borisenko_o_a_diskretna_matematika

Дискретна математика

У стовпчику матриці знаходиться не більше однієї 1. При цьому

загальна кількість одиниць у матриці не перевищує значення к, а

загальна КІЛЬКІСТЬ нулів - N . ОДИНИЦІ В матриці в КІЛЬКОСТІ від 1 до к

розташовані в одному чи декількох стовпчиках так, що перша з них знаходиться в крайньому лівому, а остання - у будь-якому наступному стовпчику. При цьому між стовпчиками з одиницями відсутні стовпчики без них. Якщо у (п ~к)-му рядку є послідовність одиниць, то вона завжди розташована в її початковій частині, починаючи зі старшого розряду так, що між одиницями відсутні нулі. Серед елементів будь-якої діагоналі матриці, яка починається зверху і спрямована зліва направо, лише один елемент може дорівнювати 1. У першому стовпчику БМ за винятком БМ нульового числа обов'язково міститься 1. Одиниці в матриці розташовані так, що одиниця кожного наступного стовпчика знаходиться або в тому самому рядку, що й в попередньому стовпці, або в одному з верхніх рядків. Якщо в першому стовпці БМ 1 відсутня, то у решті стовпчиків одиниць також не буде.

Кожна БМ зі своїм розташуванням одиниць і нулів відповідає одному біноміальному числу. Кількість одиниць у біноміальній матриці й лінійному біноміальному числі, яке їй відповідає, дорівнюють одна одній, Логічне підсумовування елементів діагоналей біноміальної матриці, які йдуть направо й униз, утворює цифри біноміального числа.

Біноміальні матриці дозволяють уникнути переносів при виконанні підсумовування й віднімання з біноміальних чисел 1 і мають підвищену здатність до знаходження та виправлення помилок.

На рис. 4.6 для п = 6 і к = 3 наведені всі можливі Р = Скп БМ з десятковими (зверху) і біноміальними (знизу) номерами. Алгоритми побудови матричних біноміальних чисел на основі їх лінійних форм і, навпаки, побудови лінійних біноміальних чисел на основі матричних легко знайти на рис. 4.6, що рекомендується зробити самостійно як контрольне завдання.

233

234

Дискретна математика

КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ І ПИТАННЯ ДО ЧАСТИНИ IV

Питання для самоконтролю

Початкові поняття про системи числення

1.Охарактеризуйте кількісні й порядкові властивості чисел.

2.Дайте характеристику непозиційним системам числення.

3.Що таке позиційні системи числення?

4.Які ознаки позиційних систем числення відрізняють їх від непозиційних?

5.Що нам відомо про історію розвитку систем числення? У чому їх значення для науки й техніки.

Загальна характеристика систем числення

6.Що таке числова функція позиційних систем числення?

7.Дайте визначення структури позиційних систем числення.

8.Дайте визначення розрядів позиційних чисел і їх ваги.

9.Що таке основа, діапазон і алфавіт позиційних систем числсння?

10.Дайте характеристику рівномірних й нерівномірних позиційних чисел.

Класифікація позиційних систем числення

11.Що таке однорідні системи числення?

12.Що таке неоднорідні системи числення?

13.Охарактеризуйте структурні системи числення.

14.Дайте характеристику комбінаторним системам числення.

15.Що таке табличні системи числення?

Однорідні системи числення

16.Що таке алфавіт і основа в однорідних системах числення?

17.Що таке числова функція однорідних систем числення?

18.Як виконується операція додавання в однорідних системах числення?

19.Охарактеризуйте особливості додавання, віднімання, множення й ділення у двійковій системі числсння.

20.У чому виявляються особливості додавання, віднімання, множення й ділення у восьмеричній (вісімковій) системі числення?

21.Що являють собою операції додавання, віднімання, множення й ділення в шістнадцятеричній системі числення?

Переведення однорідних чисел

22. Що таке табличний метод переведення чисел з однієї системи числення в іншу?

235

Борисенко О.А.

23.Як відбувається переведення чисел у систему числення з кратною основою?

24.Як відбувається переведення чисел шляхом підбору

степеней?

25.Як відбувається переведення чисел у систему з основою, що

єстепенем початкової?

26.Як відбувається переведення чисел у систему числення на базі проміжного перетворення цифр?

27.Як відбувається переведення чисел на основі використання проміжної системи числення?

28.Як відбувається переведення чисел у систему числення шляхом ділення її на основу?

29.Як відбувається переведення чисел з двійкової системи числення у восьмеричну й навпаки?

30.Як відбувається переведення чисел з двійкової системи числення в шістнадцятеричну й навпаки?

Неоднорідні системи числення

31.Що таке факторіальні системи числення?

32.Як відбувається переведення чисел з факторіальної системи числення?

33.Як відбувається переведення чисел у факторіальну систему числення?

34.Як відбувається перехід від факторіального числа до перестановки?

35.Як відбувається перехід від перестановки до факторіального

числа?

36.Які системи числення називаються біноміальними?

37.Як відбувається переведення чисел з біноміальної системи числення в однорідну?

38.Як відбувається переведення чисел у біноміальну систему числення з однорідної?

39.Як відбувається перехід від біноміального числа до сполучення?

40.Як відбувається перехід від сполучення до біноміального

числа?

41.Дайте означення матричних біноміальних чисел і охарактеризуйте спосіб їх побудови.

236

Дискретна математика

Контрольні завдання 1. Згідно із заданим нижче в першій колонці табл. 4.17 номеру

варіанту перевести числа, розташовані в другій і третій колонці цієї ж самої таблиці при рахунку зліва направо з десяткової системи числення у двійкову шляхом ділення на основу; виконати додавання й віднімання отриманих двійкових чисел; перевести результат в десяткову систему числення, а також у вісімкову й шістнадцятеричну. Провести перевірку.

2. Відповідно до вашого варіанта, поданого в табл. 4.17, перетворити всіма вищенаведеними способами число із шістнадцятеричної системи числення в десяткову й навпаки. Дане число розташоване в четвертій колонці в разі рахування зліва направо.

237

238

Додаток 1

МАТЕМАТИЧНА ІНДУКЦІЯ

1.Загальні положення

Урізних сферах своєї діяльності (науці, нобугі чи виробництві) людина у своїх логічних висновках застосовує дедуктивний або індуктивний підходи, які грунтуються на поняттях дедукції й індукції. Дедукція (лат. сіесіисгіоп ~ висновок) являє собою перехід від загалі,ного до окремого, а індукція (лат. іпсіисііо - наведення) - перехід від окремого до загального. Загальним для цих підходів є те, що вони доводять істинність чи хибність деяких тверджень, які до цього сприймались як гіпотези, тобто як передбачувані припущення.

Ці твердження поділяються на загальні й окремі. Твердження, що всі натуральні парні числа діляться на 2, є загальним, а твердження, що ціле число х = 6 ділиться на 2, є окремим. Важливість дедукції полягає в тому, що вона дозволяє на основі загальних тверджень доводити окремі твердження. Дійсно, якщо парні числа діляться на 2, а число 6 парне, то звідси випливає, що число 6 повинне ділитися на 2.

Індукція на відміну від дедукції виходить з окремих тверджень і тому не завжди може переходити від них до загальних тверджень. Але все ж таки в багатьох випадках на її основі робляться близькі до достовірних вірогідні припущення. Наприклад, коли за деякими зразками визначаються властивості золота, то ці властивості людина поширює на все інше золото, яке є в світі. Такий підхід застосовується не лише щодо золота, але й щодо інших хімічних елементів, і поки що він себе виправдовував. Хоча повної гарантії такий підхід усе ж таки не дає, і тому він є неповним. Це ж саме стосується й багатьох законів природи. їх людина не доводить, а виявляє. Але, крім такої неповної індукції, у математиці окремо використовується ще повна індукція.

2. Неповна (звичайна) індукція

Звичайна індукція являє собою індуктивний підхід до науки взагалі, а не тільки до математики і с неповною індукцією, оскільки не дає можливості одержувати завжди достовірну інформацію про властивості, які досліджуються.

Ця індукція хоча й широко використовується в математиці, але не завжди дає вірний і кінцевий висновок про істинність або хибність того чи іншого математичного твердження, оскільки нона етноОЮІ;

240

його на основі певних окремих результатів, одержаних при дослідженні тієї чи іншої математичної властивості. Це твердження можна вважати дійсним лише в разі дослідження всіх без винятку можливих окремих результатів, що буває тільки тоді, коли їх кількість є скінченною. У випадку, коли кількість можливих результатів нескінченна, отримати висновок про істинність або хибність твердження щодо тієї чи іншої властивості за допомогою звичайної індукції неможливо в принципі.

Нехай маємо тричлен х2 + х + 41. Якщо підставити в нього замість х нуль, то одержимо просте число 41; якщо одиницю, то - 43; якщо 2,3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, то-числа 47, 53,61,71,83,87, 113, 131, 151 відповідно. Усі вони прості числа. Здасться, можна припустити, що в разі підстановки в цей тричлен будь-якого цілого додатного числа завжди в результаті будемо одержувати просте число. Однак це не так. Уже в разі х = 40 зазначений тричлен ділиться на 41, а за умови х = 41 х2 + х + 41 = 412 + 41 + 41, тобто тричлен ділиться на 41. У цьому небезпека звичайної індукції, оскільки вона не гарантує позитивного результату в будь-якому випадку.

3. Повна індукція

Повна, або цілковита, індукція - це математична індукція, яка дозволяє робити достовірні узагальнення на основі неповної індукції. Тобто для доведення теореми з допомогою математичної індукції потрібно, щоб результат цієї теореми з деякою вірогідністю вже був встановлений раніше у вигляді гіпотези. Потрібно лише далі для неї довести, що цей результат є достовірно загальним для задач даного типу. Тобто доведенню тієї чи іншої теореми, яка відображає рішення відповідної математичної задачі, повинна передувати гіпотеза, яку й потрібно довести або відкинути. Це означає, що математична індукція грунтується на звичайній індукції.

Математична індукція на протилежність звичайній гарантує стовідсоткову вірогідність, тобто достовірність одержаних з її допомогою результатів. Цей метод стосується тільки теорем, що відображають загальні властивості натуральних чисел 1, 2,..., та інших розділів математики, які спираються на натуральні числа. Наприклад, до таких розділів належить арифметика цілих чисел та теорія раціональних чисел, що ґрунтується на ній. Існують також розділи математики, які можуть бути інтерпретовані в термінах арифметики, наприклад, евклідова геометрія. Відповідно, у цих розділах також

241

може бути використаний метод математичної індукції. Математична індукція, яка ще має назву індукція за побудовою, використовується також для доведення логічних формул.

Основою метода математичної індукції є її принцип, що поширюється на будь-які твердження Р(п), які стосуються чисел /7=1, 2, ... . Сформулюємо цей принцип у вигляді теореми.

Теорема 1. Будь-яке твердження Р(п) дійсне для будь-якого п

Ця теорема розпадається на дві леми, перша з яких (лема 1) вимагає, щоб твердження Р(п) було справедливим для п - 1, а друга (лема 2) - для п = к + 1, за умов, що твердження Р(п) справедливе для п - к. Лише в цьому випадку твердження Р(п) буде справедливе для будь-якого п.

Доведення. Припустимо, що умови лем 1 і 2 виконуються. Тоді твердження Р(п) відповідно до леми 1 дійсне для п = к - 1. Відповідно до другої леми Р(п) дійсне для п = к + 1 = 1 + 1 = 2 . Але якщо Р(п) дійсне для п = к = 2, то відповідно до тієї самої другої леми воно буде дійсне і для / ? = £ + 1 = 2 + ] = З і далі для п = 4 тощо необмежено для всіх можливих п.

Теорему доведено.

Із теореми випливає метод математичної індукції, що складається із виконання нижченаведених пунктів, які стосуються одержання твердження Р(п):

1.Висувається нова гіпотеза у вигляді твердження Р{п) про деяку математичну властивість, що може бути як істинною, так і хибною.

2.Здійснюється перевірка гіпотези Р(п) для п = 1. Якщо Р(п — 1) підтверджується, то відбувається перехід до наступного пункту 3. А якщо ні, то гіпотеза, що перевіряється, вважається неправильною й виконується перехід до пункту 1.

3.Здійснюється доведення гіпотези Р(п) для п = к + 1 за умови припущення, що Р(п = к) істинне.

4.Якщо Р(п = к + 1) істинне, то доведення гіпотези Р(п) для будь-якого натурального п одержане. Якщо Р(п = к + 1) хибне, то здійснюється перехід до пункту 1.

242