Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский технологический университет "МИСиС"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2004-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-odnoy-peremennoy-5mb

.pdf

Скачиваний:

103

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

5 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 216 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

arcsin α (x) ~ α (x);

arctg α (x) ~ α (x); aα(x) – 1 ~ α (x) ln a; eα(x) – 1 ~ α (x);

loga (1 + α (x)) ~ α (x) loga e; ln (1 + α (x)) ~ α (x);

(1 + α (x))m – 1 ~ mα (x).

Если α(x), β(х) – бесконечно			малые функции и α(x) ~ α1(x),
a β(х) ~ β1(х) при x → x0, то
lim	α(x)	= lim		α1 (x)	.

x→ x0 β(x) x			→ x0 β (x)
			1

При вычислении предела частного двух бесконечно малых функ- ций одну из них или обе можно заменить эквивалентными им беско- нечно малыми функциями.

Наиболее распространенные ошибки при вычислении предела функции:

1)замена функции f(α(x)) на эквивалентную бесконечно малую в случае, если функция α(x) не стремится к нулю;

2)замена функции, не являющейся множителем всего выражения, на эквивалентную функцию (чаще всего такая ошибочная замена де- лается в отдельном слагаемом алгебраической суммы).

Например, нельзя заменить бесконечно малую при x → 1 функцию

sin (πx) на функцию α(x) = πx, так как при x → 1 функция α(x) = πx

не стремится к нулю. Также нельзя в пределе lim	arctg x − sin x	заме-
	x3
x→0

нить функции arctg x и sin x на эквивалентную им бесконечно ма- лую при x → 0 функцию α(x) = x, так как в случае суммы (разности) функций замену их на эквивалентные бесконечно малые произво- дить нельзя.

Пример 1.6.1

Вычислить lim 2x + 3 .

x→−1 x − 1

Решение

lim	2x + 3	=	2(−1) + 3	=	1	= −	1	.
					−2
x→−1 x − 1			−1− 1			2

Пример 1.6.2

Вычислить	− x2 + 3x + 1
Вычислить	lim	.
	x→∞ 2x2	− x + 2

Решение

Разделим числитель и знаменатель на x в наибольшей степени, т.е. на x2:

− x

+ 3x + 1

∞

−1+

lim

= lim

= −

x→∞ 2x2

− x + 2

∞

x→∞ 2 −

Пример 1.6.3

Вычислить lim	− x2 + x + 2
Вычислить lim	.
x→∞	3x −1

Решение

Разделим числитель и знаменатель на x в наибольшей степени, т.е. на x2:

− x

+ x + 2

∞

−1+

−1

lim

= lim

= ∞.

x→∞ 3x − 1

∞

x→∞

−

Пример 1.6.4

Вычислить	lim	x + 1 − 3 8x6		+ x2
					.
			− 2 − 3
	x→+∞ 4x4			− x

Решение

Разделим числитель и знаменатель на x в наибольшей степени, т.е. на x2:

			x +1	3	8x6 + x2
	x +1 − 3 8x6 + x2			−
lim	x +1 − 3 8x6 + x2	= lim	x2	−	x2		=
lim	4x4 − 2 − 3 −x	= lim	4x4 − 2				=
x→+∞	4x4 − 2 − 3 −x	x→+∞	4x4 − 2		−	3 −x
			x2		−	x2
			x2			x2

x + 1

−

3 8x6 + x2

− 3 8 +

0 − 3 8

= −2 = −1.

= lim

3 x6

= lim

x→+∞

− 2

−x

x→+∞

4 − 0 2

−

4 −

− 3 −

Пример 1.6.5

3	− x − 4	81x8 − 2
Вычислить lim			.

x→+∞ (x − x)		4x2 − 3

Решение

Разделим числитель и знаменатель на x в наибольшей степени, т.е. на x2:

3 −x

81x8 − 2

3 −x − 4 81x8 − 2

−

3 −

− 4

81−

lim

= lim

x→+∞ (x − x) 4x2 − 3 x→+∞ (x −

4x2 − 3

x→+∞

x − x

4x2 − 3

3 −

− 4 81−

= lim

0 − 4 81

= − 4 81 = −

x→+∞

−

) 4 −

(1−

0) 4 − 0

Пример 1.6.6	( x + 1 − x + 2 ).
Вычислить lim	( x + 1 − x + 2 ).
x→+∞
Решение

Неопределенность вида ∞ – ∞. Чтобы раскрыть неопределенность,

умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение, т.е.

на (

x + 1 + x + 2 )

lim

(

x + 1 −

x + 2) = (∞ − ∞) = lim

(

x + 1 −

x + 2)(

x + 1 +

x + 2)

x + 1 +

x + 2

x→+∞

x +1− (x + 2)

x +1− x − 2

−1

= lim

= 0.

x +1 +

x + 2

x +1 +

x + 2

x→+∞

x→+∞ x +1 + x +

2 x→+∞

∞

Пример 1.6.7

Вычислить lim x ( x + 2 − x − 2 ).

x→+∞

Решение

Неопределенность вида ∞ – ∞. Умножим числитель и знаменатель

на сопряженное выражение, т.е. на

( x + 2 +

x − 2 ) :

lim

x ( x + 2 −

x − 2 ) = lim

(

x + 2 −

x − 2)(

x + 2 + x − 2)

x + 2 +

x→+∞

x − 2

= lim

x(x + 2 − x + 2)

= lim

x + 2 +

x→+∞

x + 2 +

x − 2

x→+∞

x − 2

= lim

= 2.

x→+∞

1−

x→+∞

1−

Пример 1.6.8

x2 − 7x + 3).

Вычислить

lim (

x2 − 2x − 1 −

x→+∞

Решение

Неопределенность вида ∞ – ∞. Умножим числитель и знаменатель
на сопряженное выражение, т.е. на				(	x2 − 2x − 1 +		x2 − 7x + 3):
	lim (	x2 − 2x − 1 −		x2 − 7x + 3 )=
	x→+∞
(	x2 − 2x − 1 − x2 − 7x + 3)( x2 − 2x − 1 + x2 − 7x + 3)							=
= lim		x2 − 2x − 1 + x2 − 7x + 3
x→+∞
= lim	x2 − 2x − 1− x2 + 7x − 3		= lim			5x − 4			.
	x2 − 2x − 1 +					x2 − 2x − 1 +
x→+∞		x2 − 7x + 3 x→+∞					x2 − 7x + 3

Разделим числитель и знаменатель на x в наибольшей степени, т.е. на x:

5 −

lim

= lim

x2 − 2x − 1

x→+∞

x2 − 7x + 3 x→+∞

x2 − 7x + 3

5 −

= lim

= 2,5.

1− 2

− 1 + 1− 7 + 3 1

+ 1 2

x→+∞

x x2

Пример 1.6.9	( x2	− 2x − 1 − x2 − 7x + 3).
Вычислить lim	( x2	− 2x − 1 − x2 − 7x + 3).
x→−∞

Решение

Неопределенность вида ∞ – ∞. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение (см. пример 1.6.8):

lim	( x2	− 2x − 1 −	x2 − 7x + 3)= lim	5x − 4	.

x→−∞			x→−∞ x2 − 2x − 1 + x2 − 7x + 3

Разделим числитель и знаменатель на x в наибольшей степени, т.е. на x:

5 −

x → −∞ x < 0

lim

x→−∞

− 2x − 1

− 7x + 3

= − x

5 −

= lim

x→−∞

−

2x − 1

− 7x + 3

x→−∞

−

− 1−

−

− 1−

= −

= −2,5.

−1− 1

Пример 1.6.10

x − 8 ).

Вычислить

lim x( x + 8 −

x→+∞

Решение

Неопределенность вида ∞ – ∞. Умножим числитель и знаменатель

на сопряженное выражение, т.е. на

(

x + 8 +

x − 8 ):

lim x(

x + 8 − x − 8 ) = lim

x + 8 −

x − 8)(

x + 8 +

x − 8)

x + 8 + x − 8

x→+∞

x(x + 8 − (x − 8))

x(x + 8 − x + 8)

16x

∞

= lim

x + 8 +

x − 8

x + 8 +

x − 8

x + 8 +

x→+∞

x − 8

∞

= lim

= +∞.

x→+∞

−

Пример 1.6.11

Вычислить

lim

(1− x)2 − (1+ x)2

2x2 + 3x

x→0

Решение

(1− x)2 − (1+ x)2

1− 2x + x2 − (1+ 2x + x2 )

lim

= lim

2x2 + 3x

x→0

= lim

1− 2x + x2

−1− 2x − x2

= lim

−4x

= lim

−4x

= lim

−4

= −

2x2

+ 3x

x→0

x→0 2x2

x→0 x(2x + 3)

x→0 2x + 3

Пример 1.6.12

Вычислить lim x2 − 4 .

x→2 x3 − 8

Решение

Неопределенность вида 0 . Разложим числитель и знаменатель на

множители:

lim

− 4

= lim

(x − 2)(x + 2)

= lim

x + 2

2 + 2

− 8

+ 2x + 4)

+ 2x + 4

+ 4 + 4

x→2 x3

x→2 (x − 2)(x2

x→2 x2

Пример 1.6.13

Вычислить lim	x3 + x − 2	.
	− x2 − x + 1
x→1 x3

Решение

Неопределенность вида 0 . Разложим числитель и знаменатель на

множители:

− x3 + x − 2

x − 1

− x2

−

− x + 1

x − 1

− x

+ x + 2.

− x2

x2 − 1.

− x 2 + x − 2

−

− x + 1

x2 − x

− x + 1

− 2x − 2

2x − 2

lim

x3 + x − 2

= lim

(x − 1)

(x2 + x + 2)

= lim

x2 + x + 2

= ∞.

− x2 − x + 1

x→1 x3

x→1

(x − 1)(x2 − 1)

x→1

x2 − 1

Пример 1.6.14

Вычислить lim

x + 2

x − 4

− 5x +

x→1 x2

4 3(x2

− 3x + 2)

Решение

Неопределенность вида ∞ – ∞. Разложим многочлены, стоящие в знаменателях на множители, а затем приведем дроби к общему зна- менателю:

	x + 2		x − 4		(x + 2)		(x − 4)
lim		+		= lim		+		=
	− 5x + 4
x→1 x2			3(x2 − 3x + 2)	x→1 (x −1)(x − 4)			3(x −1)(x − 2)

= lim	3(x2 − 4) + x2 − 8x + 16	= lim	4x2 − 8x + 4
					.
	3(x − 1)(x − 2)(x − 4)		3(x − 1)(x −
x→1		x→1		2)(x − 4)

Разложим на множители:

x + 8):

lim	4(x − 1)2	= lim	4(x − 1)	=	0	= 0.
	3(x − 1)(x − 2)(x − 4)				3(−1)(−3)
x→1		x→1 3(x − 2)(x − 4)

Пример 1.6.15
Вычислить lim	x − b − a − b	.
Вычислить lim		.
x→a	x2 − a2
Решение

Неопределенность вида 0 . Умножим числитель и знаменатель на

a − b ):

выражение, сопряженное к числителю, т.е. на (

x − b +

lim

x − b −

a − b

= lim

(

x − b −

a − b )( x − b − a − b )

x→a

− a

x→a

− a

)( x − b + a − b )

= lim

x − b − (a − b)

= lim

x − b − a + b

(x2 − a2 )(

− b + a − b )

(x2 − a2 )(

x − b +

a − b )

x→a

→a

= lim

x − a

= lim

a − b )

x→a (x − a)(x + a)(

x − b +

x→a (x + a)(

x − b +

2a 2 a − b

4a a − b

Пример 1.6.16

Вычислить lim

x − 8

x→64 3 x − 4

Решение

Неопределенность вида 0 . Умножим числитель и знаменатель на

выражение, сопряженное к числителю, т.е. на (

lim	x − 8	= lim	( x − 8)(	x + 8)	= lim	x − 64	.
	3 x − 4					x + 8)(3 x − 4)
x→64		x→64 (3 x − 4)(		x + 8) x→64 (

Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к

знаменателю, т.е. на (3 x2 + 43 x + 16)

lim

x − 64

= lim

(x − 64)(3 x2 + 43

x + 16)

x + 8)(3 x − 4)

x + 8)(3 x − 4)(3 x2

+ 43 x + 16)

x→64 (

(x − 64)(3 x2 + 43

x + 16)

x2 + 43 x + 16

16 + 16 + 16

= lim

= 3.

( x + 8)(x − 64)

x + 8

8 + 8

x→64

Пример 1.6.17

x + 1 3x−1

Вычислить lim

x→∞ x +

Решение

Неопределенность вида 1∞. Для того чтобы раскрыть эту неопре- деленность представим основание в виде 1 + α(x), а в показателе вы- делим множитель 1/α(x):

x + 1

3x−1

x + 1

3x−1

x + 1− x − 3 3x−1

lim

= lim 1

− 1

= lim 1

x + 3

x→∞ x + 3

x→∞

x + 3

			−2 x−3
		−2	(3x−1)				(3x−1)(−2)
				x−3	−2

= lim 1	+					= lim e x−3
		x − 3
x→∞						x→∞

Пример 1.6.18
Вычислить		lim				x − 2		.
Вычислить		lim						.
	x	→2+0 3 x2 − 4
Решение
lim	x − 2		=		0		= lim		x − 2
lim			=				= lim
x→2+0 3 x2 − 4				0			x→2+0 3 x − 2 3 x + 2
									1

			2	−6
	2−6x	lim	x
lim	2−6x	x→∞ 1−			3
= ex→∞ x−3 = e					x = e−6 .

			1	−	1
=	lim	(x − 2)	2 3			=
=	lim		2			=
	x→2+0 3 x +		2

=	lim	(x − 2)	6	=	0	= 0.
					3 4
	x→2+0 3 x + 2

Пример 1.6.19

3	x + 2 − 3 2 − x
Вычислить lim		.

x→0	27 x
Решение

Неопределенность вида 0 . Умножим числитель и знаменатель на вы-

ражение, сопряженное к числителю, т.е.

на 3 (x + 2)2 + 3 x + 2 3 2 − x +

+ 3 (2 − x)2 :

x + 2 − 3 2 − x

lim

27 x

x→0

(3 x + 2 − 3

x + 2 )

+ 3 x

+ 2 3 2 − x + (3 2 − x )

2 − x ) (3

= lim

x + 2 )

− x + (3

2 − x )

x→0

7 x

+ 3 x

+ 2 3 2

= lim

(3 x + 2 )3 − (3 2 − x )3

x + 2 )

− x + (3

2 − x )

x→0

7 x

+ 3 x

+ 2 3 2

= lim

(x + 2) − (2 − x)

x + 2 )

− x + (3

2 − x )

x→0

7 x

+ 3 x

+ 2 3 2

= lim

x + 2 )

− x + (3

2 − x )

x→0

7 x

+ 3 x

+ 2 3 2

1−

= lim

x 7

= 0.

(3 x + 2 )2 + 3 x + 2 3 2 − x + (

3 2 − x )2

33 4

x→0

Пример 1.6.20

Вычислить lim

sin(5x)

x→0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 216 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.20254 Мб22-2-Учебное пособие-ЭЭ и ОВОС.doc
#
01.04.2025964 Кб62-3-Курс лекций-ЭЭ и ОВОС.doc
#
01.07.202533 Кб12. Имидж вожатого. ЕПТ.docx
#
20.04.201532 Кб382. Классификация материалов.doc
#
27.09.201947 Кб1120-24.doc
#
23.03.20165 Мб1032004-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-odnoy-peremennoy-5mb.pdf
#
23.03.20163 Мб3482006-matematicheskiy-analiz-differencial-nye-uravneniya-2mb.pdf
#
01.07.2025529 Кб62011-12-20-11-21-45.doc
#
13.09.201965 Кб182012-Вопросы по теоретической механике.doc
#
01.05.2025419 Кб42013-07-18_Uchebnik_dlya_marshalov.docx
#
01.05.2025955 Кб32014_Билеты для госэкзамена.doc