П.Геворкян. Сборник задач по высшей математике

3.63.Найти угол между медианами, проведенными из острых углов равнобедренного прямоугольного треугольника.

3.64.Найти угол между медианами в равностороннем треугольнике.

·

3.65. Раскрыть скобки в выражении , используя свойства

−

скалярного произведения, если = 4 + 7 и = 3 + 2 , где

· = 4, · = 5 и · = 1.

3.66. Найти угол между векторами и , если = 3 + и

= +3 , где и — единичные векторы, угол между которыми равен 45 .

= 2 + 4 , где , и — векторы длины 2, попарные углы между которыми равны 60 .

3.68.Найти значение коэффициента , при котором векто-

−

ры = 2 и = 5 + ортогональны, если векторы и не коллинеарны.

3.69.Пусть = ( 1, 2, 4) и = (1, 1, 1). Найти:

а) · , б) | |, в) единичный вектор в направлении ,

г) вектор длины 3 в направлении, противоположном ,

3.70.Пусть = (3, 2, 1) и = (3, 4, 0). Найти:

(−1, −2), (−4, 3), (1, 6) и (4, 1) — квадрат.

1Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора

( , , ).

82Глава 3. Векторы на плоскости и в пространстве

3.72.Найти косинус угла между диагоналями и параллелограмма, если заданы три его вершины (0, 0), (−3, 4)

и(2, 4).

§3.5. Векторное и смешанное произведение

векторов

1 . Векторное произведение векторов . Говорят, что три

некомпланарных вектора , и образуют правую тройку (левую

тройку) или положительно ориентированы (отрицательно ориентированы), если с конца третьего вектора кратчайший поворот от

первого вектора ко второму вектору виден против часовой стрелки (по часовой стрелке) (рис. 3.10).

Рис. 3.10. ( ) правая тройка, ( ) левая тройка

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1) длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла между ними:

1 2 3

3.73.Найти векторные произведения:

3.76. Найти площадь параллелограмма, построенного на

−

векторах = (2, 3, 1) и = ( 1, 1, 4).

3.77.Найти площадь параллелограмма с вершинами

= (1, 2, 3), = (1, 3, 4), = (2, 2, 4).

3.78.Найти площадь треугольника , если = (1, 0),

= (5, 1), = (2, 3).

3.79.Найти , используя свойства векторного произве-

× −

дения, если = 3 + 7 , = 3 + 2 и = (1, 0, 2).

торы длины 2, угол между которыми равен 60 .

3.82. Найти значение коэффициента , при котором векто-

3.84. Найти угол между вектором и плоскостью, парал-

Для того, чтобы три вектора , и были компланарны, необхо-

димо и достаточно выполнение условия = 0.

Смешанное произведение трех некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «+», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком

«−», если они образуют левую тройку.

Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей:

вольные векторы, заданные своими прямоугольными координатами.

Г л а в а 4

Линейные пространства и линейные операторы

§ 4.1. Линейное пространство

1 . Понятие линейного пространства. Говорят, что на множестве задана операция сложения элементов, обозначаемая знаком

«+», и операция умножения элемента на число , если:

1) имеется правило, посредством которого любым двум элементам x и y множества ставится в соответствие некоторый элемент z

этого множества, называемый суммой элементов x и y и обозначаемый символом z = x + y,

2) имеется правило, посредством которого любому элементу x множества и любому числу ставится в соответствие некоторый элемент z этого множества, называемый произведением числа на элемент x и обозначаемый символом z = x.

Множество называется линейным или векторным простран-

ством, если на нем определены операции сложения элементов и умножения элемента на число, удовлетворяющие следующим восьми аксиомам:

1. x + y = y + x;

2. (x + y) + z = x + (y + z);

3. существует нулевой элемент 0, такой, что x + 0 = 0;

4. для каждого элемента x существует противоположный эле- мент x′, такой, что x + x′ = 0;

5. ( x) = ( )x;

6. ( + )x = x + x; 7. (x + y) = x + y; 8. 1 · x = x.

Элементы линейного пространства называются векторами.

Проверить, что следующие множества являются линейными пространствами.

4.1.Множество всех векторов плоскости или трехмерного пространства относительно операций сложения двух векторов и умножения вектора на число.

4.2.Множество R всех арифметических -компонентных

векторов x = ( 1, 2, . . . , ) относительно естественных операций сложения двух векторов и умножения вектора на число.

4.3. Множество [ , ] всех непрерывных на отрезке функций ( ) относительно естественных операций сложения функций и умножения их на число.

4.4. Множество всех матриц размера × относительно операций сложения матриц и умножения их на число.

2 . Линейная зависимость и линейная независимость. Базис линейного пространства. Векторы x1, x2, . . . , x называются

линейно зависимыми, если существуют такие числа 1, 2, . . . , , не все одновременно равные нулю, что

Т е о р е м а 4.1. Элементы x1, x2, . . . , x линейно зависимы то- гда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией остальных элементов.

Линейно независимая система элементов e1, e2, . . . , e простран- ства называется базисом этого пространства, если любой элемент x пространства является линейной комбинацией этих элементов, т. е.

элемента x относительно базиса e1, e2, . . . , e .

Равенство (4.2) называется разложением элемента x по базису e1, e2, . . . , e .

В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число элементов. Это число называется размерностью линейного

88 Глава 4. Линейные пространства и линейные операторы

пространства , а само пространство называется -мерным линейным или векторным пространством .

Отображение : → между двумя множествами и называется взаимно-однозначным, если каждому элементу сопоставляется один и только один элемент = ( ) , причем каждый элемент соответствует единственному элементу .

Линейные пространства и ′ называются изоморфными, если существует такое взаимно-однозначное отображение : → ′, кото- рое удовлетворяет следующим двум условиям:

1)(x + y) = (x) + (y),

2)( x) = (x),

для любых элементов x и y пространства и любого числа . В этом случае отображение : → ′ называется изоморфизмом линейных пространств и ′.

4.5.Пусть 1 = (3, 1) и 2 = (2, 5). а) Найти 2 1 − 4 2.

б) Найти такие числа и , что 1 + 2 = (2, −4).

4.6.Пусть 1 = (−2, 5) и 2 = (4, 6).

а) Найти 3 1 + 2 2.

б) Найти такие числа и , что 1 + 2 = (3, 2).

4.7.Пусть 1 = (1, 7) и 2 = (3, −5). а) Найти 6 1.

б) Найти такие числа и , что 1 + 2 = (6, 0).

4.8.Пусть 1 = (2, 6, 1), 2 = (1, 4, 4) и 3 = (1, 0, 5). а) Найти 1 − 16 2 + 9 3.

б) Найти такие числа , и , что 1 + 2 + 3 =

=(1, −16, 9).

4.9.Пусть 1 = (7, 0, 4), 2 = (−7, −4, 4) и 3 = (6, 5, 1). а) Найти −2 1 + 6 2 + 2 3.

б) Найти такие числа , и , что 1+ 2+ 3 = (−2, 6, 2).

4.10. Пусть 1 = (4, −2, 6), 2 = (−2, 1, −6) и 3 = (2, −2, 7). а) Найти 10 1 − 2 + 14 3.

б) Найти такие числа , и , что 1 + 2 + 3 =

=(10, −1, 14).

4.11.Пусть 1 = (3, 2, −1), 2 = (3, 2, 3) и 3 = (6, −7, 2). а) Найти 9 1 + 6 2 + 5 3.

б) Найти такие числа , и , что 1 + 2 + 3 = (9, 6, 5).

4.12.Доказать, что в линейном пространстве всех векторов плоскости любые два неколлинеарных вектора являются базисом этого пространства.

4.13.Доказать, что в линейном пространстве всех векторов пространства любые три некомпланарных вектора являются базисом этого пространства.

4.14.Доказать, что размерность линейного пространства R равна .

4.15.Доказать, что в линейном пространстве R век-

торы x1 = ( 11, 12, . . . , 1 ), x2 = ( 21, 22, . . . , 2 ), . . . ,

x = ( 1, 2, . . . , ) линейно независимы (следовательно, образуют базис) тогда и только тогда, когда

а) 1 = (2, 2), 2 = (5, 5). б) 1 = (2, 2), 2 = (5, 4). в) 1 = (0, 0), 2 = (5, 4).

г) 1 = (4, 3), 2 = (5, 2), 3 = (7, 11).

4.17. Образуют ли векторы из задачи 4.16 базис R2?

90Глава 4. Линейные пространства и линейные операторы

4.18.Являются ли данные векторы линейно независи-

мыми?

а) x1 = (2, 0, −4), x2 = (1, 1, 1).

б) x1 = (2, 0, −4), x2 = (1, 1, 1), x3 = (−1, 3, 11). в) x1 = (2, 0, −4), x2 = (1, 1, 1), x3 = (3, 6, −2).

г) 1 = (2, 0, −4), 2 = (1, 1, 1), 3 = (3, 6, −2), 4 = (−7, 8, 5).

4.19.Образуют ли векторы из задачи 4.18 базис R3?

4.20.Являются ли данные векторы линейно независи-

мыми?

а) 1 = (1, 2, 3), 2 = (4, 5, 6).

б) 1 = (1, 2, 3), 2 = (4, 5, 6), 3 = (7, 8, 9). в) 1 = (8, −4, 5), 2 = (3, 2, 6), 3 = (0, 7, 1).

г) 1 = (8, −4, 5), 2 = (3, 2, 6), 3 = (0, 7, 1), 4 = (−2, −8, 3).

4.21.Образуют ли векторы из задачи 4.20 базис R3?

4.22.Доказать, что векторы 1 и 2 образуют базис R2: а) 1 = (1, 1), 2 = (−1, 1).

б) 1 = (4, 3), 2 = (2, 2).

в) 1 = (2, −1), 2 = (−5, 0).

4.23.Доказать, что векторы 1, 2 и 3 образуют базис R3: а) 1 = (1, 0, 1), 2 = (1, 1, 0), 3 = (0, 1, 1).

б) 1 = (1, −1, 1), 2 = (1, 1, −1), 3 = (−1, 1, 1). в) 1 = (1, 2, 3), 2 = (2, 3, 1), 3 = (3, 1, 2).

4.24.Проверить выполнение свойств ( + ) = ( )+ ( )

и( ) = ( ) для следующих отображений : R2 → R2:

а) ( 1, 2) = (2 1, 2).

б) ( 1, 2) = ( 1 + 2, 1 − 2).

в) ( 1, 2) = ( 1, 1).