ser
.pdf
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант № 14 |
|
|
|
|
1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. |
|
||||||||
|
∞ |
|
n |
∞ |
3 n +1 |
|
|||
1) |
∑ |
|
2) ∑ |
|
|||||
|
n=1 |
|
n3 + 2n +1 |
n=1 |
n! |
|
|
||
|
∞ |
|
n + 2 3n |
∞ |
|
|
2n +1 |
||
3) |
∑ |
|
|
|
4) ∑ |
|
|
|
|
|
(3n |
2 |
+ 2) |
ln(n + 2) |
|||||
|
n=1 |
|
2n +1 |
n=1 |
|
||||
2. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно.
∞ |
n |
∑(−1)n |
|
n=1 |
2n +1 |
|
3. Найти область сходимости степенного ряда.
∑∞ n (x + 2)n n=1 2n (n +5)
4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место.
7
12 − x − x 2
5. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
0∫,2 1 −e−x dx 0 x
6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения,
удовлетворяющего данному начальному условию y(0) = a .
y′ = ex + 2xy; y(0) = 0
7. Данную функцию f (x) разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f (x) и график суммы ряда Фурье
f (x) = π+ x , (−2 < x < 2)
43
Вариант № 15
1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов.
∞ |
|
|
|
|
π |
∞ |
|
n! |
|
|
|||
1) ∑3n+1 tg |
|
|
|
2) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
n |
|
2n |
2 |
|
|
||||||
n=1 |
|
3 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|||||
∞ |
|
2n + 3 n2 |
∞ |
|
|
|
|
n2 |
|||||
3) ∑ |
|
|
|
|
|
4) ∑ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(n |
3 |
+1) ln n |
||||||||
n=1 |
|
n +1 |
|
|
n=2 |
|
|
||||||
2.Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно.
∞ |
1 |
|
∑(−1) n arcsin |
||
2 |
||
n=1 |
n |
3. Найти область сходимости степенного ряда.
∞ |
(x − 2) |
n |
|
∑ |
|
|
|
(3n +1) 2 |
n |
||
n=1 |
|
||
4.Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место.
ln(1 + x − 6x2 )
5. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
0∫,1ln(1 + 2x) dx
0 x
6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения,
удовлетворяющего данному начальному условию y(0) = a .
y′=3y2 − 2sin x; y(0) = 2
7.Данную функцию f (x) разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f (x) и график суммы ряда Фурье
f (x) =3 − x , (−3 < x <3)
44
Вариант № 16
1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов.
|
∞ |
1 |
|
|
|
π |
|
|
∞ |
n3 |
|
|
|
|||
1) |
∑ |
|
cos |
|
2) |
∑ |
|
|
|
|||||||
|
n |
2n |
|
|
|
|
||||||||||
|
(2n)! |
|
||||||||||||||
|
n=1 |
4 2 |
n2 |
|
|
n=1 |
|
|||||||||
|
∞ |
n +1 |
1 |
|
∞ |
1 |
|
|
||||||||
3) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
4) |
∑ |
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
|
3 2 |
n |
|||||||||
|
n=1 |
n |
|
3 |
|
|
n=2 n ln |
|
|
|||||||
2.Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно.
∞ |
|
|
31 |
∑(−1)n |
4 |
n |
|
n=1 |
|
+ 2 |
3. Найти область сходимости степенного ряда.
∑∞ 3n (x −1)n
n=1 
n
4.Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал,
вкотором это разложение имеет место.
x2 
4 − x
5.Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
1 |
dx |
|
∫4 |
4 |
|
0 |
16 + x |
|
6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения,
удовлетворяющего данному начальному условию y(0) = a .
y′ = 5ex − y + x; y(0) =1
7.Данную функцию f (x) разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f (x) и график суммы ряда Фурье.
1 при −3 < x ≤ |
0 |
, (−3 |
< x < 3) |
|
f (x) = |
< x < 3 |
|
||
2 при 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант № 17 |
|
|
|
|
|
|
|
1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. |
|
|
||||||||||||
|
∞ |
|
2 |
n |
n |
|
∞ |
nn |
|
|
|
|||
1) |
∑sin |
|
2) |
∑ |
|
|
|
|||||||
|
n=1 |
n |
n |
|
|
|
n=1 2 |
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
|
|
|
π |
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
3) |
∑nn sin n |
|
4) |
∑ |
|
|
|
|
|
|||||
|
4n |
|
|
2 |
+1) ln |
3 |
n |
|||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
n=2 (n |
|
|
|||||
2.Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно.
∞ |
n +1 |
|
|
∑(−1)n |
|||
ln (n + 2) |
|||
n=1 |
|||
|
|
||
3. Найти область сходимости степенного ряда.
∑∞ (x + 2)n
n=1 
n +1
4.Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место.
(x −1) sin 5x
5. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
0,4 |
|
|
− |
x |
|
|
|
1−e |
2 |
||||
∫ |
|
|
dx |
|||
x |
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
6.Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y(0) = a .
y′ = 2x2 −3y2 ; y(0) = 2
7.Данную функцию f (x) разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f (x) и график суммы ряда Фурье
x при |
− π < x ≤ 0 |
, (−π < x < π) |
f (x) = |
0 < x < π |
|
1 при |
|
|
|
|
|
|
|
|
46 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант № 18 |
|
|
|
|
|
|
||
1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. |
|
|
|
||||||||||
∞ |
|
cos2πn |
|
|
|
∞ |
|
|
5 |
|
|||
1) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2) |
∑n arctg |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||
n=1 n (n +1)(n + 2) |
|
n=1 |
2 |
|
|
||||||||
∞ |
|
|
2n +1 2n |
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
3) ∑n |
|
|
|
|
|
4) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n +3) ln |
2 |
n |
|||||||
n=1 |
|
|
3n +1 |
|
|
|
n=2 |
|
|||||
2. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно.
∞ |
1 |
|
∑(−1)n |
||
3 (n +1)2 |
||
n=1 |
3. Найти область сходимости степенного ряда.
∞ |
(n + 2)(x − |
5) |
n |
∑ |
|
||
n=1 |
n(n +1) |
|
|
4.Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место.
ln(1 + 2x −8x2 )
5. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
0,5
∫cos(4x2 ) dx
0
6.Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y(0) = a .
y′ =sin x −2 y2 ; y(0) = −1
7.Данную функцию f (x) разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f (x) и график суммы ряда Фурье.
f (x) =1 − x 2 , (−2 < x < 2)
47
Вариант № 19
1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов.
∞ |
|
2 + (−1) |
n |
∞ |
|
72n |
|||||||
1) ∑ |
|
|
2) ∑ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n + ln n |
(2n +1)! |
|||||||||||
n=1 |
|
|
n =1 |
||||||||||
|
|
4n −3 n2 |
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
|
∞ |
cos2 n |
||||||||||
3) ∑ |
|
|
4) ∑ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n |
2 |
+ 4 |
|
|
|||||||
n=1 |
|
3n +1 |
n=1 |
|
|
|
|||||||
2. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно.
∞ |
2n |
|
∑(−1)n |
|
|
(n +1) 3 |
n |
|
n=1 |
|
3. Найти область сходимости степенного ряда.
∞ |
n |
(x |
−3) |
n |
|
∑ |
5 |
|
|
||
|
|
n |
+1 |
|
|
n=1 |
|
2 |
|
||
4.Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место.
2x sin 2 x − x2
5. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
1,5 |
dx |
|
∫4 |
4 |
|
0 |
81 + x |
|
6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения,
удовлетворяющего данному начальному условию y(0) = a .
y'=e y −3xy; y(0) =0
7.Данную функцию f (x) разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f (x) и график суммы ряда Фурье.
f (x) = x + 2 , (−1 < x <1)
48
Вариант № 20
1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов.
∞ |
|
2 |
n |
∞ |
|
n! |
|
|
|
1 |
|
||
1) ∑ sin |
|
|
2) ∑ |
|
|
tg |
|
||||||
|
|
|
(2n)! |
n |
|||||||||
n=1 |
n3 +1 |
n=1 |
|
5 |
|
||||||||
∞ |
5n |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
n +1 |
|||
3) ∑ |
|
|
4) ∑ |
|
|
|
|
|
|||||
n+1 |
|
|
(n |
2 |
+ 9) ln(n + 2) |
||||||||
n=1 |
n |
|
|
|
n=1 |
|
|||||||
2. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно.
∞ |
1 |
|
∑(−1)n |
||
ln(n +1) |
||
n=1 |
||
|
3. Найти область сходимости степенного ряда.
∑∞ 3n xn n=1 
n 2n
4.Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место.
sinx3x −cos 3x
5. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
0,2
∫sin(25x2 ) dx
0
6.Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию y(0) = a .
y′ = 2x − y2 ; y(0) = 4
7.Данную функцию f (x) разложить в ряд Фурье в данном интервале. Построить график функции f (x) и график суммы ряда Фурье.
1 |
при |
− π < x ≤ 0 |
, (−π < x < π) |
f (x) = |
при 0 < x < π |
||
− x |
|
||
49
Вариант № 21
1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов.
1) |
∞ |
|
|
|
|
|
2) |
∑ n! |
|
|
|
∑ ln n |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
n=1 3 n7 |
2n |
|
n=1 |
2n |
|
|||||
|
∞ |
3n3 −8n +1 |
|
∞ |
|
|
3n |
||||
3) |
|
|
|
|
|
|
4) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
∑ |
4n |
3 |
+ 2n −1 |
|
(2n |
+ 3) ln n |
|||||
|
n=1 |
|
|
|
n=2 |
|
|||||
2. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно.
∞ |
n + |
3 |
|
∑(−1) n |
|||
n |
|
||
n=1 |
3 |
|
3. Найти область сходимости степенного ряда.
∑∞ ln n (x −1)n
n=1 n
4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место.
(x −1) sh x
5. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
0,2
∫cos (25x2 ) dx
0
6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющего
данному начальному условию y(0) = a .
y′ = y 2 + cos x + sin x ; y(0) = 2
7. Разложить функцию в указанном интервале в неполный ряд Фурье по синусам кратных дуг. Построить график функции f (x) и график суммы
ряда Фурье.
f (x) = x , (0 < x < 3)
50
Вариант № 22
1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов.
∞ |
|
ln n |
|
∞ |
3n |
|
|
|
|
1) ∑ |
|
|
|
|
|||||
|
2) ∑ |
|
|
||||||
n5 +3n |
n! 4 |
n |
|
||||||
n=1 |
|
n=1 |
|
|
|||||
∞ |
n − 2 n |
2 |
∞ |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
||||||
3) ∑ |
|
|
|
|
4) ∑n |
ln n |
|||
|
|
||||||||
|
3n −1 |
|
|||||||
n=1 |
|
|
|
|
n=2 |
|
|
|
|
2.Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно.
∞ |
1 |
|
∑(−1) n |
||
3n + 6 |
||
n=1 |
||
|
3. Найти область сходимости степенного ряда.
∞ |
(n + |
1)(x − 2)n |
|
∑ |
|||
n |
(n + 2) |
||
n=1 |
2 |
4.Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место.
arctg x
x
5. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
1,5 |
dx |
|
∫3 |
3 |
|
0 |
27 + x |
|
6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения,
удовлетворяющего данному начальному условию y(0) = a .
y′ = e x + y2 + x2 ; y(0) =1
7.Разложить функцию в указанном интервале в неполный ряд Фурье по синусам кратных дуг. Построить график функции f (x) и график суммы ряда Фурье.
f (x) = x2 , (0 < x < 2π)
51
Вариант № 23
1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов.
∞ |
2 n |
3 |
+22 |
|
|
∞ |
|
2 |
n |
n |
3 |
|
|||
1) ∑ |
|
|
|
|
2) ∑ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
(n +1)! |
|||||||||||
n=1 n |
sin |
n |
|
|
n=1 |
|
|||||||||
∞ |
|
|
1 n2 |
1 |
∞ |
ln(n +1) |
|||||||||
3) ∑ 1 + |
|
|
|
|
|
|
|
4) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
5n |
|
|
||||||
n=1 |
|
|
n |
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|||||
2.Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно.
∞ |
|
4n −1 |
n |
||
∑(−1)n |
|
|
|
||
2n +1 |
|||||
n=1 |
|
|
|||
|
|
|
|
||
3. Найти область сходимости степенного ряда.
∑∞ (x − 4)n
n=2 n3 ln n
4.Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х. Указать интервал, в котором это разложение имеет место.
5
6 + x − x2
5. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
0,4 |
|
5x |
2 |
|
∫ |
sin |
|
|
dx |
|
||||
|
2 |
|
||
0 |
|
|
|
|
6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения,
удовлетворяющего данному начальному условию y(0) = a .
y′ = 2 cos x − y 2 −sin x ; y(0) =1
7.Разложить функцию в указанном интервале в неполный ряд Фурье по синусам кратных дуг. Построить график функции f (x) и график
суммы ряда Фурье.
f (x) =1, (0 < x <1)