Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ульяновский Государственный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Chumakin

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

357 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

∫	∑U n (x) dx = ∑		∫U n (x)dx .
b	∞	∞	b
a n=1		n=1 a

В частности, сумма степенного ряда интегрируема на любом отрезке, содержащемся в интервале сходимости, причем интеграл суммы ряда можно получить почленным интегрированием данного ряда. Кроме того, при почленном интегрировании степенного ряда радиус сходимости не изменяется. Пример 17.1. Найти сумму ряда

∞

x2n+2

n∑=0

(17.1)

(2n + 2)(2n + 3)

Решение. Интегрируя дважды почленно

пределах от

до

при

< 1

геометрический ряд

∞

∑ x 2n+1 =

− x 2

получаем:

n=0

2n+2

ln(1 − x 2 ),

∞

∑

∫

= −

2n + 2

n=0

0 1 − x 2

∞

2n+3

∑

= −

∫ ln(1 − x 2 )dx.

(2n + 2)(2n +

n=0

Последний интеграл возьмем по частям, полагая

U = ln(1 − x 2 ),

dU = −

2xdx

dV = dx,

V = x :

1 − x 2

x − x 2 dx

∫ ln(1− x

)dx

= (x ln(1− x

))

− 2∫

= x ln(1− x

)− 2∫

1−

1− x

= x ln(1 − x

)−

+ x

= x ln(1 − x

)− 2x + ln

+ x

2 x

−

− x

следовательно,

− x

∞

x 2n+3

x ln(1 − x 2 )

1 1 + x

n∑=0

= x −

−

отсюда

при x ≠ 0 и

< 1

(2n + 2)(2n + 3)

1 − x

сумма ряда (17.1)

x2n+2

ln(1 − x2 )−

∞

1 + x

S(x) = n∑=0

= 1 −

(2n + 2)(2n + 3)

1 − x

Очевидно, что S(0) = 0 и

∞

S(− 1) = S(1) = ∑

= ∑

−

2n + 2

n=0 (2n + 2)(2n + 3)

n=0

(2n + 3)

−

... +

−

+ ...

(17.2)

2n + 1

Известно, что для всех значений x из промежутка [-1,1] имеет место равенство

ln(1 + x) = x −

x 2

−

x 4

+ ... + (− 1)k −1

x k

+ ...,

в частности, при x=1

ln 2 = 1 −

−

− ... −

− ...,

2n + 1

следовательно,

−

+ ... +

−

+ ... = 1 − ln 2 .

2n + 1

Сравнивая (17.2) и (17.3), получаем

S(− 1) = S(1) = 1 − ln 2.

Таким образом, ряд (17.1) сходится на отрезке [-1,1] и его сумма равна

0 при x = 0,

S(x) = 1−

(1− x2 )−

1+ x

при 0 <

< 1,

1− x

1− ln 2 при

= 1,

а во всех остальных точках расходится.

Пример 17.2. Найти сумму ряда

ctg n x

∞

n∑=2

(n − 1)n

Решение. Рассмотрим сходящийся при

< 1геометрический ряд

∞

∑ y n−2 =

1 − y

n=2

Интегрируя дважды этот ряд в пределах от 0 до y при

< 1,

находим:

n−1

∞

∑

= ∫

= − ln(1 − y),

− y

n=2 n −

0 1

∞

∑

= −∫ ln(1 − y)dy.

− 1)n

n=2

Положим

U = ln(1

− y),

dU = −

dV = dy,

V = y, тогда по

− y

интегрирования по частям получаем

ln(1 − y)dy = y ln(1 − y) −

− ydy

= y ln(1

− y) −

∫

−

dy =

1 − y

= y ln(1 − y) − y − ln(1 − y)

= (y − 1)ln(1 − y)

− y,

следовательно, при

< 1

∞

(1 − y)ln(1 − y).

n∑=2

= y +

(n − 1)n

При y=1 имеем

(17.3)

(17.4)

формуле

∞

∑

= ∑

−

(n − 1)n

n=2

n=2 n − 1

следовательно, частичная сумма

∑

−

1−

−

− ... +

−

→ 1

при k → ∞ ,

k −

n=2 n −1

значит,

∞

n∑=2

= 1.

Далее, при y=-1 находим:

(n − 1)n

∞

(− 1)n

∞

(− 1)

∑

= ∑

−

n=2 (n − 1)n

n=2

n − 1

= 1 −

−

+ ... +

−

+ ... =

2k − 1

2k + 1

3 3

= 1 +

2 −

−

+ ... −

−

... = 1 + 2(ln 2 − 1) = 2 ln 2 − 1

2k + 1

(см. пример 17.1).

Таким образом,

y n

y + (1 − y)ln(1 − y)

при

< 1,

∞

∑

при

y = 1,

(17.5)

n=2 (n − 1)n

2 ln 2 − 1

при

y = −1.

Для данного ряда (17.4), полагая y = ctgx в соотношении (17.5), получаем

∞	ctg n x	ctgx + (1− ctgx)ln(1− ctgx)

∑		=	1
	(n −1)n
n=2			2 ln 2 −1

при		ctgx	< 1,

при		ctgx = 1,
при	ctgx = −1

или

ctgx + (1 − ctgx)ln(1 − ctgx)

при π

3π

+ πk < x <

+ πk,

∞

ctg

∑

при

x =

+ πk,

(n − 1)n

n=2

3π

2 ln 2 − 1

при

x =

+ πk, k Z,

аво всех остальных точках ряд (17.4) расходится.

3.8.Указания к задаче 18

∞

Пусть члены функционального ряда ∑U n (x) определены на отрезке [a,b] и

n=1

имеют в нем непрерывные производные U n′ (x). Если на отрезке [a,b] не только

				∞		∞	(x), то
сходится				ряд ∑U n (x), но и равномерно сходится ряд		∑U n′	(x), то
			′	n=1		n=1
∞		(x)	′	∞	(x). В частности, степенной ряд можно дифференцировать
∞				∞
∑U	n			= ∑U ′
	n			n
n=1				n=1

почленно внутри его интервала сходимости. Кроме того, при почленном дифференцировании степенного ряда радиус сходимости не изменяется. Пример 18.1. Найти сумму ряда

∑∞ (n2 + 9n + 5)x n+1 .

(18.1)

n=0

Решение. Возьмем сходящийся при

< 1 геометрический ряд

∞

∑ xn+1

(18.2)

1− x

и дифференцируем его дважды

n=0

∞

∑(n +1)xn

(18.3)

(1− x)

n=0

∑∞ (n2 + n)xn−1 =

(18.4)

Ряд (18.1) представим в виде

n=1

− x)

∞

∑(n2 + 9n + 5)xn+1

= x2 ∑(n2 + n)xn−1 + 8x∑

(n +1)xn − 3∑ xn+1 .

(18.5)

n=0

n=1

n=0

Из равенств (18.2)-(18.5) следует, что при

< 1

∑ (n 2

+ 9n + 5)x n+1 = 2x

3 +

2 − 3x

= 5x − 3x3 .

∞

n=0

(1− x)

1− x

(1− x)

При

x = 1

x = −1 получаем

соответственно

ряды ∑∞ (n2

+ 9n + 5) и

n=0

∞

∑(−1)n+1 (n2 + 9n + 5)

, которые расходятся.

n=0

Таким образом, ряд (18.1) сходится лишь при

< 1 и его сумма равна

S(x) =

5x − 3x3

x (−1;1).

(1− x)3

3.9. Указания к задаче 19

Если функция

f (x)

допускает в некоторой окрестности точки a разложение

в степенной ряд по степеням x − a , то этот ряд имеет вид

(a)

(n)

(a)

f (x) = f (a)+ f

(a)(x − a)+

′′

(x − a)

+ ... +

(x − a) + ...

(19.1)

′

Ряд (19.1) называется рядом Тейлора. При a = 0

ряд Тейлора называется также

рядом Маклорена.

Равенство (19.1) справедливо, если остаточный член ряда Тейлора

Rn (x) = f (x)−

f ′′(a)

− a)

+ ... +

f (n) (a)

(x − a)

f (a)+ f (a)(x − a)+

→ 0

′

при n → ∞ . Для оценки остаточного члена можно пользоваться формулой

Rn (x) =

f (n+1) (a + Θ(x − a))

(x − a)n+1 ,

0 < Θ < 1,

(n +1)!

называемой остаточным членом в форме Лагранжа.

Имеют место следующие равенства:

ex = 1+

+ ... +

+ ...,

x (− ∞,+∞),

x2n+1

sin x = x −

− ... + (−1)n

+ ..., x (− ∞,+∞)

(2n +1)!

cos x = 1−

− ... + (−1)n

x2n

+ ...,

x (− ∞,+∞) ,

(2n)!

ln(1+ x) = x −

x 2

x 3

− ... + (−1) n − 1

x n

+ ...,

x (−1,1],

(19.2)

(1+ x)α = 1+ αx +

α(α −1)

x2 + ... +

α(α −1)...(α − n +1)

+ ...,

x (−1,1)

(при х=1 это равенство справедливо для α > −1,

а при х=-1 для α > 0 ), в

частности, при α = −1 получаем геометрический ряд со знаменателем –х:

= 1− x + x2

− ... + (−1)n xn + ...,

x (−1,1),

(19.3)

1+ x

1 3

1 3...(2n −1)

x2n+1

arcsin x = x +

+ ... +

+ ...,

x [−1,1],

2 4

2 4...2n

2n +1

arctgx = x −

− ... + (−1)n−1

x2n−1

+ ...,

x [−1,1].

2n −1

Пример 19.1. Разложить функцию ln 12−+ xx в ряд Тейлора по степеням х. Решение. Данную функцию представим в виде

	2 + x
ln			= ln 2 + ln 1
	1	− x

	x	− ln(1+ (− x))
+
+	2
	2

На основании равенства (19.2) при −1 <

≤ 1

, т.е. при − 2 < x ≤ 2 можем записать

∞

(−1)

n−1

ln 1

= ∑

n=1

аналогично при −1 < −x ≤ 1, т.е. при −1 ≤ x < 1

∞

ln(1+ (− x)) = −∑

следовательно,

n=1

∞

(−1)n−1

2 + x

, x [−1,1).

− x

= ln 2 + ∑

n=1

Пример 19.2. Разложить функцию

в ряд Тейлора по степеням х.

2 − x − x2

Решение. Данную дробь разложим на простейшие

2 − x − x2

+ x

− x

Пользуясь разложением (19.3), находим:

∞

∑(−1)

< 2,

2 + x

n 1

n=0

∞

= ∑ xn ,

< 1,

1− x

следовательно,

n=0

(−1)n

∞

x (−1,1).

= ∑

+1 x

n 1

2 − x − x

n=0

3.10.Указания к задаче 20

При приближенном вычислении определенного интеграла часто, особенно в случае, когда соответствующий неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции в конечном виде, бывает удобно представить его в виде суммы ряда. Для этого сначала подынтегральную функцию разлагают в степенной ряд, а затем интегрируют почленно.

			0,1
Пример 20.1. Вычислить интеграл ∫cos(100x2 )dx с точностью до 0,001.
Решение. Полагая в разложении				0

∞		n	t	2n
cost = ∑	(−1)				, t (− ∞,+∞),

n=0		(2n)!
t = 100x2 получаем		(−1)n104n x4n
cos(100x2 )= ∑∞						, x (− ∞,+∞),
			(2n)!
n=0

следовательно,

0,1

∫cos(100x

∞ 0,1

∞

4n+1

0,1

2 )dx = ∑ ∫

(−1)

dx = ∑

(−1) 10

(2n)!

(4n +1)(2n)!

n=0 0

n=0

∞(−1)n

=∑n=0 10(4n +1)(2n)! .

Последний ряд является знакочередующимся рядом, поэтому, если в качестве его суммы взять сумму первых n-1 членов, то ошибка по абсолютной величине не будет превосходить числа

an =

Так как

a1 =

> 0,001,

a2 =

< 0,001, то с точностью до

10(4n +1)(2n)!

100

2160

0,001 имеем

(−1)

0,1

∫cos(100x2 )dx ≈ ∑

= 0,1− 0,01 = 0,09.

10(4n +1)(2n)!

n=0

4. РЯДЫ ФУРЬЕ

Теоретические вопросы 1. Тригонометрический ряд Фурье функции с периодом 2π .

2.Ряд Фурье для четных и нечетных функций.

3.Ряд Фурье функции с любым периодом.

4.Ряд Фурье функции, заданной в конечном промежутке.

5.Ряд Фурье в комплексной форме.

6.Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций.

Теоретические упражнения.

1. Доказать, что если функция f (x) имеет период Т, то при любом

λ+T

∫2 f (x)dx .

действительном числе λ

∫

f (x)dx = ∫ f (x)dx =

−T 2

Доказать,

что

система

функций

1,cos π x,sin

π x,cos

2π

x,sin

2π

,..., cos

nπ

x,sin

nπ

x,... ортогональна на отрезке

[− l, l]

Доказать, что системы функций

1,cos x,cos 2x,cos nx,...;

б)sin x,sin 2x,..., sin nx,...

ортогональны на отрезке [0,π

Расчетные задания.

Задача 21. Разложить в ряд Фурье следующие периодические функции:

21.1.

f (x) =

при

− π < x ≤ 0,

1 − x при 0 < x ≤ π ( f (x + 2π ) = f (x));

21.2.

f (x) =

2x2 + 1

при − π < x < 0,

0 ≤ x ≤ π ( f (x + 2π ) = f (x));

− 1

при

21.3. f (x) =

x 2

при 3 < x ≤ 5 ( f (x + 2)) = f (x) ;

при - 2 < x ≤ 2 ( f (x + 4) = f (x));

21.4. f (x) =

1 − x

21.5.

f (x) =

x(π − x) при 0 < x ≤ π ( f (x + π ) = f (x));

21.6. f (x) = e x

при − 2 < x ≤ 2 ( f (x + 4) = f (x));

− x

при − π < x ≤ 0,

21.7.

f (x) =

при

0 < x ≤ π ( f (x + 2π ) = f (x));

21.8.

f (x) =

при

− π < x < 0,

при

0 ≤ x ≤ π ( f (x + 2π ) = f (x));

21.9.

при

− π < x ≤ 0,

f (x) =

при

0 < x ≤ π ( f (x + 2π ) = f (x));

21.10.

f (x) = x 2 при 0 < x ≤ 2π ( f (x + 2π ) = f (x));

21.11.

f (x) = e x

− 1 при 0 < x ≤ 2π

( f (x + 2π ) = f (x));

21.12.

f (x) = e x

при − l < x ≤ l ( f (x + 2l) = f (x));

( f (x + 2π ) = f (x));

21.13.

f (x) = cos ax ( a ─ не целое число) при − π < x ≤ π

21.14.

f (x) = sin ax ( a ─ не целое число) при − π < x ≤ π

( f (x + 2π ) = f (x));

21.15.

f (x) =

при

0 < x ≤ 2,

при

2 < x ≤ 4 ( f (x + 4) = f (x));

2 − x

при

− 2 < x ≤ 0,

21.16. f (x) =

0 < x ≤ 2 ( f (x + 4) = f (x));

при

21.17.

f (x) =

sin x

;

− 1< x ≤ 0,

21.18.

f (x) =

при

0 < x ≤ 1 ( f (x + 2) = f (x));

при

0 < x ≤ π ,

21.19.

f (x) =

( f (x + 2π ) = f (x));

при

π < x ≤ 2π

− 1

21.20. f (x) = (2 − x)2

при 0 < x ≤ 2

( f (x + 2) = f (x));

21.21. f (x) = e3−x

при − 3 < x ≤ 3 ( f (x + 6) = f (x));

21.22.

f (x) =

− x

при

− l < x ≤ 0,

при

0 < x < l ( f (x + 2l) = f (x));

21.23.

f (x) =

при

− π < x ≤ 0,

при

0 < x < π ( f (x + 2π ) = f (x));

21.24. f (x) =

cos x

;

21.25.

f (x) =

ax − b

при

− l < x < 0,

при

0 ≤ x ≤ l

( f (x + 2l) = f (x));

ax + b

при

− π < x ≤ 0,

21.26.

f (x) =

( f (x + 2π ) = f (x));

−

при

0 < x ≤ π

( f (x + 2l) = f (x));

21.27.

f (x) = a | x | +b при − l < x ≤ l

21.28.

(x − 1) 2

при

− 1 < x ≤ 0,

f (x) =

при

0 < x < 1 ( f (x + 2) = f (x));

21.29. f (x) = x(4 − x) при 0 < x ≤ 4

( f (x + 4) = f (x));

21.30.	f (x) =		0	при		− π < x ≤ 0,
				+ x 2			0 < x < π ( f (x + 2π ) = f (x)).
			2			при
		π		x	Задача 22. Разложить в ряд Фурье функции:
22.1.	f (x) =		−		в интервале (0,π ) по косинусам;
				2
		4
				при		0 < x ≤		π	,
		x						2
22.2.	f (x) =					π			в интервале (0,π ) по синусам;

<x < π

22.3.f (x) =| x | в интервале (− 1,1)

22.4.f (x) = x 2 в интервале (0,π ) по синусам;

22.5.f (x) = 2x в интервале (0,1);

22.6.f (x) = 10 − x в интервале (5,15);

22.7.f (x) = 1 − x в интервале (0,1) по синусам;

22.8.f (x) = cos 2x в интервале (0,π ) по синусам;0 при 2

при 0 < x

≤ 2h,

22.9.

1 −

в интервале

(0,π ) по косинусам;

f (x) =

при

2h < x < π

22.10.

при 0 < x ≤ 1,

в интервале (0,2) по синусам;

f (x) =

− x

при 1 < x < 2

22.11. f (x) = x 2 + 1 в интервале (− 2,2);

22.12.

при

0 < x ≤ 2h,

в интервале (0,

π ) по косинусам;

f (x) =

при

2h < x < π

при 0 < x ≤

в интервале (0, l) по косинусам;

22.13.

f (x) =

l − x

при

< x < l

при 0 < x ≤

в интервале (0, l) по синусам;

22.14.

f (x) =

l − x

при

< x < l

22.15.

f (x) = x 2 в интервале (− 1,1);

22.16.

f (x) = sin ax ( a - целое число) в интервале (0,π ) по косинусам;

22.17.

при

1 < x < 2,

f (x) =

− x

при 2 ≤ x < 3;

22.18.

f (x) = 2x − 2 в интервале (0,π ) по косинусам;

22.19.

f (x) = 2 + x 2 в интервале (0,π ) по синусам;

22.20.

22.21.

22.22.

22.23.

22.24.

22.25.

22.26.

22.27.

22.28.

22.29.

22.30.

при

0 < x < π ,

в интервале (0,2π ) по косинусам;

f (x) = π

при

π ≤ x < 2π ;

− 1

- x при

0 < x <

f (x) =

в интервале (0,1) по косинусам;

< x < 1;

при

(0,π ) по синусам;

f (x) = cos ax ( a - целое число) в интервале

f (x) = ex

в интервале (0,π ) по косинусам;

f (x) = x в интервале (0,π ) по косинусам;

f (x) = ex

в интервале (0,1) по синусам;

f (x) = x3

в интервале (− π ,π );

f (x) = e x

− 1 в интервале (0,2π );

f (x) =| x |

в интервале (−l, l) ;

при

0 < x ≤ 1,

f (x) =

в интервале

по косинусам;

при

1 < x <

;

f (x) = x 2 в интервале(− π ,π ).

4.1. Указания к задаче 21

Тригонометрическая	система функций
1, cos x, sin x, cos 2x,	sin 2x,..., cos nx, sin nx,...	является ортогональной на

любом отрезке длины 2π , в частности, на отрезке [−π ,π ] , т.е. интеграл по

всякому отрезку длины 2π от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю.

Если ∫ f (x)dx существует и конечен, то существуют числа

−π
		1			π
an =					∫ f (x) cos nxdx (n = 0,1,2,...) ,		(21.1)

	π				−π

	1			π
bn =					∫ f (x) sin xdx (n = 0,1,2,...) ,		(21.2)

π			−π

называемые коэффициентами Фурье функции f (x) . Ряд
S(x) =				a0		+ ∑∞ (an cos nx + bn sin nx) ,	(21.3)

				2		n=1	f (x) , называется
где an и bn - коэффициенты Фурье (21.1) и (21.2) функции
рядом Фурье функции f (x) .

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.09.2019744 Кб19Biznes-_plan_Kopirka.doc
#
01.07.202563 Кб0Biznes-plan.docx
#
08.05.2019171 Кб59BZhD_modul_2.doc
#
20.04.2015233 Кб93c-rigra.doc
#
23.03.20161 Мб533ChM_Laboratorny_praktikum_s_ispravleniami.pdf
#
23.03.2016357 Кб9Chumakin.pdf
#
23.03.2016328 Кб24cMS_lec.pdf
#
09.11.2018108 Кб15compilers.docx
#
23.03.201629 Мб11Dinox 2013 рус.pdf
#
01.07.2025154 Кб3Diplomnaya_rabota_1.doc
#
01.07.2025650 Кб1Diplomny_proekt_Ganinoy_Yu_A.doc