2420-differencial-noe-ischislenie-funkciy-odnoy-peremennoy

X

Рис. 1.4. Геометрическая интерпретация понятия точной верхней грани числового множества Х

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Число m называется точной нижней гранью числового множества Х, если выполняются следующие условия (рис. 1.5):

1)х Х → x ≥ m;

2)ε > 0 хε Х: m < хε < m + ε.

Точная верхняя грань числового множества Х обозначается inf X

или inf{x} (читается «инфимум»).

x X

Заметим, что точная грань может как принадлежать, так и не принадлежать соответствующему множеству. Соответствующие примеры приведены на рис. 1.6.

Рис. 1.6. Примеры точных граней числовых множеств

11

Вопрос о существовании точных граней у числовых множеств решает важная для дальнейшего изложения теорема, которую ниже мы приведем без доказательства.

ТЕОРЕМА 1.1. (О точной грани.) Всякое непустое, ограниченное сверху (снизу) множество вещественных чисел имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

1.6. Понятие числовой последовательности

Если каждому числу n N поставлено в соответствие определенное число хn R, то полученное упорядоченное множество

х1, х2, …, хn, …

называют числовой последовательностью.

Кратко числовую последовательность обозначают символами

{x }∞ или {хn}. При этом хn называют элементом последовательно-

n n=1

сти, а число n − номером этого элемента.

Числовая последовательность – это функция, областью определения которой является все множество натуральных чисел N. Множество значений этой функции называют множеством значений последовательности.

Числовая последовательность может быть задана с помощью формулы, позволяющей вычислить каждый элемент последовательности по его номеру. Например:

1)1, 1, 1, … хn = 1, n N;

2)–1, 1, –1, 1, … хn = (–1)n , n N;

3) 2, 2 + 2 , 2 + 2 + 2 ,... х1 = 2, xn = 2 + xn−1 , n = 2, 3, ...

Обратим внимание, что в третьем примере числовая последовательность задана с помощью рекуррентной формулы

хn = f(хn–1),

т.е. задается первый элемент последовательности и указывается формула, связывающая последующий элемент с предыдущим.

Отметим также, что множество значений последовательности может быть как конечным, так и бесконечным. Например, в первом приведенном выше примере оно состоит из одного числа 1, во втором – из двух чисел 1 и –1, а в третьем – бесконечно. Однако множество элементов последовательности всегда является бесконечным: любые два ее элемента отличаются своими номерами.

12

Числовую последовательность {хn} можно графически изобразить:

1)точками с координатами (n, хn), n N, на плоскости (рис. 1.7);

2)точками хn, n N, на числовой прямой (рис. 1.8).

xn

x1

x3 x5

1

x4 x2

Рис. 1.7. График последовательности хn = 1+(–1)n+1/n , n N

Рис. 1.8. Изображение последовательности хn = 1+(–1)n+1/n , n N, точками на числовой прямой

1.7. Определение предела числовой последовательности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Число а R называется пределом числовой последовательности {хn}, если для любого числа ε > 0 существует такой номер N(ε) (зависящий от ε), что для всех элементов последовательности с номерами n > N(ε) выполняется неравенство

хn – а < ε.

В этом случае пишут

lim xn = а

n→∞

13

или

хn → а при n → ∞.

С помощью логических символов это определение можно записать так:

lim xn = а ε > 0 N(ε) Ν : n > N(ε) → xn − a < ε .

n→∞

Числовая последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

ПРИМЕР 1.1. Пользуясь определением, доказать, что число 1 является пределом числовой последовательности

n

xn = , n Ν. n + 2

Решение. Возьмем ε > 0. Найдем N(ε) N: n > N(ε) → хn – 1 < ε, т.е. решим относительно n неравенство

находящегося в квадратных скобках.) Тем самым мы установили, что

Геометрический вариант определения предела

Неравенство хn – а < ε в определении предела можно записать в виде

а – ε < xn < а + ε.

Другими словами, для любого числа ε > 0 найдется такой номер N(ε), начиная с которого все элементы последовательности принадлежат интервалу (а – ε, а + ε). Этот интервал называют ε- окрестностью точки а и обозначают Uε(a), т.е.

Uε(a) = {х: а – ε < x < а + ε} = {х: хn – а < ε}.

Дадим теперь другой, геометрический, вариант определения.

14

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Число а является пределом числовой последовательности {хn}, если в любой его окрестности содержатся почти все элементы последовательности, за исключением их конечного числа.

Таким образом, вне любой ε-окрестности точки а лежит лишь конечное число элементов числовой последовательности.

1.8. Единственность предела

ТЕОРЕМА 1.2. Числовая последовательность может иметь лишь один предел.

Доказательство. Предположим, что {хn} имеет два предела: а и b, причем а < b (рис. 1.9). Выберем ε > 0 так, чтобы ε-окрестности точек а и b не пересекались, например ε = (b – а)/3.

Рис. 1.9. ε-окрестности точек а и b

Так как а = lim xn , то по заданному ε можно найти N(ε), такой что

n→∞

хn Uε(a) n > N(ε), т.е. вне Uε(a) может лежать лишь конечное число элементов последовательности, в частности, интервал Uε(b) может содержать лишь конечное число элементов последовательности. Это противоречит тому, что b – ее предел. Полученное противоречие говорит о том, что числовая последовательность может иметь только один предел.

1.9. Ограниченность сходящейся последовательности

Числовая последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если множество значений ее элементов ограничено сверху (снизу). Числовая последовательность, ограниченная как сверху, так и снизу, называется ограниченной.

Сформулируем теперь определения ограниченной и неограниченной последовательностей на символическом языке.

Числовая последовательность {хn} называется ограниченной, если

15

С1 R, С2 R: n N → С1 ≤ xn ≤ С2,

или по-другому, если

С > 0: n N → |xn |≤ С.

Геометрически ограниченность последовательности означает, что все ее элементы содержатся в С-окрестности точки нуль.

Числовая последовательность называется неограниченной, если

С > 0 n N: хn > C.

Например, последовательность {(–1)n} ограничена, а {n((–1)n+1)} – не ограничена.

ТЕОРЕМА 1.3. Если числовая последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказательство. Пусть lim xn = a. Возьмем, например, ε = 1. Со-

n→∞

гласно определению предела числовой последовательности, найдется такое N(1), что для всех элементов последовательности с номерами n > N(1) выполняется неравенство

а – 1 < xn < а + 1.

Возьмем

С1 = min{x1, x2, … , xN, a –1}, C2 = max{x1, x2, … , xN, a +1}.

Тогда для всех n справедливо неравенство

С1 ≤ xn ≤ C2 ,

что и требовалось доказать.

Замечание. Согласно доказанной теореме, всякая сходящаяся последовательность является ограниченной. Однако не всякая ограниченная последовательность сходится. Например, последовательность {(–1)n} ограничена, но не имеет предела.

1.10. Бесконечно малые последовательности

Числовая последовательность {αn} называется бесконечно малой, если

lim αn = 0 .

n→∞

Это означает, что

ε > 0 N(ε) Ν : n > N(ε) → | αn | < ε.

16

ПРИМЕР 1.2. Доказать, что последовательность {αn}, где αn = 1 , – n

бесконечно малая.

Решение. Возьмем ε > 0. Решив относительно n неравенство

n > N(ε) → αn < ε,

т.е. lim αn = 0 , что и требовалось доказать.

n→∞

Введем арифметические операции над последовательностями.

Суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей {хn} и {уn} называются соответственно последовательности {хn + уn}, {хn – уn}, {хn уn}, {хn / уn}. При определении частного предполагается, что уn ≠ 0 для всех n N.

ТЕОРЕМА 1.4. (Свойства бесконечно малых последовательностей.) Бесконечно малые последовательности обладают следующими

свойствами:

1)алгебраическая сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность;

2)произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство

1. Пусть {αn} и {βn} – бесконечно малые последовательности. Покажем, что {αn ± βn} – бесконечно малая. Согласно определению бесконечно малой, для любого ε > 0 найдутся N1(ε) N и N2(ε) N, такие что αn < ε/2 при всех n > N1 и βn < ε/2 при всех n > N2. Возьмем N(ε) = max{N1, N2}. Тогда, воспользовавшись свойством модуля вещественного числа, для всех n > N(ε) имеем оценку:

αn ± βn ≤ αn + βn < ε/2 + ε/2 = ε,

т.е. {αn ± βn} – бесконечно малая последовательность.

2. Пусть {αn} – бесконечно малая, а {xn} – ограниченная последовательность. Покажем, что последовательность {αnxn} – бесконечно малая. По определению ограниченной последовательности

17

С > 0: хn ≤ С n,

а по определению бесконечно малой последовательности

ε > 0 N(ε) N: n > N(ε) → αn < ε/С.

Воспользовавшись свойством модуля вещественного числа, для всех n > N(ε) имеем оценку:

αnxn ≤ αn хn < (ε/С) С = ε,

т.е. {αnхn} – бесконечно малая последовательность.

СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ 1.4

1.Сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

2.Произведение конечного числа числовых последовательностей, из которых хотя бы одна бесконечно малая, а остальные ограниченные, есть бесконечно малая последовательность.

1.11. Бесконечно большие последовательности

Числовая последовательность {xn} называется бесконечно большой, если

ε > 0 N(ε) Ν : n > N(ε) → xn > ε.

В этом случае пишут

lim xn = ∞

n→∞

и говорят, что последовательность имеет бесконечный предел. Назовем ε-окрестностью ∞ (рис. 1.10) множество Uε(∞) = {х R:

х > ε}. Итак, числовая последовательность {xn} – бесконечно большая, если в любой ε-окрестности ∞ лежат все ее элементы, за исключением, быть может, их конечного числа.

Аналогично определяются пределы, равные ±∞:

lim xn = +∞ ε > 0 N(ε) Ν : n > N(ε) → xn > ε ;

n→∞

lim xn = −∞ ε > 0 N (ε) Ν : n > N(ε) → xn < − ε.

n→∞

18

Множества Uε(+∞) = {х R: х > ε} и Uε(–∞) = {х R: х < –ε} назовем ε-окрестностями + ∞ и –∞ соответственно (см. рис. 1.10). Тогда Uε(∞) = Uε(–∞) Uε(+∞).

значение и отражает характер поведения элементов числовой последовательности. На самом деле предела нет!

УПРАЖНЕНИЕ 1.1. Доказать, что числовая последовательность {xn}, где xn ≠ 0 n, является бесконечно малой тогда и только тогда, когда {1/xn} – бесконечно большая.

1.12. Арифметические операции над сходящимися последовательностями

Далее для доказательства свойств сходящихся числовых последовательностей будем использовать понятие бесконечно малой последовательности. Пусть число а – предел последовательности {xn}. Обозначим αn = xn – а. По определению предела

ε > 0 N(ε) N: n > N(ε ) → |xn – а| = |αn| < ε,

т.е. {αn} – бесконечно малая последовательность. Обратно: если xn = а + αn, где {αn} – бесконечно малая последовательность, то

lim xn = а.

n→∞

19

ТЕОРЕМА 1.5

1. Если xn = С n, то lim xn = C.

Доказательство

1. В данном случае xn – С = С – С = 0 = αn, где {αn} – бесконечно малая последовательность. Следовательно, lim xn = C.

{βn} – бесконечно малые последовательности. Тогда

а) xn ± уn = (а + αn) ± (b + βn) = (a ± b) + (αn ± βn), где {αn ± βn} – бесконечно малая последовательность. Следовательно, lim (xn ± yn ) = a ± b .

n→∞

б) xn· уn = (а + αn)·(b + βn) = a·b + (аβn + bαn + αnβn), где

{аβn + bαn + αnβn} – бесконечно малая последовательность. Следовательно, lim(xn yn ) = a b.

Замечание. В случае бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей утверждения, аналогичные рассмотренным выше, вообще говоря, не имеют места. Так, частное двух бесконечно

20