2006-matematicheskiy-analiz-differencial-nye-uravneniya-2mb

Если требуется найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию, то находим сначала общее решение у = у (х, с) и затем, подставляя начальное условие у (х0) = у0 в общее решение, находим значение константы с.

Заметим, что уравнение с разделяющимися переменными также может быть записано в виде

X1(x)Y1(y)dx + X2(x)Y2(y)dy = 0.

Здесь коэффициенты перед dx и dy могут быть представлены в ви- де произведения двух множителей, каждый из которых зависит толь- ко от одной переменной.

Решение

В условии задано уравнение с разделяющимися переменными.

Подставим в исходное уравнение у′ = dy : dx

(x − 1)е1+ х2 tg y = e2 x dy . dx

Умножим обе части уравнения на dx:

(x − 1)е1+ х2 tg y dx = е2 х dy.

Разделим обе части уравнения на tg y (при этом можем потерять решение tg y = 0):

(x − 1)e1+ x2 dx = e2 x dy . tg y

Разделим обе части уравнения на e2 x :

Интегрируем обе части полученного выражения:

11

y = π + πk является решением исходного уравнения. Из общего ре- 2

шения его получить невозможно. Следовательно, y = π + πk − особое

2

решение.

Тогда получили решение заданного уравнения

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1) = π . Для этого найдем константу с, подставив х = 1 и y = π в

12

Пример 3.2. Решить задачу Коши: у ′ = 2x – y, y(1) = 2.

Решение

Подставим в исходное уравнение у′ = dy : dx

dy = 2x− y . dx

Так как 2x – y = 2x 2– y, то

dy = 2x 2− y . dx

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные, для этого умножим обе части уравнения на dx и разде- лим на 2–y ≠ 0:

dy = 2x 2− y dx;

dy = 2x dx; 2− y

2y dy = 2x dx.

Интегрируем обе части полученного выражения:

∫ 2y dy = 2y + c; ln 2

∫ 2x dx = 2x + c. ln 2

Получили общий интеграл исходного уравнения:

Умножим обе части уравнения на ln2:

2y = 2x + с,

где c = c ln 2.

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(1) = 2. Для того найдем константу с, подставив в общий интеграл x = 1 и y = 2:

22 = 2 + с с = 2.

13

Следовательно, частный интеграл данного уравнения

2y = 2x + 2 .

Пример 3.3. Решить задачу Коши: y′ = 4y − 5 , y(0) = 2.

8x − 3

Решение

В условии задано уравнение с разделяющимися переменными.

Подставим в исходное уравнение у′ = dy : dx

dy = 4y − 5 . dx 8x − 3

Умножим обе части уравнения на dx:

dy = 4y − 5 dx. 8x − 3

Разделим обе части уравнения на 4y – 5 (при этом можем потерять решение y = 5/4):

Интегрируем обе части полученного выражения:

Умножим обе части уравнения на 8:

2ln 4y − 5 = ln 8x − 3 + 8с; ln(4y − 5)2 = ln 8x − 3 + ln с,

где lnс = 8с;

14

ln(4 y − 5)2 = ln c(8x − 3) .

Получили общий интеграл исходного уравнения

(4y – 5)2 = c(8x −3).

Решение y = 5/4 содержится в общем интеграле при с = 0.

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 2. Для этого подставим в общий интеграл х = 0 и у = 2 и най- дем константу с:

(8 − 5)2 = с(8 0 − 3); 9 = −3с с = −3.

Итак, частный интеграл данного уравнения

(4y – 5)2 = −3(8x −3).

Пример 3.4. Решить задачу Коши: (2e4x + 3)y' = y2e4x, y(0) = 1.

Решение

В условии задано уравнение с разделяющимися переменными.

Подставим в исходное уравнение у′ = dy : dx

(2e4 x + 3) dy = y2e4 x . dx

Умножим обе части уравнения на dx:

(2e4 x + 3)dy = y2e4 x dx.

Разделим обе части уравнения на y2(2e4x + 3), при этом можем по- терять решение у = 0:

15

Получили общий интеграл исходного уравнения

8 = c − ln 2e4 x + 3 , y

При делении на y2 могли потерять решение y = 0. Непосредствен- ной подстановкой убеждаемся, что y = 0 является решением исход- ного уравнения. Из общего решения его получить невозможно. Сле- довательно, y = 0 – особое решение.

Тогда решение данного уравнения

Найдем частное решение, удовлетворяющее данному начальному условию у(0) = 1. Для этого подставим х = 0 и у = 1 в общее решение и найдем константу с:

Итак, частное решение данного уравнения

Пример 3.5. Найти общее решение уравнения xdx + ydy = xy2dx +

+yx2dy.

Решение

Сгруппируем слагаемые:

xdx – xy2dx = yx2dy – ydy;

16

x (1 − y2)dx = y(x2−1)dy.

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

Разделим обе части уравнения на (1 − y2) (x2−1), при этом можем потерять решения у = −1; у = 1; x = −1 и x = 1:

1ln x2 − 1 + 1 ln 1− y2 = −с.

22

Умножим на 2:

ln x2 − 1 + ln 1− y2 = ln c,

где ln c = −2c;

(x2 − 1)(1− y2 ) = c .

При делении на (1 − y2) (x2 − 1) могли потерять решения у = −1; у = 1; x = −1 и x = 1, но они содержаться в общем интеграле при с = 0. Таким образом, данное уравнение особых решений не имеет.

Итак, общий интеграл данного уравнения

(x2 − 1)(1− y2 ) = c .

Пример 3.6. Написать уравнение кривой, проходящей через точ- ку М (2, 1), зная, что угловой коэффициент касательной в любой точ- ке кривой равен квадрату ординаты этой точки.

17

Решение

Составим дифференциальное уравнение семейства кривых, удов- летворяющих требуемому в задаче условию. Так как угловой коэф- фициент касательной в точке равен первой производной функции в этой точке, и, по условию задачи, равен квадрату ординаты этой точ- ки, то имеем дифференциальное уравнение

y′ = y2 .

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Подста-

вим в полученное уравнение у′ = dy : dx

dy = y2 . dx

Умножим обе части уравнения на dx и разделим на y2 (при этом можем потерять решение у = 0):

dy = dx. y2

Интегрируем обе части полученного выражения:

∫ dy = − 1 + c; y2 y

∫ dx = x + c.

Получили общий интеграл исходного уравнения

−1 = x + с; y

y = − 1 . x + с

При делении на y2 было потеряно решение у = 0. Следовательно, у = 0 – особое решение.

Тогда решение данного уравнения

18

Так как искомая кривая проходит через точку М (2, 1), то найдем частное решение, удовлетворяющее данному начальному условию у(2) = 1. Для этого подставим х = 2 и у = 1 в общее решение и найдем константу с:

Тогда частное решение данного уравнения

y = − 1 . x − 3

Следовательно, уравнение искомой кривой

3.2. Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Уравнение вида

y′ = f (ax + bу + c), где b ≠ 0

с помощью замены t = аx + by + с можно привести к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 3.7. Найти общее решение уравнения y′ = 3 (4x − 9у + 1)2 .

Решение

Приведем данное уравнение к уравнению с разделяющимися пе- ременными, сделав замену t = 4x − 9у + 1 .

Так как t′ = 4 − 9у′ , то у′ = 4 − t′ . 9

Подставим t = 4x − 9у + 1 и у′ = 4 − t′ в исходное уравнение:

9

4 − t′ = 3 t2 ;

9

4 − t′ = 93 t2 ; t′ = 4 − 93 t2 .

19

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Подста-

вим t′ = dt : dx

dt = 4 − 93 t2 . dx

Умножим обе части уравнения на dx и разделим на 4 − 93 t2 (при

этом можем потерять решения t = ± 8 ):

27

27

20