрмитова мода Е{[т может

Таким образом, любые моды высокого порядка могут быть получены при помо­ щи (3.17) и (3.18). Можно показать, что лагерровы моды могут быть получены как

резу.lыат суперпозиции конечного числа эрмитовых мод, и наоборот. Таким образом,

эти два набора мод не являются независимыми. Отметим, что параметр 'Шо представ­

.1яет собой радиус перетяжки только для гауссовых пучков и что Ео для мод более высокого порядка не соответствует величине поля в фокальной точке. На рис. 3.2

показаны поля в фокальной плоскости (z = О) дЛЯ первых четырех эрмитовых мод.

Стрелками показано, что поляризации в каждом отдельном максимуме находятся

.1ибо в фазе, либо в противофазе.

Часто возникающие тороидальные моды с круговым профилем интенсивности

описываются суперпозицией эрмитовых и лагерровых мод. Линейно-поляризованные

тороидальные моды описываются двумя модами: Еб'1 и Erl' Азимутально-поляри-

1) в дальнейшем для краткости будем называть эти пучки эрмитовыми И лагерровыми. -

При.чеч пер

t

х

+-У

в

поляризации в каждом из лепестков Масштабирование графика линейное

зованные тороидальные моды являются суперпозицией двух перпендикулярно по­

ляризованных полей ~M, а тороидальная мода с круговой поляризацией является суперпозицией двух перпендикулярно поляризованных полей E~

3.2.3. Продольные поля в фокальной области. Параксиальный гауссов пучок

является поперечным электромагнитным пучком (ТЕМ), т. е. предполагается, что

электрическое и магнитное поля всегда перпендикулярны направлению распростра­

нения. Однако в свободном пространстве только точные ТЕМ-решения представ­

ляют собой поля, простирающиеся до бесконечности, такие как плоская волна

Следовательно, даже гауссов пучок должен обладать компонентами поляризации

вдоль направления распространения. Чтобы оценить эти продольные поля, применим

соотношение для дивергенции 'V. ~ = О к гауссовому пучку, поляризованному BДO~lЬ

оси Х, т. е.

(3 19)

Поле E z может быть найдено с использованием углового спектра параксиального гауссова пучка (3.10). В фокальной плоскости получим

где компонента Еж соответствует пучку с гауссовым профилем, определяемым (38) Множитель в правой части, стоящий перед полем, указывает на то, что фаза продольной компоненты имеет сдвиг 900 по отношению к фазе поперечного ПО.1Я

и что полное поле равно нулю на оптической оси. Величина зависит от степени

Рис 33 Поля гауссова пучка, изображенные в плоскости поляризации (х, у) Длина волны

и уго.l пучка Л = 800 нм И () = 28,650 соответственно а - зависящая от времени плотность

~lOщности. б - полная интенсивность электрического поля (IE21); в - интенсивность продольной компоненты поля (IE~I) Масштабирование рисунка линейное

х3

...

{/ .. •

1 мкм

Рис 34 Поля эрмитового пучка, (lO)-мода. Масштабирование и прочие параметры как на рис 3.3

локализованности фокуса. На рис. 3.3, 3.4 показаны расчеты распределений полного и поперечного электрических полей для гауссова и эрмитова ((IO)-мода) пучков

соответственно. Поскольку продольная компонента на оптической оси гауссова пучка всегда равна нулю, она имеет два лепестка по обе стороны оптической оси. Так

как рисунок показывает поперечное сечение, проходящее через перетяжку пучка.

лепестки вытянуты вдоль направления поляризации. Продольное электрическое ПО.пе

эрмитовой (lO)-моды, напротив, имеет максимум в фокусе пучка, и сила поля там

значительно больше. Качественно отличное поведение этой продольной компоненты следует из дефазировки в 1800 и поляризации двух соответствующих максимумов.

показанной на рис. 3.2, т. к. суперпозиция двух одинаково поляризованных плоских

волн, распространяющихся под углами ±<р к оси z и имеющих разность фаз 180С •

всегда приводит к появлению продольной компоненты. Продольное поле эрмитовых

пучков предлагалось использовать для ускорения заряженных частиц вдоль оси

пучка в линейных ускорителях частиц [5]. Продольное поле (1O)-моды применялось

также для визуализации пространственной ориентации диполей на молекулярных

переходах [6, 7]. В целом (lO)-мода необходима во всех экспериментах, требующих

наличия продольной компоненты поля. В разд. 3.6 мы увидим, как можно при помощи

продольной компоненты сильно сфокусированного поля лазерного пучка высокой

моды даже усилить напряженность поперечного поля.

3.3. Поляризованные злектрические и магнитные поля

Если мы пропустим оптический пучок через поляризатор, то тем самым вырежем из него одну из двух поперечных компонент. Прошедшее поле называется электрu­

чески поляризованным.

На самом деле, любое распространяющееся оптическое поле можно разложить на

электрически-поляризованное (РЕ) и магнитно-поляризованное (РА!) поля

в РЕ-полях электрическое поле является линейно-поляризованным в попереч­

ной направлению распространения плоскости. По аналогии в Р1\1-полях магнит­ ное поле является линейно-поляризованным в поперечной направлению распро­

странения плоскости. Рассмотрим сначала РЕ-поле, для которого можно записать'

ЕРЕ = (Ех, О, E z ). Удовлетворяя условию нулевой дивергенции ('\7. ЕРЕ = О). по-

где n x , n y, n z - единичные векторы вдоль осей х, у, z. Чтобы получить выражение

для иРЕ, мы воспользовались соотношением (2.113).