Логическая семантика (сборник статей)
.pdf9.Роутлей Р., Мейер Р. Семантика следования // Семантика модальных и интенсиональных логик / В.А.Смирнов (ред.). – М.:
Прогресс, 1981. – С. 363-423.
10.Смирнов В.А. Комбинированные исчисления предложений
исобытий и логика истины фон Вригта // Исследования по неклассическим логикам. – М., 1989. – С. 16-29.
11.Смирнов. В.А. Утверждение и предикация. комбинированные исчисления высказываний и событий // Синтаксические и семантические исследования неэкстенсиональных логик. – М., 1989. – С. 27-35.
12.Смирнов В.А. Логические методы анализа научного зна-
ния. – М.:УРСС, 2002.
13.СмирноваЕ.Д.Логикаифилософия.–М.:РОССПЭН,1996.
14.Смирнова Е.Д. Теория семантических категорий и вопро-
сы онтологии языка // Труды научн.-исслед. семинара логического центра Ин-та философии РАН. Вып. XVIII. – М.:ИФРАН, 2007. – С.123-133.
15.Фреге Г. Логика и логическая семантика: Сборник трудов.
–М., 2000.
16.van Heijenoort J. Logic as Language and Logic as Calculus //
Synthese 17, 1967. – P. 324-330.
17.Leśniewski S. O podstawach matematyki // Przegłąd Filozoficzny, t. XXX (1927), s.164-206; vol. XXXI (1928), s.261291; vol. XXXII (1929), s.60-101; t. XXXIII (1930), s.77-105; t. XXXIV (1931), s.142-170.
18.Perzanowski J. Ontologic // Logic and Logical Philosophy. No 2.
1994. P. 4.
19.Poli R. Ontologia Formale. Genova. Marietti. 1992.
20.Priest G. Paraconsistent Logic // Handbook of Philosophical Logic (Second Edition), Vol. 6 / D. Gabbay and F. Guenthner (eds.), KluwerAcademic Publishers, Dordrecht, 2002. Р. 287-393.
21.Priest G. Double Truth to be a Liar. Oxford: Clarendon Press,
2006.
22.Słupecki J. S.Leśniewski’s Calculus of Names // Leśniewski’s Systems. Ontology and Mereology, J.T.J. Srzednicki and V.F. Rickey (eds.), The Hague, 1984.
23.Stachniak Z. Introduction to model theory for Leśniewski’s
Ontology, Wrocław: Wydawnictwo Uniwersitetu Wrocławskiego, 1981.
81
З.А. Cокулер
ИнтерпретацияпрограммыГильберта вработахЕ.Д.Смирновой
E.D. Smirnova interprets Hilbert’s programme as the justification programme for the use of the strong set theoretical abstractions by the mean of the proof of their eliminability. E.D. Smirnova stresses the Kantian themes in Hilbert’s understanding of mathematics. She interprets the failure of the original Hilbertian programme as the impossibility of a nominalist justification for the use of the strong set theoretical abstractions. She treats this impossibility as pointing towards the needs of the philosophical justification for strong abstractions and idealisations. For us this reveals certain feature of the real mathematical knowledge and points towards an intimate relationship between konstructivist and set theoretical parts of mathematical analysis.
Постоянной темой в творчестве Елены Дмитриевны неизменно остаются логическая форма, онтологические допущения языка и значение семантики для развития логики.
Елена Дмитриевна всегда доказывала и убеждала, что именно семантика придает смысл логическим исчислениям: «построение формальных, логистических систем составляет важную самостоятельную задачу. Однако на роль собственно логических систем могут претендовать только формальные системы, имеющие соответствующую семантическую интерпретацию» [5, с. 269]. Формализованное логическое исчисление никогда не выступало для нее как самоцель, поскольку, как Елена Дмитриевна постоянно подчеркивает, логика зависит от универсума рассмотрения и онтологических предпосылок относительно объектов рассмотрения. Эти допущения и предпосылки фиксирует именно семантика. Выступая как модель исчисления, семантика дает модель той реальности, для которой верны законы данного логического исчисления. При этом «принятие той или иной системы семантических категорий коррелятивно принятию определенной системы анализа познаваемого мира и тем самым принятию определенных онтологических предпосылок» [5, с.214] .
82
Однакомеждусемантикойисинтаксисомсуществуетторазличие, что логический синтаксис строится на основе эффективных, конструктивных понятий и процедур, тогда как логическая семантика во многихслучаяхисходитизтеоретико-множественныхпринципов.
Таким образом, получается, что позиция Елены Дмитриевны относительно соотношения семантических и синтаксических исследований предполагает в определенном отношении первичность теоретико-множественного подхода по сравнению с эффективными, конструктивистскими процедурами. В таком случае, требование при построении логических исчислений думать об их интерпретации неявно подразумевает требование сочетать эффективность, построяемость – и теоретико-множественный платонизм, который в большинстве случаев требуется для задания интерпретации и построения определения истинности.
Теоретико-множественный платонизм включает в себя принятие актуальной бесконечности. Разумеется, не всякая семантика непременно является теоретико-множественной и платонистической. (Тут можно вспомнить интерпретацию интуиционистской логики как логики решения проблем.) Тем не менее, решусь сказать, что по большей части семантические модели, или «онтологии» сохраняют теоретико-множественный характер.
В связи с этим встают острые философские вопросы, на которые иуказываетЕлена Дмитриевна: «Первый шагв обосновании логических систем состоит в построении адекватных семантик. Однако построение адекватных семантик для достаточно богатых логических систем ведет к умножению абстрактных сущностей в семантическом анализе. Кроме того, в доказательстве семантических утверждений используются очень сильные – во всяком случае, нуждающиеся в обосновании – математические средства.... Не получается ли так, чтосемантическиобосновывая правильные способы рассуждения, мы одну проблему заменяем более сложной?... Это старая проблема – четко сформулированная еще А. Черчем – о необходимости абстрактных сущностей в семантике. Это философская проблема роли и обоснования используемых идеальных конструктов, «идеальных образов», но теперь перенесенная в область семантических рассмотрений. Обоснование логических систем, логических норм и законов неизменно сталкивается с этой проблемой. Проблемой «платоновских сущностей», вновь и вновь возникающих – в разных обликах – в нашей познавательной деятельности» [5, с. 282-283] .
83
Елена Дмитриевна в своей творческой деятельности неизменно выступает против боязни абстрактных сущностей, этой позитивистской (или эмпиристской) болезни. В связи с этим она обращается «Логико-философскому трактату» Л. Витгенштейна, к идеям И. Канта, обсуждает работу Р. Карнапа о концептуальных каркасах. У этих разных мыслителей она находит по-разному выраженную и обоснованную идею того, что у субъекта имеются не только эмпирические данные (объекты референции), но и «концептуальные каркасы», они же вспомогательные средства и идеальные объекты. Однако при этом и объекты референции, за которыми легко признать реальность, и абстрактные идеальные сущности, которые мы не склонны наделять реальным существованием, в равной степени оказываются элементами принятого концептуального каркаса. Р. Карнап говорит в связи с этим о том, что выбор концептуального каркаса является вопросом удобства, а не метафизических убеждений, что еще не решает многих проблем.Всамомделе,известно,какД.Гильбертзащищалудобства, предоставляемые математикам неограниченным использованием закона исключенного третьего (что эквивалентно принятию актуальной бесконечности).Однакоихиспользованиеупиралось
ввопрос о возможной противоречивости теории, которая позволяет такие вещи. А противоречивая теория все-таки «неудобна».
Итак, мы пришли к тому, что абстрактные идеальные сущности необходимы для семантики, а семантика – для формаль- но-логических построений. Тем самым получается, что сильные платонистические допущения вообще необходимы для логики, более того, некоторым образом должны лежать в основе любых,
втом числе и синтаксических разработок. Такое положение дел с особой остротой ставит проблему актуальной бесконечности. В этой связи становится понятным, до какой степени неслучайным является для Елены Дмитриевны обращение к гильбертовской концепции «идеальных элементов» и его программе обоснования математики.
Как известно, гильбертовская программа оказалась невыполнимой. Однако в глазах Елены Дмитриевны это вовсе не лишает ее интереса. Более того, Елена Дмитриевна находит такой аспект рассмотрения, в котором невыполнимость гильбертовской программы (как и теоремы об ограниченности формализмов) начинает выступать некоторым положительным фактом. На этом я и хочу остановиться подробнее.
84
Оригинальность ее трактовки заключается в том, что для нее программа Гильберта является программой доказательства непротиворечивости формальной арифметики только во вторую очередь. В первую же очередь, задача, которую ставил перед собой Гильберт, была иной. В связи с этим, Елена Дмитриевна пишет: «Бесспорно, непротиворечивость теории более чем желательный результат. Но почему доказательство непротиворечивости будет являться обоснованием математики?» [5, с. 229] (см. также [6]). Подобный вопрос в устах логика звучит по меньшей мере неожиданно. Чем еще может быть, должно быть обоснование любой теории, как не доказательством ее непротиворечивости? Тем не менее, Елена Дмитриевна ставит вопрос именно так, и здесь мне видится яркое проявление ее семантического подхода к любым вопросам логики. Может быть, не только подхода, но и способа мышления, при котором«семантическое»означаетне просто«интерпретированное», но «осмысленное». А «осмысленное», в свою очередь, означает – отрефлектированное и оправданное.
Соответственно, под обоснованием математики Елена Дмитриевна понимает не просто и не только доказательство непротиворечивости, а доказательство, которое одновременно явится осмыслениемиоправданиемтого,почемуикаквматематикемогут использоваться необходимые ей, но очень сильные идеализации, предполагающие использование актуальной бесконечности [6]. Подобную постановку вопроса Елена Дмитриевна и находит у Гильберта. В ее интерпретации, «основным содержанием подхода Гильберта является обоснование вводимых идеализаций, а не доказательство непротиворечивости самой по себе» [5, с. 230]. Особенностью подхода Гильберта, с точки зрения Елены Дмитриевны, оказывается обоснование использования сильных идеализаций, связанных с понятием актуальной бесконечности, посредством доказательства их устранимости, в связи с чем Елена Дмитриевна и показывает, что в программе Гильберта «доказательство непротиворечивости эквивалентно доказательству устранимости» [5, с. 230] того, что Гильберт называет идеальными объектами в противоположность реальным. «Как известно,
– объясняет Елена Дмитриевна, – все предложения математики Гильберт подразделяет на реальные и идеальные. Он не отказывается ни от чистых теорем существования, ни от высказываний о трансфинитных объектах. Но только реальные предложения математики имеют самостоятельное значение, сопоставимы с
85
действительностью; это содержательные сообщения о конструктивных объектах, которые могут быть построены в рамках абстракции потенциальной осуществимости и представлены в виде конечных, наглядных конфигураций» [5, с. 233].
В гильбертовском понимании реальных предложений и их объектовприсутствуеттакойинтересныймомент:дляГильберта, этоестьобъекты,непосредственноданныевчистом созерцании. Гильберт спорит с логицизмом и солидаризируется с Кантом: «Уже Кант учил – и это составляет существенную часть его учения, – что математика обладает не зависящим от всякой логики устойчивым содержанием, и потому она никогда не может быть обоснована только с помощью логики, вследствие чего, между прочим, стремления Дедекинда и Фреге должны были потерпеть крушение. Наоборот, кое-что уже дано в нашем представлении в качестве предварительного условия для применения логических выводов и для выполнения логических операций: определенные, внелогические, конкретные объекты, которые имеются в созерцании до всякого мышления в качестве непосредственных переживаний. Для того чтобы логические выводы были надежны, эти объекты должны быть обозримы полностью во всех своих частях; их показания, их отличие, их следование, расположение одного из них наряду с другим дается непосредственно наглядно, одновременно с самими объектами, как нечто такое, что не может быть сведено к чему-либо другому и не нуждается в таком сведении» [1, с. 350-351]. Итак, Гильберт придерживается позиции Канта: в основе математики лежат чистые априорные созерцания, которые позволяют делать априорные синтетические суждения. Развивая и уточняя позицию Канта, Гильберт подчеркивает, что эти объекты чистого созерцания являются, разумеется, конечными, что ни в коем случае не выступает их изъяном. Гильберт вообще говорит о том, что «бесконечное нигде не реализуется. Его нет в природе, и оно недопустимо как основа нашего разумного мышления – здесь мы имеем замечательную гармониюмеждубытиемимышлением»[1,с.364].Бесконечное
– это чистый продукт нашего мышления. Здесь Гильберт опять ссылается на Канта: «Роль, которая остается бесконечному, это только роль идеи, – если, согласно Канту, под идеей подразумевать понятие, образованное разумом, которое выходит за пределы всякого опыта и посредством которого конкретное дополняется в смысле цельности....»[1, с. 364].
86
РазмышляянадпозициейГильбертаиееинтерпретациейЕленойДмитриевнойСмирновой,обращаешьвниманиенатонетривиальное обстоятельство, что, насколько я знаю, Елена Дмитриевна не посвящала отдельных работ логицизму, который, как и программа Гильберта, столкнулся с принципиальными трудностями и тоже стал объектом многочисленных обсуждений. Судьба программы Гильберта, этого оппонента логицизма, для Елены Дмитриевны представляется более поучительной. Во всяком случае, более тесно связанной с проблемами, которые были для нее значимыми. Логика для Елены Дмитриевны стоит, конечно, на первом месте, и все-таки позиция Гильберта, который не согласен с логицистами, ей интереснее.
Математическое познание для Гильберта, как и для Канта, является синтетическим и опирается на чистые наглядные созерцания. Кантовское понимание математики, как известно, подвергалось критике, в том числе и со стороны логицистов, за игнорирование того, что современная математика вышла далеко за пределы непосредственно созерцаемого. Однако Елена Дмитриевна в своей интерпретации ставит акцент на то, какими именно являются те наглядные созерцания, которые Кант (и вслед за ним Гильберт) рассматривал как лежащие в основании математики: «в основе математики, – пишет она, реконструируя параллельно идеи Канта и Гильберта, – в основе ее действительных понятий лежат не образы предметов, а схемы, правила конструирования мыслимых, воображаемых объектов, соответствующих понятиям. Математическое знание (есть, тем самым – З.С.) знание … о возможном, конструируемом согласно определенным «схемам», правилам» [5, с. 257-258]. У Канта «априорность понимается в особом смысле – как общие условия, алгоритм конструирования объектов в соответствии с правилами и сообразно понятию»[5, с.258].Притакомподходе,натуральныечисла–это«несвойства (или классы) классов, а объекты наглядного созерцания, конс-
труируемыепоопределенному правилу (правилам),поопределен-
ной схеме» [5, с. 254]. При этом Елена Дмитриевна отмечает, что «гильбертовские объекты теории чисел – не просто материальные образования. Они являются знаковой репрезентацией определенных конструирующих операций и их результатов (например, пос-
ледовательного повторения однородного действия во времени)» [5, с. 254]. Елена Дмитриевна особо выделяет у Канта обычно остающуюся без внимания идею использования специальных сим-
87
волических конструкций для предъявления объектов созерцанию. Дальнейшее развитие именно этой идеи она находит в формализме Гильберта. Как она показывает, для Гильберта «именно в этом смысле числовые знаки выступают объектами рассмотрения в математике, они – лишь способ репрезентации в единичном, конкретном, эмпирическом созерцании процессов, связанных с конструированием понятий в математике»[5, с. 256].
В то же время, как было сказано выше, для Гильберта не все используемые в математике понятия могут быть представлены в наглядном созерцании. Гильберт утверждает, что бесконечное
– в смысле актуальной бесконечности – вводится для удобства, для того, чтобы можно было без ограничений использовать закон исключенного третьего. Это подобно тому, как введение идеального объекта – бесконечно удаленной точки – позволяет сделать общим, не имеющим исключений, утверждение о том, что любые две прямые всегда пересекаются в одной, и только одной, точке, хотя бы «бесконечно удаленная точка» не имела того же статуса, что и прочие точки плоскости. Идеальные элементы делают систему более простой, обозримой, удобной, и это является оправданием их введения. Подобным же образом, «мы должны бесконечное, в смысле бесконечной совокупности, в тех случаях, где оно встречается в выводах еще и теперь, понимать как нечто кажущееся, подобно тому, как в предельных процессах исчисления бесконечно малых оказалось возможным показать, что бесконечное, в смысле бесконечно малого и бесконечно большого, есть просто оборот речи»[1, с. 339].
Позиция Гильберта представляется Елене Дмитриевне более интересной и проработанной, чем позиция Фреге. Слабость подхода Фреге она видит в том, что тот трактует категорию «предмет» единообразно, без каких-либо нюансов и различий: «предметами выступают и мейнонговские объекты, вроде золотой горы, круглого квадрата, множества, множества всех множеств и т. д. Именно такая широкая трактовка предметной области у Г. Фреге приводит, как известно, к возникновению парадоксов. Для Канта и Гильберта, быть мыслимым объектом (мыслимой сущностью) еще не означает быть включенным в качестве предмета, выступать в качестве объекта научного знания» [5, с. 261].
Мы здесь опять возвращаемся к вопросу об абстракциях и идеализациях,которыйпостояннонаходитсявфокусеработЕлены Дмитриевны. В контексте обращения к программе Гильберта
88
вопрос об их онтологическом статусе и об их оправдании приобретает следующую более конкретную форму: чем оправдано использование терминов, которые не имеют непосредственной интерпретации и которые (вернее, то, что должно было бы ими обозначаться) мы не хотим включать в онтологию нашего языка? Процитированный выше ответ Гильберта: таким оправданием являются удобство и безопасность, - пока еще не достаточен, потому что не снимает беспокойства из-за возможности появления противоречий. В самом деле, как объясняет Елена Дмитриевна, «именно использование абстракций и идеализаций приводит нас
квысказываниям,которымничтонесоответствуетвдействительности не только в том смысле, что в действительности нет конкретных объектов или совокупностей с указанными свойствами, но и в том смысле, что такого рода объекты и не могут в принципе существовать, не могут быть построены, даже если отвлечься от материальных, пространственно-временных возможностей их построения» [5, с. 234]. И, поскольку неограниченное использование таких сильных абстракций, как актуально бесконечные множества, чревато противоречиями, то Гильберт формулирует главное требование, которому должно удовлетворять использование идеальных элементов. Это требование Елена Дмитриевна разъясняет так: «теория с идеальными элементами должна быть построена таким образом, чтобы всегда имелся «обратный путь»
креальным предложениям. Для Гильберта это означает, что допускаемые идеализации не привносят ничего нового в наше знание относительно подлинных объектов математики. Идеальные элементы можно вводить в теорию лишь в том случае, если те соотношения, которые выявляются в ней после расширения для прежних объектов, при исключении идеальных объектов верны в старой области» [5, с. 235]. Таким образом, для Гильберта встает вопрос об элиминируемости «идеальных объектов». Если удастся доказать эту элиминируемость, тогда, по Гильберту, математика получит обоснование, которое полностью восстановит ее статус абсолютно достоверного знания. Теперь мы понимаем,
вкаком смысле Елена Дмитриевна пишет, что не доказательство непротиворечивости является основным содержанием программы Гильберта.
Итак, главной задачей становится доказательство элиминируемости терминов, которые не обозначают никаких «реальных», т.е. данных в непосредственном созерцании, объектов. Здесь
89
мне хочется обратить внимание, что в постановке такого вопроса Гильберт оказывается близок по духу программе обоснования теоретических предложений естествознания в логическом позитивизме. Последний противопоставлял термины наблюдения и термины, относящиеся к ненаблюдаемым (теоретическим) объектам. Относительно последних, как и в случае гильбертовских идеальных элементов, выдвигалось требование их элиминации. (В связи с гильбертовским требованием связи идеальных и реальных предложений о программе логического позицитизма вспоминает и Н.Н. Непейвода, см. [4].) История эволюции логического позитивизма и была, во многом, историей неудавшихся попыток осуществления заявленной элиминации и последующих модификаций программы, вследствие которых в логическом позитивизме все усиливались конвенционалистские моменты. В конце концов, Р. Карнап стал говорить о том, что теоретические объекты потому и являются теоретическими, что их нельзя определить в терминах наблюдения. Но они принимаются, потому что используются в физических теориях и нужны для их развития. «Задать вопрос: существуют ли в действительности электроны, – пишет Карнап,
– то же самое, что спросить, является ли квантовая физика истинной. Ответ на вопрос заключается в том, что в тех границах, в которыхквантоваяфизикабылаподтвержденаопытом,обоснованно говоритьосуществованиипримеровнекоторогородасобытий,которые на языке теории называются «электронами”» [2, с. 337].
Гильбертовская программа элиминации была мягче, чем изначальная позитивистская программа редукции теоретических терминов через явные определения в терминах наблюдения. Гильберт никогда не требовал подобной явной определимости. В его программе требуется, чтобы «интерпретацию получали не отдельно взятые предложения, а вся теория в целом» [5, с. 232 ] – требование, к которому (применительно к теоретическим терминам естествознания) логический позитивизм пришел только на заключительных этапах своей эволюции, что, впрочем, не спасло его от окончательного кризиса. Согласно Гильберту, неразумно требовать, чтобы каждая отдельная формула была явно интерпретирована, т.е. сведена к утверждению о реальных объектах. Поэтому задача переносится на теорию в целом. Теперь «мы должны обосновать теорию, существенно использующую понятие актуальной бесконечности, если хотим сохранить всю классическую математику в полном объеме» [5, с.232 – 233 ].
90