а) D(y) = (– ∞;–a] [a; +∞) , y(±a) = 0 ;

б) линия

y = b

x2 −a2

имеет асимптоты

y = ±b x

a

a

Напомним:

Прямая ℓ называется асимптотой кривой,

если расстояние от

Наклонные

асимптоты

кривой

y=f(x)

имеют уравнение

y=k1,2x+b1,2 , где

k1,2 =

lim

f (x)

,

b1,2

= lim

[f (x) − k1,2 x].

x

x →±∞

x →±∞

в) y′ =

b

x

a

x2 −a2

функция возрастает при x (a; +∞)

(y ′ > 0) ,

убывает при x (– ∞; –a)

(y ′ < 0) ,

экстремумов нет

(критические точки x = 0 D(y)

и x = ± a – граничные);

г) y

′′

−ab

=

(x2 −a2 )3 < 0

b

B2

a

x

F

A1

A2

F

1

2

−b B1

Точки A1 , A2

называются вершинами гиперболы.

Отрезок A1A2

и его длина 2a называются действительной (фо-

кальной) осью, отрезок B1B2

и его длина 2b – мнимой осью.

Величины a

и

b

называются действительной и мнимой

полуосью соответственно.

фокусным

Длина отрезка

F F

(равная 2c) называется

расстоянием.

1

2

Если M – точка гиперболы, то отрезки MF1, MF2

и их длины r1, r2

называются фокальными радиусами точки M

эксцентриситетом гиперболы, т.е.

2c

c

ε

=

=

2a

a

Так как c =

a2 +b2 > a , то ε > 1 .

Величина ε

характеризует форму гиперболы.

2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1

и F2

были на одинаковом расстоянии от O(0;0), но лежали на Oy,

то уравнение гиперболы будет иметь вид

y

x2

y2

− b2 + a2 =1

F2

Для этой гиперболы:

a A2

• действительная ось – ось Oy,

• мнимая ось – ось Ox,

a2 +b2

x

•

F1(0;–c) и F2 (0;c) (где c =

)

−b

b

•

асимптоты: y = ±a x

A1

•

b

M(x;y) находят-

фокальные радиусы точки

F1

ся по формулам

а) при y > 0:

r1=|MF1| = a+εy, r2=|MF2| = – a+εy;

б) при y < 0:

r1=|MF1|= –(a+εy),

r2=|MF2|= –(– a+εy).