Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Интегральное исчисление

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.03.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Замечание. В теореме 2 не требовалась непрерывность функции. Монотонная функция может быть и разрывной, при этом она все же является интегрируемой по теореме 2.

Теорема 3. Если f(x) – непрерывная функция и

x
(x) f (t)dt, mo
(x) f (t)dt, mo	(x) f (x).
a

(Производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела).

Доказательство.

Пусть х – приращение аргумента х. Тогда по свойству 6 определенного интеграла

	x x				x		x x
	(x x)	f (t)dt f (t)dt f (t)dt,
	a				a		x
						x x
	(x x) (x) f (t)dt.
						x
По теореме о среднем (свойство 5)
f ( )(x x x) f ( ) x, где							x x x.
Поэтому
			f ( ) x			f ( ).
	x					f ( ).
	x			x
Следовательно,
					lim f ( ).
	(x) lim			x	lim f ( ).
		x 0		x		x 0
Но при x 0	x, и вследствие непрерывности функции f(x)
	lim f ( ) lim f ( ) f (x).
	x 0		x

Таким образом,

(x) f (x).

Теорема доказана.

Замечание. Из теоремы 3 следует, что всякая непрерывная функция имеет первообразную, так как по теореме 1 она интегрируема, а по теореме 3 ее первообразной является

(x) f (t)dt.

Теорема 4. Если F(x) является первообразной непрерывной функции f(x), то справедлива формула

f (x)dx F(b) F(a),

называемая формулой Ньютона – Лейбница.

Доказательство.

x	x
По теореме 3 f (t)dt	первообразная функции f(x), поэтому F(x) и f (t)dt
a	a

отличаются на постоянное слагаемое С. Следовательно,

f (t)dt F(x) C.

Пусть х=а, тогда отсюда получим

f (t)dt F(a) C,

то есть F(a) + C = 0, откуда C = - F(a). Тогда

f (t)dt F(x) F(a).

Принимая в этом равенстве x=b, получим формулу Ньютона – Лейбница:

f (x)dx F(b) F(a).

Замечание. Обычно вводится обозначение

F(b) F(a) F(x) ,

и формула Ньютона-Лейбница записывается так:

f (x)dx F(x)

F(b) F(a).

Примеры.

x 1

dx x ln|x|

(e ln e) (1 ln 1) e 1 1 0 e 2.

1
2		1
2							1
2.			dx arcsin x			2

	1	x2
0	1	x2				0
arcsin	1	arcsin 0			0			.
	2			6				6

Примеры решения задач

Задача 1.

Вычислить интеграл

16 1 3xdx.

9 x

Указание

Найдите первообразную подынтегральной функции, а затем воспользуйтесь формулой Ньютона-Лейбница.

Решение

16	1		3		16		1	1		1	3		16
	1		3	xdx		x	2	3x2	dx 2x2		2x2
			x	xdx		x		3x2	dx 2x2		2x2
9			x		9								9
	1	2		3			1		3	8 128 6		54 76.
2 162		2		162		2 92		2 92		8 128 6		54 76.

Ответ: 76.

Задача 2.

Вычислить интеграл

3 cos 2x

sin2 x dx.

Указание

Найдите первообразную подынтегральной функции, а затем воспользуйтесь формулой Ньютона-Лейбница.

Решение

	2						2											2
	3		cos 2x			3		1 2 sin2						x				3				2
						dx										dx			1						dx
			sin	2	x	dx			sin			2	x			dx			1		sin		2		dx
			sin		x				sin				x								sin			x
	3					3												3
							2
							2
							3		2
		x 2ctgx							2		2				3			2		3			4			3.
									3							3						3
							3
Ответ:
Ответ:	4	3.
3
Задача 3.
Вычислить интеграл
									5		3x 7
											3x 7
																	dx.
										x2		5x 6					dx.
									1
										Указание

Найдите первообразную подынтегральной функции, разложив ее в сумму простейших дробей, а затем воспользуйтесь формулой Ньютона-Лейбница.

Решение

5	3x 7			5			1			2
			dx									dx
x2	5x 6		dx									dx
x2	5x 6				x 2					x 3
1				1
														5
ln\|x 2\| 2 ln\|x 3\|						5								5
ln\|x 2\| 2 ln\|x 3\|							ln		(x 2)(x 3)2
						1								1
ln(7 64)		ln(3 16) ln						7 64			ln		28 .
								3 16					3

Ответ: ln 283 .

Задача 4.

Вычислить интеграл

sin 4x sin 5xdx.

Указание

Найдите первообразную подынтегральной функции, преобразовав произведение тригонометрических функций в сумму, а затем воспользуйтесь формулой Ньютона-Лейбница.

Решение


2					1		2
sin 4x sin 5xdx					1		cos x cos 9x dx
0					2		0
0							0
1 sin x	1						1 sin				1		9

		sin 9x		2								sin		0
	18	sin 9x		2							18	sin	2	0
2	18			0			2	2			18		2
				0
			1				1		4	.
			2			18				.
			2			18		9

Ответ: 94 .

Задача 5.

Вычислить интеграл

9	x 1
				dx.
			1
		x	1
4

Указание

Найдите первообразную подынтегральной функции, представив числитель дроби как разность квадратов, а затем воспользуйтесь формулой НьютонаЛейбница.

Решение

9						9
9			x 1			9	(		x 1)(				x	1)
			x 1		dx		(		x 1)(				x	1)	dx

				x 1								x 1
4				x 1		4						x 1
4						4
9					3						3						3
9					3			9			3						3
(		1)dx 2 x2				x					2 92		9			2	42	4
(	x	1)dx 2 x2				x					2 92		9			2	42	4
4			3					4			3					3
				2	27 9					2 8 4				23 .
			3							3				3

Ответ: 233 .

1.2.3.Замена переменной и интегрирование по частям

вопределенном интеграле.

Геометрические приложения определенного интеграла.

Теорема 1. Если:

1)функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b],

2)функция (t) непрерывна и имеет непрерывную производную ’(t) на отрезке [ , ], где a = ( ), b = ( ),

3)функция f ( (t)) определена и непрерывна на отрезке [ , ],

то


b

f (x)dx f ( (t)) (t)dt. (1)

a

Доказательство.

Если F(x) – первообразная для f(x), то

f (x)dx F(x) C,

f ( (t)) (t)dt F( (t)) C.

Тогда, используя формулу Ньютона – Лейбница, получим:

b			b
f (x)dx F(x)			F(b) F(a),
a			a


	F( (t)	F( ( )) F( ( )) F(b) F(a),
f ( (t)) (t)dt	F( (t)	F( ( )) F( ( )) F(b) F(a),

откуда следует справедливость формулы (1).

Замечание. В отличие от неопределенного интеграла, в определенном интеграле нет необходимости возвращаться к прежней переменной интегрирования, так как результатом вычисления будет число, не зависящее от выбора переменной.

Пример.

Вычислить интеграл


8				x 3
							dx.

					x 1
3
Сделаем замену:
		t
		t				x 1,
откуда
	x t		2	1,
	x t			1,			x 2t.
При этом
		2,							3.
	3 1	2,						8 1	3.

Тогда

		8	x 3						3	(t	2	4)2t
			x 3		dx					(t		4)2t			dt
					dx										dt
		3		x 1					2			t
		3							2
3						2							3			32	14
3
2 (t	2						t	3						6				.
2 (t		4)dt					t		8t					6				.
2						3							2			3	3
2

Теорема 2. Если функции u(x) и v(x) непрерывны вместе со своими производными на отрезке [a,b], то


b	b	b

udv uv vdu. (2)

a	a	a

(Формула (2) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла).

Доказательство.

b	b	b	b

(uv) dx (uv		u v)dx udv vdu..
a	a	a	a

Все интегралы в этом равенстве существуют, так как подынтегральные функции непрерывны. При этом

b				b
				,
(uv) dx uv				,
a				a
поэтому
	b	b	b
	b	b	b
uv		udv	vdu ,
	a	a	a
откуда следует (2).
Примеры.
1) Вычислить интеграл
		2
		xexdx.
		1

Пусть u = x, dv = exdx. Тогда du = dx, v = ex. Применим формулу (2):

2	2	2	2
xdex xex		exdx 2e2 e ex	2e2 e e2 e e2 .
1	1	1	1

1														1
2											1			2
2) arcsin xdx x arcsin x												2	xd arcsin x
0											0			0
				1									1
				1									1
				2		xdx				1			2	2xdx
						xdx								2xdx

	12			0		1 x2		12		2			0	1 x2	.
							1
						1	2			1
						1	(1 x2 )			2 d(1 x2 )
			12			2	(1 x2 )			2 d(1 x2 )
			12			2	0
							0
									1
					1				1	3 2
					1	2 1 x2			2
						2 1 x2			2
		12			2				0					2

(При интегрировании принималось u = x, v = arcsinx).

3) Вычислить

ex sin xdx.

Пусть u = ex, dv = sinxdx. Тогда du = exdx, v = -cosx. Следовательно,


ex sin xdx ex cos x		cos x exdx
0	0	0

e 1 cos x exdx.

Применим к интегралу в правой части полученного равенства еще раз формулу интегрирования по частям, положив u = ex, dv = cosxdx:


ex sin xdx e 1 ex sin x		sin x exdx
0	0	0

e 1 0 0 ex sin xdx e		1 ex sin xdx.
0		0

Поскольку при этом в правой части равенства стоит такой же интеграл, как в левой, его значение можно найти из уравнения:


2 ex sin xdx e 1,
0
то есть
	1
ex sin xdx	1	(e 1).
0	2
0

Геометрические приложения определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур

Вспомним, каким образом вводилось понятие определенного интеграла. С геометрической точки зрения интегральная сумма представляет собой (при f(x) > 0) сумму площадей прямоугольников с основанием xi и высотой f( i).

	b
Переходя к пределу при \| \|→0, получаем, что	f (x)dx при f(x) > 0
	a

представляет собой площадь так называемой криволинейной трапеции aА1В1b, то есть фигуры, ограниченной частью графика функции f(x) от х = а до x = b и отрезками прямых х = а, x = b и у = 0 (рис. 1):

y = f(x)		B1
A1		B1
A1
S

a	b	x
		x

Рис. 1


b
S f (x)dx.	(3)

Если требуется найти площадь фигуры, ограниченной графиками двух функций: f1(x) и f2(x) (рис. 2), то ее можно рассматривать как разность площадей двух криволинейных трапеций: верхней границей первой из них служит график функции f2(x), а второй – f1(x).

y	y = f2(x)
A1	S		B1
			B1

	y = f1(x)

a		b	x
			x

			Рис. 2
Таким образом,
	b	b	b
	S f2 (x)dx f1(x)dx ( f2(x) f1(x))dx. (4)
	a	a	a

Замечание 1.	Формула (4) справедлива, если графики функций f1(x) и f2(x) не
пересекаются при a < x < b.
Замечание 2.	Функции	f1(x) и	f2(x) могут при этом принимать на интервале
[a,b] значения любого знака.

Пример.

Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x² - 3x – 5 и y = x – 5.

Найдем абсциссы точек пересечения указанных графиков, то есть корни

уравнения x² - 3x – 5 = x – 5. x² - 4x = 0, x1 = a = 0, x2 = b = 4. Таким образом, найдены пределы интегрирования. Так как на интервале [0,4] прямая y = x –

5 проходит выше параболы у = x² - 3x – 5, формула (4) примет вид:

4					4
S (x 5 (x2 3x 5))dx					(4x x2 )dx
0					0
	x3			64		32 .
		4
2x2			32
2x2			32
3		0		3		3

Площадь в полярных координатах

Введем на плоскости криволинейную систему координат, называемую полярной. Она состоит из точки О (полюса) и выходящего из него луча (полярной оси).

		М

	О
	О
		Рис.3

Координатами точки М в этой системе (рис. 3) будут длина отрезка МО – полярный радиус и угол между МО и полярной осью: М( , ). Отметим, что для всех точек плоскости, кроме полюса, > 0, а полярный угол будем считать положительным при измерении его в направлении против часовой стрелки и отрицательным – при измерении в противоположном направлении. Замечание. Если ограничить значения интервалом [0, ] или [- , ], то каждой точке плоскости соответствует единственная пара координат ( , ). В

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.11.20195 Мб2инсектициды и акорициды.doc
#
11.02.201544 Кб21Институциональная экономика.docx
#
20.08.2019248 Кб2инструкции.rtf
#
01.07.2025329 Кб2инструкция к фестивалям.docx
#
20.09.2019158 Кб5Инструкция по практике.doc
#
25.03.20162 Мб10Интегральное исчисление.pdf
#
01.05.2025321 Кб1Интегрирование функций.docx
#
11.02.201555 Кб12Интернет.docx
#
11.02.2015117 Кб39Инфекция мочевыводящих путей.doc
#
11.02.201582 Кб56Инфекция.doc
#
11.02.201559 Кб21Инфекция1.doc