Надежность авиатехники_Конспект лекций

Примерный вид функции плотности вероятности показан на рис 1.2. Вероятность P x1 X x2 численно равна заштрихованной площади

на рис 1.2.

Функция распределения случайной величины и ее плотность вероятности являются различными формами выражения закона распределения случайной величины.

Рисунок 1.2

Числовые характеристики случайных величин

Полной характеристикой случайных величин является закон распределения, заданный функцией распределения. На практике, однако, исчерпывающая характеристика не всегда может быть получена из-за ограниченности экспериментальных результатов. В этих случаях вместо законов распределения используют приближенное описание случайной величины, полученное с помощью минимального числа не случайных характеристик, отражающих наиболее существенные особенности распределений.

Такими неслучайными характеристиками для одной случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия.

Простейшей числовой характеристикой дискретной случайной величины X в данной серии опытов является ее среднее арифметическое значение

Для характеристики разброса значений дискретной случайной величины в данной серии опытов можно взять среднее значение какой-нибудь положитель-

11

ной меры отклонения случайной величины от ее среднего значения, например, квадрат разности между значениями случайной величины и ее средним значением

Чем меньше σ x , тем теснее группируются значения случайной величины

около ее среднего арифметического значения.

Если результаты экспериментов характеризуются не одной случайной величиной, а несколькими, то кроме рассмотренных характеристик необходимо ввести величину, характеризующую степень зависимости между этими случайными величинами. В качестве такой характеристики, например, для двух слу-

Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания, т.е.

где X X mx – центрированная случайная величина.

12

Среднее квадратическое отклонение (или стандарт)

Следовательно, если корреляционный момент двух случайных величин отличен от нуля, то это указывает на наличие зависимости между ними.

Случайные величины, для которых корреляционный момент равен нулю, называются некоррелированными. Корреляционный момент характеризует не только зависимость величин, но и их рассеивание. Если, например, одна из величин X или Y мало отклоняются от своего математического ожидания, то корреляционный момент будет мал, какой бы зависимостью эти величины не обладали между собой, поэтому для устранения этого недостатка вводите безразмерные характеристики – коэффициент корреляции

13

Для системы и случайных величин дисперсии и корреляционные моменты можно, как и для систем двух случайных величин, представить в виде корреляционной матрицы

Пользуясь механической интерпретацией, математическое ожидание

можно представить как абсциссу центра тяжести фигуры, ограниченной кривой плотности вероятности и осью абсцисс, а дисперсию – как момент инерции плоской фигуры, ограниченной кривой плотности f x и осью абсцисс, отно-

сительно оси, проходящей через центр тяжести M x .

Лекция 2

Законы распределения плотности вероятности

Для ряда случайных величин заведомо известны законы, которым они подчиняются, точнее общий вид распределения. В этом случаи точное описание распределения случайной величины не требует сложных многочисленных опытов и построения всей функции распределения. Необходимо только определить параметры закона – постоянные коэффициенты, входящие в его выражение – и задача по отысканию распределения будет выполнена.

Рассмотрим ряд законов распределения.

1. Равномерное распределение.

Распределение справедливо в тех случаях, когда случайное событие лежит в определенном временном интервале, причем появление его в любой момент времени равновероятно.

Например, известно, что поезда метро следуют регулярно с интервалом T , мин. Необходимо определить закон распределения времени ожидания tож x , если пассажир выходит на перрон в произвольный момент времени. В

данном случаи, очевидно, что благоприятное событие (отправление поезда) распределено равномерно на временном интервале T и плотность распределения постоянна f x const на всем участке действия закона от α до β (рис. 2.1)

Поскольку событие заведомо произойдет на интервале времени T , то вероятность его равно единице. Отсюда легко подсчитать плотность распределения

14

c

Рисунок 2.1.

Рисунок 2.2.

Математическое ожидание случайной величины, имеющей равномерное распределение, легко рассчитывается как абсцисса центра тяжести фигуры, приведенной на рис 2.1:

Заметим, что дисперсия растет пропорционально квадрату интервала, на котором возможно появление случайной величины.

2. Распределение Гаусса (нормальное распределение)

Нормальное распределение широко применяют в теории вероятности для описания событий, зависящих от многих факторов, каждый из которых слабо

15

влияет на распределение случайного события. По нормальному закону распределяются параметры серийной продукции, точки падания снаряда, отказы оборудования в результатах износа и др.

Плотность распределения нормального закона записывается в виде

Распределение Гаусса зависит, как видим, от двух параметров: mx и σ . Кривая плотности вероятности f x (рис 2.3) симметрична относительно математического ожидания и максимальное значение ее, как видно из формулы (2.2)

плотности распределения.

Вероятность попадания случайной величины, распределенной по нор-

16

1 2

1 2

Рисунок 2.3.

На рис.2.3 приведено распределение вероятностей попадания случайной величины на различные участки нормального закона в процентах. Нетрудно подсчитать, что на участок от mx 3σ до mx 3σ приходится практически

100% попаданий (точнее 99,73%). Таким образом, вероятность появления случайной величины за пределами указанной зоны очень мала, менее 0,3%.

3. Показательное распределение случайных величин

Это распределение до сих пор является одним из наиболее распространенных в технике благодаря своей простоте и приблизительному соответствию распределению отказов многоэлементных систем.

Накопление сведений о поведении различных технических объектов приводит к другим законам, более точно отражающим реальное распределение, но одновременно во много раз усложняющим вычисления.

Функция распределения показательного закона (рис 2.4) записывается в

виде

F x 1 e λx ,

Рисунок 2.4.

17

представляющую собой монотонно-убывающую функцию. Для отыскания математического ожидания проинтегрируем по частям выражение

Аналогично определяется дисперсия показательного распределения:

пользуется в качестве грубой оценки возможности его применения для экспериментально полученного распределения.

4. Закон распределения Релея

Во многих прикладных задачах случайные величины могут принимать только положительные значения. Случайные величины, принимающие только положительные значения, часто подчиняются функции распределения Релея

связаны соотношением (2.6).

18

5.Распределение Вейбулла

Впоследнее время при изучении надежности встречается распределение Вейбулла, которое впервые Вейбулл принял для описания экспериментально наблюдавших разбросов усталостной прочности стали, размеров частиц копоти и др.

Рисунок 2.5.

Функция распределения Вейбулла записываемая в виде:

6. Распределение Пуассона

Данное распределение является дискретным. Им часто пользуются для

Распределение Пуассона обладает тем свойством, что и математическое ожидание и дисперсия его равны одной и той же величине а .

19

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

Всоответствии с технической терминологией по надежности детали, узлы, агрегаты, являющиеся составными частями машин, и даже сами машины и всевозможные технические системы называются изделиями.

Сравнение одинаковых изделий между собой или различных изделий, выполняющих одни и те же функции, производится путем сравнения их качества.

Под качеством изделия обычно понимается совокупность свойств, определяющих степень его пригодности для использования по назначению. Так для самолета показателями качества являются: скорость, грузоподъемность, потолок, расход горючего и т.д.

При эксплуатации изделия эти первоначальные показатели качества (характеристики) изделия будут изменяться, например, вследствие износа деталей, или выхода из строя отдельных элементов.

Вбольшинстве случаев необходимо, чтобы изделие сохраняло свои первоначальные показатели качества в течение определенного времени работы. Если характеристики изделия изменятся по сравнению с первоначальными на величину, большую некоторой доступной величины, то изделие окажется не в состоянии выполнять те функции, для которых оно предназначено.

Свойство изделия выполнять заданные функции, сохраняя свои эксплуатационные показатели в заданных пределах в течение требуемого промежутка времени или требуемой наработки и принято называть его надежностью.

Если изделие не обладает необходимой надежностью, то все его высокие первоначальные технические данные теряют свое практическое значение, так как они не могут быть полностью использованы в работе.

Надежность, таким образом, является неотъемлемой составной частью качества изделия.

Одна из главных проблем при обеспечении надежности заключаются в разрыве между темпами роста надежности комплектующих элементов и сложностью системы.

Помимо сложности систем отметим еще ряд причин, которые существенно влияют на снижение надежности:

1.Рост удельных нагрузок, воздействующих на элементы системы, что обусловлено стремлением снизить вес и габариты изделий и применением более интенсивных режимов работы;

2.Рост требований к техническим системам по условиям их работы (повышение диапазона изменения внешних температур, влажности, вибрации, ударов

ит.д.);

3.Ускоренная разработка все новых элементов с использование все новых физических принципов и быстрое моральное старение изделий, что не дает возможности тщательного изучения работы и накопления опыта по эксплуатации новых элементов и систем;

20