методичка2692(вища.матем.)

4. Знайти кут між прямими:

x

=

y − 2

=

z +

2

і

− 1

2

3

x = 2t + 1,

y = −8t −1,

4x + y + 3z − 21 = 0,

прямої

− 3z +15 = 0.

2x + 2 y

6.

Знайти

точку

перетину

прямої

x + 2

=

y −1

=

z + 4

і площини 2x − y + 3z + 23 = 0 .

−1

1

−1

7.

Скласти рівняння прямої, що проходить через

точку

M 1 (2;−3;9)

перпендикулярно до

площини

x + 2 y + 5z −14 = 0 .

8.

3x − 2 y + z + 3 = 0,

При якому значенні C пряма

4x − 3y + 4z +1 = 0,

паралельна площині 2x − y + Cz − 2 = 0 ?

9.

Знайти найкоротшу відстань між двома прямими

x + 3

=

y − 6

=

z − 3

та

x − 4

=

y + 1

=

z + 7

.

4

− 3

− 3

2

8

3

проведеної з вершини C .

x − 3

z + 1

4.

Знайти кут між прямими:

=

y

=

і

4

− 5

x + 2

y + 4

z + 1

3

=

=

.

1

− 4

−1

5. Звести до канонічного вигляду загальне рівняння

3x + y − 5z +1 = 0,

прямої

− 8z + 3 = 0.

2x + 3y

6.

Знайти

точку

перетину

прямої

x − 2

=

y − 2

=

z − 4

і площини x + 3y + 5z − 42 = 0 .

2

− 1

3

7. Скласти рівняння прямої, що проходить через

точку

M 1 (2;−1;7)

перпендикулярно

до

площини

6x + 3y − z + 3 = 0 .

x = 3t + 7,

8.

Перевірити,

чи належить пряма

y = 2t + 2,

площині 2x −16y −13z + 31 = 0 ?

z = −2t +1,

M 0 (− 5;4;3) до

9.

Обчислити

відстань від

точки

прямої

x − 2

=

y − 3

=

z − 1

.

− 1

3

2

10. Знайти точку Q ,

що симетрична точці

M 0

(1;−1;−2) відносно прямої

x + 3

=

y + 2

=

z − 8

.

3

2

− 2

трикутника з вершинами в точках

A(− 4;0;4),

B(− 1;6;7) ,

C(1;10;9).

x + 1

y − 3

z − 2

4. Знайти кут між прямими:

=

=

і

3

x + 6

y − 4

− 1

2

=

=

z

.

5

9

− 3

6.

Знайти

точку

перетину

прямої

x − 3

=

y − 1

=

z + 5

і площини x + 7 y + 3z + 11 = 0 .

1

− 1

0

7. Скласти рівняння прямої, що проходить через

точку

M 1 (3;−2;1)

перпендикулярно до

площини

8.

При

яких

значеннях

l

і

C пряма

x − 2

=

y + 1

=

z − 5

перпендикулярна

до

площини

4

− 3

l

3x − 2 y + Cz + 1 = 0 ?

9.

Знайти найкоротшу відстань між двома прямими

x − 5

=

y − 8

=

z − 2

та

x − 4

=

y − 7

=

z − 1

.

3

− 2

0

3

2

− 2

10. Знайти точку Q , що симетрична точці M 0 (1;2;−3)

відносно прямої

x −1

=

y + 1

=

z − 7

.

2

− 3

3

проведеної з вершини C .

4.

Знайти кут між прямими:

x −1

=

y + 1

=

z + 2

і

0

1

− 1

x

=

y + 4

=

z + 3

.

1

0

− 1

6.

Знайти

точку

перетину

прямої

x + 1

=

y − 3

=

z + 1

і площини x + 2 y − 5z + 20 = 0 .

3

− 4

5

7. Скласти рівняння прямої, що проходить через

точку

M 1 (3;3;−2)

перпендикулярно

до

площини

3x − 2 y + z − 4 = 0 .

8.

Перевірити,

чи

належить

пряма

x − 13

=

y − 1

=

z − 4

площині x + 2 y − 4z + 1 = 0 .

8

2

3

M 0 (3;5;5) до

9.

Обчислити

відстань від

точки

прямої

x − 1

=

y

=

z

.

− 2 4

1

10. Знайти точку Q , що симетрична точці M 0 (1;2;8)

відносно прямої

x − 1

=

y

=

z

.

− 1

2

1

4.

Знайти кут між прямими:

x + 4

=

y − 2

=

z

і

y − 2

z + 6

11

− 8

− 7

x

=

=

.

4

− 10

1

5.

Звести до канонічного вигляду загальне рівняння

x − y + 3z − 6 = 0,

прямої

.

2x + y − z + 3

= 0.

6.

Знайти

точку

перетину

прямої

x + 1

=

y + 2

=

z − 3

і площини x + 3y − 5z + 9 = 0 .

− 3

2

− 2

7.

Скласти рівняння прямої, що проходить через

точку

M 1 (− 2;7;3)

перпендикулярно

до

площини

x − 4 y + 5z −1 = 0 .

8.

При

якому

значенні

A площина

y − z = 0,

Ax + 2 y − 2z − 7 = 0 паралельна прямій

x + y = 0.

9.

Знайти найкоротшу відстань між двома прямими

x − 9

=

y

=

z − 2

та

x + 5

=

y + 5

=

z − 1

.

− 6

2

1

3

2

− 2

10. Знайти точку Q , що симетрична точці M 0 (1;0;−1)

відносно прямої

x + 1

=

y − 1

=

z

.

1

2

− 3

трикутника

з

вершинами

A(− 2;4;−6) ,

B(0;2;−4),

C(− 6;8;−10), проведеної з вершини C .

y + 4

z − 1

4.

Знайти кут між прямими:

x

=

=

і

2

x + 3

y − 3

3

− 4

=

=

z

.

5

− 2

1

5. Звести до канонічного вигляду загальне рівняння

3x + y − 5z +1 = 0,

прямої

+ 3y

− 8z + 3 = 0.

2x

6.

Знайти

точку

перетину

прямої

x − 1

=

y + 5

=

z − 1

і площини x − 3y + 7z − 24 = 0 .

− 1

4

2

8.

При якому значенні

n пряма

x + 2

=

y − 1

=

z

n

x + y − z = 0,

3

1

паралельна прямій

= 0.

x − y − 5z − 8

9.

Скласти рівняння перпендикуляра, проведеного з

x = 3t −1,

точки M 1 (1;1;6) на пряму y = 2t,

2

2 25 5 2T2 2]5.

^ 0

.

Лінія, що визначається рівнянням

,

називається лінією другого порядку

2 " 2 $ 5 " 5 $ ` .

рис

Найпростіша крива другого

порядку

коло

–

( _ 0. 11):

b*aa ,caa 1 –

канонічне рівняння еліпса,

e – ексцентриситет еліпса,

Гіперболоюd b

називається множина0 f d f 1

усіх точок

d be

Рис. 13

–

ексцентриситет гіперболи, d g 1.

c

;

c

– асимптоти гіперболи.

Параболою5 b 2 5 "називаєтьсяb 2

множини усіх точок

називається директрисою

рис

14). Відстань від фокуса

^і

–

g 0$

,

до директриси називається( .

параметром параболи

позначається через

.

2 "

канонічне рівняння параболи

5 2 2– рівняння директриси параболи.