Курс лекций по физике - Часть_2 - Электрическое_и_магнитное_поле_Оптика

ведения V , B . В случае отрицательного заряда

q , направления векторов

FM и

А м п е р а

(A. Ampere, 1775–1836), пропорциональна силе тока и длине проводника, а

по направлению перпендикулярна l и B . Направление индукции определим так же,

как в первом случае, а величину индукции определим из выражения

FA

I

l , B ,

lB sin α .

где l , B

– векторное произведение и

l , B

dl

Рассмотрим участок проводника длиной

dl , пло-

щадью поперечного сечения проводника S ,

с концен-

трацией n зарядов q , которые движутся со скоростью

V

q

V . Тогда суммарная сила, действующая на все заряды

S

n

участка проводника dl , будет равна

FM

qdn V , B ,

ный движущийся заряд на этом участке проводника.

Тогда

FM

nSdlq V , B ,

учитывая, что j qnV – плотность тока, получим FM Sdl j, B .

j , то

Если

ввести

вектор dl , такой, что

dl j dl

можем записать

I

FM Sj dl , B

. По определению плотность тока

j

. Тогда суммарная маг-

S

Рамка с током будет поворачиваться в магнитном поле

F2

до тех пор, пока вращающий момент не станет равным нулю.

В этом случае магнитный момент pm будет направлен по

магнитному полю, так как тогда sin α 0 и M 0 . Следо-

pm

вательно, магнитное поле поворачивает магнитные мо-

менты так, чтобы они были направлены по полю.

Если магнитное поле неоднородно, то суммарная сила

B

Ампера не будет равна нулю и контур с током будет втяги-

ваться в область более сильного поля.

F1

ка с током –

Idl , принятый в качестве элементарного источника. Это определение эк-

вивалентно предыдущим.

По з а к о н у Б и о – С а в а р а

индукция

dB магнитного поля элемента тока

dl определяется:

0 I

dl , r

dB

.

dl

4

r 3

I

Направление вектора индукции совпадает с направле-

r

нием движения правого буравчика при его вращении от

A

вектора dl к r в сторону меньшего угла между векто-

рами. Величина индукции будет равна

dB

μ0 Idl sin α

dB

.

4πr 2

dl к точке, в которой определяется магнитная ин-

Здесь r – вектор, проведенный от

дукция; α – угол между векторами

dl и r ;

0

4 10 7

Гн/м – константа, которая

называется магнитной постоянной.

Закон Био–Савара является аналогом выражения для напряженности электриче-

ского поля точечного заряда в электростатике E

1

q

. Он определяет индукцию

4 0

r 2

нитной индукцией

dB

μ0 Idl sin α

. Поле всех элементов будет направлено в одну

4π

r

2

сторону (на рисунке – «на нас»). Вектор индукции суммарного поля

B будет направ-

лен в ту же сторону и его длина равна сумме длин

B dB .

2

P

a

E

d d d

a

r

D

rd

A

dl

r

l

dB

1

dl

C

Тогда B

μ

0

Idl sin α

.

Переменными под знаком интеграла являются три ве-

2

4π

r

. Тогда r

PC

PE

a

Из прямоугольного треугольника ADC находим

.

sin α

sin α

dl

DC

AD

rdα

. Подставляя r , можем записать dl

adα

. Тогда

sin 2 α

sin α

sin α

α 2

μ

Iasin α sin 2

α

μ

α 2

μ

I

α

B

0

dα

0

sin αdα

0

cosα

2

4π

sin 2 α a2

4πa

4πa

α1

α1

α1

Если же проводник бесконечный, то α1 0 и

cosα1 1, а

α2 π и

μ0 I

B 2πa

,

где a – расстояние от проводника.

3. Соленоид – свернутый в спираль изолированный проводник, по которому те-

чет электрический ток. Соленоид характеризуют числом витков n

N , приходящих-

L

ся на единицу длины соленоида, где N – полное число витков, L – длина соленоида.

R

1

r1

r

2

r

2

O1

A

O2

l

B

dl

L

Магнитная индукция B в любой точке A , лежащей на оси соленоида O1O2 , на-

правлена вдоль оси по правилу правого буравчика и численно равна алгебраической

сумме индукций магнитных полей,

создаваемых в точке A всеми витками, поскольку

магнитные поля витков сонаправлены.

Проведем из точки A к какому-либо витку вектор r ,

образующий с осью O1O2

угол . Индукция

B1

магнитного поля витка с током в точке A

численно равна

(получить из закона Био–Савара самостоятельно)

B1

μ0

IR2

μ0

IR2

.

2

r3

2 R2 l 2 3

На малый участок длины соленоида

dl приходится ndl витков, создающих в

точке A магнитное поле, величина индукции которого

dB

μ0

IR2

2

R2 l 2 3 ndl .

Выразим переменные величины

l

и

R2 l 2 r

через одну переменную –

угол α . Как видно из рисунка, расстояние l Rctgα , откуда dl Rdα . Длина

sin 2 α

R2 l 2

R

. Тогда получим

вектора r равна r

sin α

dB

μ

0

IR2

sin3 α

n

Rdα

1

μ

Insin αdα .

0

2

R

3

sin

2

α

2

α

B

1

μ0

nI 2sinαdα .

2

α1

После интегрирования найдем магнитную индукцию B в произвольной точке

оси соленоида

B

1

μ

nI (cosα

cosα )

,

2

0

2

1

где

2 1. Максимальное значение индук-

ции,

достигаемое

в

центре

соленоида

при

cosα2 cosα1

L / 2

,

будет

L / 2 2

R2

равно

Bmax

μ0nIL

.

4R2

L2

Снаружи соленоида поле будет сильно убывать с удалением от соленоида. Его мы

находить не будем.

Если длина соленоида во много раз больше радиуса его витков ( L R ), то со-

леноид можно считать бесконечно длинным α1 π и α2

0 . Поле в н у т р и бес-

Если

точка A

находится на

одном

из концов длинного соленоида, либо

α1 π / 2

и α2 0 ,

либо α1 π

и α2 π / 2, то индукция магнитного поля в

т о ч к а х о с и длинного соленоида,

с о в п а д а ю щ и х с е г о к о н ц а м и , равна:

B

μ0nI

.

2

силу взаимодействия, с которой один проводник действует на другой.

Пусть dF2 – сила, с которой первый проводник действует на элемент

dl2 второ-

μ0 I1

го проводника. По закону Ампера dF2

I2 dl2

, B1 . Здесь

B1

– индукция

2π b

dF1

μ0 I1I2

сила dF

dF

, равная по величине

,

2

1

dl1

2πb

вовать сила Лоренца FM

q V , B , равная по величине FM qVBsin α .

Пусть заряженная частица движется вдоль линий индукции магнитного поля.

α 0 или

Тогда угол между векторами скорости V

частицы и индукции B будет

Пусть теперь частица, имеющая заряд q , движется

перпендикулярно линиям магнитной индукции одно-

B

родного поля. Тогда сила Лоренца будет равна по вели-

FM

чине FM

q

VB и направлена перпендикулярно векто-

V

рам V

и B . Движение частицы будет происходить в

r

m

V

.

q

B

В однородном стационарном поле ( B const ) величина скорости частицы не