corp_fin

60 Глава 2. Инвестиционные решения при отсутствии неопределенности

Денежный поток в табл. 2.6 состоит из бесконечного числа «ручейков»: − I0, a1, a2, …, aτ. Убедимся в том, что NPV каждого из них меньше NPV предыдущего в одно и то же число раз. Величина NPV выплат и поступлений, связанных с эксплуатацией объекта в течение τ периодов первый раз, равна:

Величина NPV выплат и поступлений, возникающих при использовании объекта в течение τ периодов второй раз, составит

Соответственно

В связи с этим NPV всего потока, представленного в табл. 2.6, при замене оборудования N раз равна:

При N → ∞ NPV этого потока будет равна конечной величине:

(2.4)

Теперь можно определить оптимальный момент для замены техники при бесконечно повторяющемся возобновлении объекта инвестирования в первоначальном виде. Для этого достаточно по формуле (2.4) рассчитать NPVτ,Σ при всех значениях τ = 1, 2, …, Т. Максимальная величина NPVτ,Σ соответствует оптимальному моменту обновления техники.

Пример 2.5. Пусть объект инвестирования из примера 2.4 используется не один, а бесконечное число раз при той же ставке процента i = 8%. Значения NPVτ,1 для всех τ = 1, 2, …, 8 в примере 2.4 уже рассчитаны. Чтобы воспользоваться формулой (2.4), необходимо еще вычислить соответствующие им сомножители. Итоги всех расчетов приведены в табл. 2.7.

В случае постоянного возобновлении объекта инвестировании в прежнем виде экономически целесообразный срок его эксплуатации не шесть периодов, как было при однократном его применении, а только три.

При определении оптимального момента замены используемой техники более совершенной ее разновидностью содержание задачи меняется. В этом случае общий денежный поток не содержит повторяющихся циклов: цепочка выплат и поступлений, возникающая после замены, отличается от предшествующей по величине платежей и их временной структуре. Кроме того, когда один тип оборудования планируется заменять другим типом, тогда в роли претендента на замену может выступать не одна, а несколько разновидностей более совершенной техники. Такая задача не имеет «изящного» алгоритма решения. Чтобы найти экономически целесообразный срок эксплуатации каждой разновидности техники, придется составлять денежные потоки для всех возможных вариантов развития событий и рассчитывать NPV каждого из них. При этом задача окажется решаемой, если существенно ограничить горизонт планирования и число альтернативных разновидностей техники.

2.1.4. Формирование инвестиционной программы из нескольких проектов

При наличии совершенного рынка денег фирма редко выбирает только один из множества эффективных инвестиционных проектов; чаще бывает выгодней реализовать все проекты с положительной NPV. Если у фирмы недостаточно для этого собственных денег, то она возьмет кредит и после его возврата с процентами будет иметь чистый

62 Глава 2. Инвестиционные решения при отсутствии неопределенности

выигрыш, равный NPV реализованного за счет кредита проекта. В таких условиях принцип формирования инвестиционной программы прост: включайте в нее все проекты с неотрицательной NPV. Общий объем инвестиций будет зависеть от ставки процента: по мере ее снижения объем инвестиций увеличивается, а по мере роста он уменьшается. Так выводится используемая в микро- и макроэкономике неоклассическая функция инвестиций I = I (−i ).

2.2.Совместное планирование инвестиций

ифинансирования

Рассмотренные в параграфе 2.1 методы оптимизации инвестиционных решений по критерию максимизации NPV или аннуитета предполагают существование совершенного рынка денег, который выступает в качестве объекта альтернативного варианта инвестирования и обеспечивает неограниченное финансирование при неизменных издержках. В действительности денежный рынок не совершенен, и это коренным образом меняет условия поиска оптимальных решений при разработке инвестиционных и финансовых планов фирмы. Несовершенный денежный рынок затрудняет нахождение оптимального инвестиционнофинансового решения вследствие того, что:

—имеется множество различающихся по объему, стоимости и условиям использования источников финансирования;

—актуальной становится задача обеспечения постоянной платежеспособности фирмы;

—однозначно не определена ставка дисконтирования при сопоставлении разновременных затрат и результатов;

—отсутствует критерий оценки инвестиционно-финансовых решений, адекватно отражающий предпочтения инвестора относительного сегодняшнего и будущего потребления.

Перечисленные трудности в определенной степени преодолеваются посредством синхронного планирования инвестиционной, финансовой,

апорой и производственной деятельности фирмы.

2.2.1. Однопериодная модель Дина

Простейшую модель синхронного инвестиционно-финансового планирования создал американский экономист Д. Дин1. В ней предпо-

1Dean J. Capital Budgeting. New York, 1951.

лагается, что все объекты инвестирования функционируют только один период и к концу этого периода нужно полностью рассчитаться по всем кредитам. Предполагается также, что все инвестиционные проекты и источники их финансирования можно реализовать не в полном объеме

инезависимо друг от друга. При таких условиях из m инвестиционных проектов и n источников их финансирования нужно составить инвести- ционно-финансовую программу, обеспечивающую максимальные чистые поступления в конце периода. Д. Дин предложил наглядный метод решения такой задачи посредством построения кривой спроса на инвестиции

икривой предложения кредитов. Для построения кривой спроса на ин-

вестиции нужно по каждому инвестиционному проекту вычислить IRR (у однопериодной инвестиции IRR = a1/I0 –1) и ранжировать проекты по убыванию их внутренней доходности. Кривая предложения кредитов образуется в результате ранжирования источников финансирования по возрастанию их стоимости (ставок на заимствования). Точка пересечения обеих кривых определяет оптимальный набор инвестиционных проектов

иисточников их финансирования.

Пример 2.6. Пусть в инвестиционном портфеле фирмы имеются пять совместно осуществимых проектов, представленных в табл. 2.8.

Их финансирование фирма может осуществлять из пяти источников, представленных табл. 2.9.

64 Глава 2. Инвестиционные решения при отсутствии неопределенности

Легко заметить, что фирма может профинансировать все пять проектов. Например, в программе, представленной в табл. 2.10, каждый проект оказывается рентабельным, а общая сумма чистых поступлений равна 7,4 ден. ед. Но это программа не является оптимальной.

Таблица 2.10

Программа инвестирования, ден. ед.

Найдем оптимальную программу по методу Дина. На рис. 2.3 по данным, приведенным в табл. 2.8 и 2.9, построены кривые спроса на инвестиции (I) и предложения кредитов (K). Точка их пересечения показывает, что из пяти инвестиционных проектов целесообразно реализовать только три первых, а для их финансирования полностью использовать источники А, В, С и на 80% источник D. Из табл. 2.11 следует, что такая программа обеспечивает на 6,3 ден. ед. больше чистых поступлений, чем представленная в табл. 2.10.

Все другие комбинации из имеющихся проектов инвестирования и источников финансирования дают меньшие чистые поступления в конце периода1.

Наибольший теоретический интерес в модели Дина представляет ставка процента, соответствующая точке пересечения кривых спроса и предложения. Если ее использовать в качестве калькуляционной ставки при расчете NPV, то у всех инвестиционных проектов и источников финансирования, вошедших в оптимальный план, NPV ≥ 0, а у всех, не попавших в него, NPV < 0. Для условий примера 2.6 при i = 10% это будет выглядеть следующим образом:

Следовательно, применяя при расчете NPV ставку процента, уравновешивающую спрос и предложение на рынке кредитов, можно и в условиях несовершенного рынка денег оптимизировать инвестиционнофинансовые программы по показателю NPV или аннуитета проектов.

Этот вывод вроде бы имеет чисто академический интерес, так как калькуляционная ставка процента выявляется только после составления оптимальной программы, когда эффективные проекты уже отделены от неэффективных. Однако соответствующая оптимальной программе ставка процента имеет определенную устойчивость при изменении формирующих ее экзогенных параметров: заданного набора инвестиционных проектов и источников финансирования. В пределах этой устойчивости оптимальную программу можно пополнять новыми (неизвестными в момент ее составления) инвестиционными проектами с положительной NPV, рассчитанной по калькуляционной ставке.

66 Глава 2. Инвестиционные решения при отсутствии неопределенности

Пример 2.6 (продолжение). После составления оптимальной программы, представленной в табл. 2.11, появился дополнительный инвестиционный проект VI c I0 = 28 ден. ед. и a1 = 31 ден. ед. Его NPV = 31/28 − 1 = 0,18 > 0; поэтому он должен войти в программу, которая теперь принимает вид, представленный в табл. 2.12 и на рис. 2.4.

Таблица 2.12

Оптимальная программа инвестирования по методу Дина

Может показаться, что модель Дина пригодна также для формирования оптимальной программы реализации многопериодных инвестици- онно-финансовых проектов. Но это не так. Модель Дина предполагает принятие решений в условиях несовершенного рынка денег. В этих условиях невозможно обеспечить сопоставимость многопериодных инвестиционных проектов, различающихся объемами вложений и сроками службы, посредством инвестиционно-финансовых операций с нулевым NPV.

Рис. 2.4. Дополнение оптимальной инвестиционно-финансовой программы

их экономическую эффективность (вклад в прирост благосостояния инвестора).

Пример 2.7. Имеются два совместно осуществимых инвестиционных проекта, представленных в табл. 2.13.

Таблица 2.13

Оптимальная программа инвестирования, ден. ед.

Для их финансирования можно получить двухгодичный кредит с возможностью досрочного погашения задолженности в двух банках: в банке А до 400 ден. ед. под 8% годовых и в банке В до 800 ден. ед. под 14% годовых. Определим внутреннюю доходность инвестиционных проектов:

По модели Дина в инвестиционную программу следует включить инвестиционный проект I и финансировать его за счет полного использования кредита банка А, а недостающие 120 ден. ед. взять в банке В, так как внутренняя доходность этого проекта превышает стоимость кредитов. Проект II осуществлять не нужно, так как его внутренняя доходность ниже стоимости доступных кредитов. Наглядно такое решение представлено на рис. 2.5, а его результаты в табл. 2.14.

Таблица 2.14

Оптимальное решение

Ранжирование несопоставимых многопериодных инвестиционных проектов по их внутренней доходности, необходимое в модели Дина для построения кривой спроса на инвестиции, неадекватно отражает

Все поступления первого года используются на погашение задолженности. Банку A задолженность будет погашена полностью вместе с процентами (400 1,08 = 432), а банку B удастся вернуть только 26 ден. ед. К началу второго

Таблица 2.15

Оптимальное решение, ден. ед.

По своей сути концепция Дина схожа с рассмотренной в параграфе 1.2 концепцией Хиршлейфера, так как обе они раскрывают основные особенности принятия инвестиционно-финансовых решений при несовершенном рынке денег, основываясь на простейшей однопериодной модели. Но в отличие от Хиршлейфера Дин не рассматривает механизм образования инвестиционного фонда (распределения дохода между потреблением и сбережением), принимая его экзогенно заданным.

2.2.2. Многопериодная модель

шенного рынка денег. В то же время из-за ограниченности временного горизонта в ней не находят отражения такие важные аспекты инвести- ционно-финансовой деятельности, как необходимость поддержания постоянной платежеспособности фирмы и возможность финансирования инвестиционных проектов не только из внешних источников, но и посредством реинвестирования части чистых поступлений от данных проектов. В связи с этим возникает необходимость учитывать предпочтения инвестора относительно потребления в текущем и будущих периодах.

В общем виде разработка многопериодной инвестиционно-финансо- вой программы сводится к следующему. В исходном периоде инвестор располагает определенной суммой денежных средств и может воспользоваться различными формами заимствования. Стремясь повысить свое благосостояние, он рассматривает возможные варианты вложений доступных ему средств в реальный сектор экономики и операции на рынке финансов. Результаты инвестирования и финансирования предстают перед инвестором в виде параллельно протекающих во времени потоков выплат и поступлений. Последние можно использовать либо для реинвестирования, либо для увеличения потребления. Задача инвестора — сформировать некий набор инвестиционных проектов и источников их финансирования, который обеспечит ему в течение ограниченного плановым горизонтом срока прирост потребления, соответствующий его межвременным предпочтениям. Алгебраически ситуацию можно представить в виде матрицы поступлений и выплат:

Здесь Ii — i-й инвестиционный проект, i = 1, 2, …, n; Fj — j-й источник финансирования, j = 1, 2, …, m; aiτ — платеж (выплаты или поступления), связанный с i-м инвестиционным проектом в периоде τ = 1, 2, …, T;

70 Глава 2. Инвестиционные решения при отсутствии неопределенности

Математически задача сводится к нахождению неотрицательного вектора x1, x2, …, xn+m, при котором выполняется система равенств, гарантирующих постоянную платежеспособность фирмы:

и обеспечивающих: а) либо достижения максимума CT; б) либо максимизацию элементов вектора С1, С2, …, СТ–1 при заданной величине CT. Это задача линейного программирования, алгоритм решения которой имеется во многих компьютерных программах, например, в Microsoft Office Excel.

Пример 2.8. В инвестиционном портфеле фирмы имеются пять не исключающих друг друга проектов; связанные с ними выплаты и поступления и возможная интенсивность (кратность) их использования представлены в табл. 2.16.

Возможная интенсивность использования инвестиционных проектов (nmax) ограничивает объем инвестиций «сверху». Так, проекту I1 может соответствовать не только вектор, представленный первой строкой табл. 2.16, но и вектор с уменьшенными в любое число раз или увеличенными не более чем вдвое цифрами. В исходном (нулевом) году фирма имеет 70 ден. ед. собственных средств и может получить кредит 80 ден. ед. на пять лет под 6% годовых при условии погашения займа с процентами равными порциями (аннуитетом) с первого по пятый год; аннуитет этого кредита равен 19:

Кроме этого, на денежном рынке фирма может брать годовые кредиты в неограниченном объеме под 8% и ссужать деньги под 5% годовых. Матрица выплат и поступлений в заданных условиях показана табл. 2.17.

72 Глава 2. Инвестиционные решения при отсутствии неопределенности

Инвестиционные проекты I6 — I10 представляют возможность предоставления кредита на денежном рынке под 5%, а финансовые источники F2 — F6 — возможность получения займа под 8%. В качестве базовой суммы операций на денежном рынке взято 100 ден. ед.; она может быть использована с любой интенсивностью, т.е. принять любое положительное значение.

Вариант 1. Нужно составить инвестиционно-финансовую программу, максимизирующую в пятом году чистые поступления при условии, что дивидендов в первом году будет выплачено 5 ден.ед., во втором — 6; в третьем — 7 и в четвертом — 8 ден. ед.

Оптимальная программа находится в результате решения следующей математической задачи:

CT = 20x1 + 25x2 + 19x3 + 10x4 + 24x5 + 105x10 – 19x11 – 108x16 → max

при условии обеспечения платежеспособности фирмы в каждом периоде:

−37x1 − 75x2 − 100x6 + 80x11 + 100x12 + 70 = 0;

−42x1 + 10x2 − 90x3 − 50x4 + 105x6 − 100x7 − 19x11 − 108x12 + 100x13 = 5; 33x1 + 15x2 + 35x3 + 25x4 − 75x5 + 105x7 − 100x8 − 19x11 − 108x13 + 100x14 = 6; 23x1 + 20x2 + 29x3 + 20x4 + 33x5 + 105x8 − 100x9 − 19x11 − 108x14 + 100x15 = 7; 21x1 + 22x2 + 25x3 + 15x4 + 29x5 + 105x9 − 100x10 − 19x11 − 108x15 + 100x16 = 8

иограничениях «сверху» на положительные переменные:

x1 ≤ 2; x2 ≤ 3; x3 ≤ 2; x4 ≤ 1; x5 ≤ 3; x11 ≤ 1.

Система равенств, представляющая необходимость обеспечения платежеспособности фирмы в каждом периоде, учитывает возможность использования поступлений от одного инвестиционного проекта для финансирования другого и отражает зависимость оптимальной инвестиционно-финансовой программы от межвременных потребительских предпочтений инвестора.

Решение рассматриваемой задачи линейного программирования дает следующие значения переменных и целевой функции:

x1 = x3 = 2; x4 = x11 = 1; x5 = 0,84; x6 = 0,76; x13 = 2,58; x14 = 2,06; x15 = 0,97;

x2 = x 7 = x8 = x9 = x10 = x12 = x16 = 0; СТ = 89,2.

Это значит, что нужно полностью реализовать инвестиционные проекты I1, I3 и I4, проект I5 использовать с интенсивностью 0,84, а проект I2 не включать в программу. Кроме того, в нулевом периоде следует отдать в ссуду 76 ден. ед.

на рынке денег. Для реализации этой программы в дополнение к собственным денежным средствам в нулевом периоде надо использовать пятилетний кредит в размере 80 ден. ед. и брать годовые кредиты на рынке денег во втором, третьем и четвертом годах соответственно 258, 206 и 97 ден. ед. Тогда к концу пятого года денежные средства фирмы возрастут в 89,2/70 = 1,27 раза при выполнении всех обязательств по дивидендам в каждом периоде:

Вариант 2. Если акционеры хотят достичь максимально возможный рост своего благосостояния не в конце планового срока инвестиционной программы, а в каждом из периодов этого срока с некоторым темпом роста, то условие поддержания платежеспособности фирмы выражается такой системой уравнений:

−37x1 − 75x2 − 100x6 + 80x11 + 100x12 + 70 = 0;

−42x1 + 10x2 − 90x3 − 50x4 + 105x6 − 100x7 −19x11 − 108x12 + 100x13 − x17 = 0;

33x1 + 15x2 + 35x3 + 25x4 − 75x5 + 105x7 − 100x8 − 19x11 − 108x13 + 100x14 −

– 1,2x17 = 0;

23x1 + 20x2 + 29x3 + 20x4 + 33x5 + 105x8 − 100x9 − 19x11 − 108x14 + 100x15 −

– 1,4x17 = 0;

21x1 + 22x2 + 25x3 + 15x4 + 29x5 + 105x9 − 100x10 − 19x11 − 108x15 + 100x16 −

– 1,6x17 = 0;

20x1 + 25x2 + 19x3 + 10x4 + 24x5 + 105x10 − 19x11 − 108x16 − 1,8x17 = 70,

74 Глава 2. Инвестиционные решения при отсутствии неопределенности

где x17 — сумма дивидендов, выплачиваемая в первом году, а коэффициенты при этой переменной представляют заданный темп роста дивидендов в последующие годы. Целевая функция программы теперь x17 → max при тех же ограничениях на остальные переменные.

Естественно, что изменение цели инвестиционно-финансовой программы

сопровождается некоторым изменением ее оптимальной структуры. Теперь оптимум достигается при следующих значениях переменных: x1 = x3 = 2; x4 =

= x11 = 1; x5 = 0,51; x6 = 0,76; x2 = x7 = x8 = x9 = x10 = x12 = x16 = 0; x13 = 2,59; x14 = 1,84; x15 = 0,86; x17 = 6,295. Соответствующая им инвестиционно-финансовая

программа позволяет увеличить выплату дивидендов в каждом периоде в 1,26 раза при сохранении фирмой своих 70 ден. ед. в пятом году:

Метод линейного программирования не только позволяет найти оптимальный вариант использования ограниченных ресурсов, но и дает ценную экономическую информацию, представленную в виде вектора «двойственных»1 оценок (вектора y). Двойственную оценку получает каждое уравнение или неравенство, определяющее пределы измене-

1Название «двойственные» эти оценки получили потому, что они определяются

входе решения двойственной (обратной к основной) задачи. Так, двойственной к задаче в примере 2.6 является задача определения минимальный суммы собственных денежных средств фирмы, необходимой для того, чтобы в заданных условиях чистые поступления в пятом году равнялись 89,2 ден. ед. Создатель линейного программирования Л. В. Канторович, отмеченный за свой труд Нобелевской премией по экономике, называл эти показатели «объективно обусловленные оценки», отражая

вназвании их содержание.

ния переменных целевой функции (вектора х). В многопериодных инвестиционно-финансовых моделях такими уравнениями являются условия обеспечения платежеспособности фирмы в каждом периоде. Поэтому одновременно с оптимальной инвестиционно-финансовой программой мы получаем Т двойственных оценок. Они показывают, на сколько возрастет значение целевой функции, если бюджетное ограничение «смягчится» на единицу, т.е. если в периоде t фирма имела бы на 1 ден. ед. больше. Следовательно, двойственные оценки представляют предельную ценность денег каждого периода в единой мере — в виде приращения показателя целевой функции. Это позволяет складывать разновременные платежи в пределах оптимальной программы. По каждому инвестиционному проекту взвешенная по двойственным оценкам сумма разновременных выплат и поступлений представляет вклад этого проекта в величину целевой функции, т.е. его чистую предельную отдачу:

У всех инвестиционных проектов и вариантов их финансирования, вошедших в оптимальную программу в полном объеме, ∆Wi > 0, у вошедших в неполном объеме ∆Wi = 0, а у не попавших в программу проектов ∆Wi < 01. В связи с этим, если известны двойственные оценки, оптимальную инвестиционно-финансовую программу можно формировать по правилу: включай в программу все проекты с неотрицательными чистыми предельными отдачами.

Таким образом, при синхронном планировании инвестиций и источников их финансирования в условиях несовершенного рынка денег чистая предельная отдача проекта выполняет ту же роль, что и NPV в формировании инвестиционной программы при существовании совершенного рынка денег. Более того, чистую предельную отдачу проекта можно представить в виде его NPV, рассчитанной по внутренне присущим оптимальной инвестиционно-финансовой программе ставкам процента. Чтобы выявить эти ставки, сравним формулы расчета обоих показателей:

1 «В соответствии с этими оценками все производственные способы (рассчитанные на ряд периодов), используемые в оптимальном плане, «оправданны» (рентабельны), а неиспользуемые — не оправданны». Канторович Л. В. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов. М., 1960. С. 191.

76 Глава 2. Инвестиционные решения при отсутствии неопределенности

Отношение yt /y0 показывает, во сколько раз ценность денег t-го периода больше (меньше) их ценности в нулевом периоде, т.е. выполняет роль коэффициента дисконтирования.

Эндогенные калькуляционные ставки процента оптимальной программы определяются из равенства:

(2.5)

Как и в однопериодной модели Дина, в многопериодной модели линейного программирования калькуляционные ставки процента становятся известными только после нахождения оптимальной инвести- ционно-финансовой программы. Но это не исключает возможность их практического применения.

Во-первых, они устойчивы к малым изменениям экзогенных параметров. В связи с этим в случае появления небольшого нового проекта не обязательно пересчитывать всю программу для принятия решения о возможности его реализации; достаточно подсчитать чистую предельную отдачу проекта и при неотрицательном результате включить его в программу.

Во-вторых, можно доказать1, что при возможности осуществлять неограниченные по объему сделки на несовершенном рынке денег калькуляционные ставки, присущие оптимальной инвестиционно-финан- совой программе, располагаются в интервале между ставкой по ссудам (ih ) и ставкой по займам (is ), т.е. ih < it < is. Отсюда следует, что из всего множества существующих инвестиционных проектов сразу нужно отклонить те, у которых NPV, рассчитанная по ставке ih , меньше нуля, так как соответствующие оптимальной программе ставки больше ih , а по мере роста ставок процента NPV инвестиционных проектов уменьшается. С другой стороны, в оптимальную инвестиционную программу без раздумий следует включать те инвестиционные проекты, у которых NPV, рассчитанная по ставке is , не отрицательна, так как соответствующие

1 См. Математическое приложение к данной главе.

оптимальной программе ставки меньше is , а по мере снижения ставок процента NPV инвестиционных проектов возрастает. (Напомним, что это правило вытекает и из модели Хиршлейфера, рассмотренной в параграфе 1.2.) Аналогичную сортировку необходимо провести в множестве проектов финансирования инвестиционной программы. Учитывая, что NPV проекта финансирования уменьшается по мере снижения ставки процента и увеличивается по мере ее роста, в оптимальную программу не должны попасть те проекты, у которых NPV, рассчитанная по ставке is, отрицательна, но в оптимальную программу следует включать проекты финансирования, у которых NPV, рассчитанная по ставке ih , не отрицательна. Схематически описанный процесс подготовки многопериодной инвестиционно-финансовой программы изображен на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Сортировка проектов по NPV при несовершенном рынке денег

Пример 2.6 (продолжение). Оптимальная инвестиционно-финансовая программа, обеспечивающая максимально возможную выплату дивидендов в каждом периоде с заданным темпом роста при сохранении находящихся в распоряжении фирмы средств в нулевом периоде, имеет следующие двойственные оценки: y0 = 0,1767; y1 = 0,1683; y2 = 0,1558; y3 = 0,1443; y4 = 0,1336; y5 = 0,1272. Соответствующие им чистые предельные отдачи имеющихся проектов представлены в табл. 2.18.

78 Глава 2. Инвестиционные решения при отсутствии неопределенности

2.3. Ценность фирмы и стоимость ее капитала как критерии... программ 79

Проекты, не вошедшие в оптимальную программу, имеют отрицательную NPV, вошедшие не в полном объеме — нулевую, а включенные в оптимальную программу в полном объеме — положительную.

Чтобы проиллюстрировать, как двойственные оценки определяют предельную отдачу отдельного проекта, рассчитаем ее, например, для инвестиционного проекта I4. Вложение в него дополнительно 1 ден. ед. в первом году обеспечивает в последующие годы такие поступления: 0,5; 0,4; 0,3; 0,2. Поэтому его предельная отдача составит:

∆W = 0,1683 + 0,5 · 0,1558 + 0,4 · 0,1443 + 0,3 · 0,1336 + 0,2 · 0,1272 = 0,033.

Если в портфеле имеющихся инвестиционных проектов заменить проект I4 на проект, требующий в первом году 51 ден. ед. вложений и обеспечивающий отдачи со второго по пятый год соответственно 25,5; 20,4; 15,3; 10,2, то в результате решения задачи линейного программирования с замененным проектом оптимальное значение показателя целевой функции (х17) возрастает до 6,328, т.е. на 0,033.

Проверим теперь, соблюдается ли в нашем примере соотношение ih < it < < is . Расчет по формуле (2.5) дает следующие значения калькуляционных ставок оптимальной программы: i1 = 0,05; i2 = 0,0649; i3 = 0,0699; i4 = 0,0724; i5 = 0,0681. Все они не выходят за пределы интервала {ih = 0,05; is = 0,08}.

2.3. Ценность фирмы и стоимость ее капитала как критерии оптимизации инвестиционных программ

Для фирмы, акции которой обращаются на рынке ценных бумаг, калькуляционная ставка процента задается рынком. Индивид покупает и держит у себя акцию (предоставляет фирме капитал) до тех пор, пока ожидаемые в будущем дивиденды с учетом их временной структуры окупают, по его мнению, вложения в акцию, т.е. акционер ставит условие

где Z0 — курс акции на момент покупки; Dt — дивиденды в периоде t; Т — срок функционирования фирмы; r — желаемая (требуемая) индивидом доходность акции за период, принятая неизменной во времени в целях упрощения.

При равновесии на рынке капитала каждый вид акций имеет одинаковую для всех покупателей цену (курс). Если при этом акционеры имеют одинаковую информацию о будущих дивидендах, то у всех ока-