game_theory

Причем профиль стратегий,сыгранных в t = 2,может зависеть от действий,сыгранных в t = 1.Всего в базовой игре возможно9профилей действий;каждому профилю действий в момент t = 1 соответствует одно из2равновесий в t = 2.Следовательно,для того,чтобы найти все совершенные равновесия в игре,повторенной2раза,нам н еобходимо найти все равновесия в каждой из 29 = 512 игр,образованных таким образом.Пусть,например,игроки в t = 2 реализуют (C, C) только если в t = 1 было реализовано (B, B).Это соответствует такой игре в t = 1:

является равновесием в базовой игре.Однако,он может быть р еализован в момент времени t = 1 повторяющейся игры — если игроки ожидают,что только в этом с лучае они сыграют Парето-эффективное равновесие (C, C) в момент времени t = 2.Это — еще одно свидетельство того,что ожидания относительно поведения в будущем могут в лиять на поведение в настоящем.

Однако,данный подход к конструированию совершенных по под ыграм равновесий в конечно повторяющихся играх может быть подвергнут критике.Пред положение о том,что каждому из профилей действий в первый момент времени может быть присвоено любое из возможных равновесий во второй момент времени,может показаться слиш ком смелым,так как в исходной игре одни равновесия могут Парето-доминировать другие;ес ли мы предположим,что игроки в подыграх не будут играть Парето-доминируемые равновесия (то есть будут «передоговариваться»),то множество совершенных по подыграм равновесий сузится.Смотри задачу18.

2.2.2Бесконечно повторяющиеся игры

Если всем игрокам известно,что игра закончится через T периодов,то на последнем этапе будут сыграны какие-то равновесные стратегии;используя о братную индукцию,мы получим равновесные стратегии на всех этапах повторяющейся игры.

А если горизонт планирования отсутствует?Предположим,чт о в любой момент времени существует положительная вероятность того,что в следующий м омент времени игра повторится. Такое предположение в ряде случаев вполне уместно.К пример у,вряд ли в планах компании Pepsico— одного из двух основных производителей безалкого льных напитков — предполагается, что к какой-то определенной дате компания должна выйти из бизнеса и прекратить конкуренцию сThe Coca-Cola Company.Однако,без сомнения,компания Pepsicoбудет предпринимать какие-то ответные действия если,например, The Coca Cola Co mpanyразвяжет очередную ценовую или рекламную войну.

Игровое взаимодействие в таком случае можно моделировать в виде игры,повторяющейся бесконечное число раз,при условии,что выигрыш в каждом сле дующем периоде дисконтируется с определенной ставкой.В такой постановке использовани е обратной индукции невозможно. Как мы увидим,множество равновесий в бесконечно повторяющ ейся игре принципиально отличается от совершенных по подыграм равновесий в той же игре,повторенной конечное число раз.

Для начала дадим определение бесконечно повторяющейся игры.

t=τ

Обозначим за G(δ) игру G,повторяемую бесконечное число раз,в которой выигрыш игро ка i равен u¯i(0).

Величина 0 < δ < 1 — фактор дисконта.Чем эта величина меньше,тем меньше игрок и ценят будущие выигрыши по сравнению с текущими выигрышами. Величина u¯i(τ) есть средний выигрыш игрока i начиная с момента времени τ.Предположим,что игрок i в каждый момент времени t = τ,τ + 1, . . . получает полезность u¯i.Тогда его приведенный или дисконтированный выигрыш на момент времени t = τ как раз будет равен дисконтированному выигрышу в случае, когда игрок в каждый момент времени t ≥ τ получал бы ui(at)6:

Множество стратегий(пусть даже чистых)в бесконечно повто ряющейся игре очень громоздко.Действительно,стратегия должна предписывать,ка к действовать в зависимости от всех возможных действий игроков в предшествующие периоды — для каждого момента времени t ≥ 0.В бесконечно повторяющейся игре любая подыгра эквивалент на самой игре.Поэтому мы будем ограничиваться стратегиями,в которых действие иг рока в текущий период зависит от действий всех игроков за какое-то конечное число предыдущих периодов.

На рисунке2.22показаны примеры различных марковских стра тегий с памятью длиной T = 1 для игры «дилемма заключенного» на странице79:

Рис. 2.22:Различные марковские стратегии с памятью T = 1.

Стратегия на рисунке2.22(a)предписывает сделать первый х од D,затем все время повторять его,вне зависимости от последующих ходов соперника.На рис унке2.22(b)показана стратегия «око за око»,согласно которой первый ход должен быть D,затем каждый раз надо повторять ход,следанный соперником в предыдущий момент времени.Нак онец,на рисунке2.22(c)изображена так называемая «триггерная» или «мрачная» стратегия:в начальный момент времени игрок делает ход D,затем повторять его,пока соперник не сделает ход H.После этого триггерная стратегия предписывает все время ходить H,вне зависимости от дальнейших действий соперника.

6Введение функции дисконтированной полезности — на самом деле один из нескольких способов сравнить выигрыш игрока в бесконечно повторяющейся игре при разных профилях стратегий.Этот способ не является единственным.В учебнике Осборна и Рубинштейна(1994)прив одятся версии результатов о существовании равновесия для еще двух критериев сравнения выигрышей в бесконечной игре.

Пусть G = I, A, U игра в стратегической форме.Обозначим за u(a) вектор выигрышей

Любой вектор из этого множества есть выпуклая комбинация выигрышей игроков при каких-то чистых стратегиях.Очевидно,что любой вектор x X будет являться вектором приведенных

минимаксный выигрыш — минимальный выигрыш,который может себе гарантировать иг рок i в игре G.Очевидно,что в любом равновесии в повторяющейся игре G(δ) приведенный выигрыш игрока i не может быть меньше,чем ui.Пусть

в котором приведенные выигрыши игроков равны u.

Этот результат носит название народной теоремы,так как его авторство не установлено (сам результат известен с конца1950х годов).

Приведем пример того,как в повторяющейся игре «дилемма зак люченного» можно реализовать приведенные выигрыши,соответствующие действиям (D, D).Пусть оба игрока играют триггерную стратегию.Если ни один из них не отклоняется от с воей стратегии,то в каждый

Если игрок отклоняется от триггерной стратегии,то он получ ает моментальный выигрыш, так как обманывает второго игрока,который продолжает игра ть кооперативную стратегию D. Однако начиная со следующего момента времени игрок2начина ет ему мстить,делая ходы H

— и продолжает делать это до бесконечности!Игроку1будет вы годно такое развитие событий только если его фактор дисконта δ доcтаточно мал;в таком случае,сиюминутный выигрыш в первом периоде перевешивает наказание,которое он понесет в последующих периодах.

Согласно теореме,любая точка из X ∩ Y может быть вектором выигрышей в каком-то равновесии.Рассмотрим,например,пару марковских страте гий,изображенных на рисунке2.24.

Согласно этой паре стратегий,первый ход в игре должен быть D у первого игрока, H у второго игрока.Второй ход будет H у первого игрока и D у второго,и так далее.Если один из игроков отклонится от своей стратегии,то оба игрока(нач иная со следующего хода)будут

По построению,если игрок i отклонится от стратегии mi в момент времени t,то его выигрыш в каждый последующий момент времени не может превышать ui.Также его выигрыш не может быть меньше ui.Следовательно,он равен ui.Следовательно,игроку не будет выгодно отклониться от стратегии mi ни в один из моментов времени τ ≥ 0,если

Так как u¯i > ui,мы имеем δ < 1.Условие

обеспечивает нам равновесность всех стратегий из профиля m.Теорема доказана.

При первом рассмотрении,равновесие,полученное при испол ьзовании триггерных стратегий,не является совершенным по подыграм.Действительно,д опустим,что в повторяющейся дилемме заключенного при некотором δ существует равновесие в триггерных стратегиях,обеспечивающее ходы (D, D) в каждый момент времени.Предположим,что момент времени t = 1 игрок2в повторяющейся дилемме заключенного выбрал следую щую стратегию:играть H в этот момент времени,и играть триггерную стратегию во все по следующие периоды.

Каковы будут действия первого игрока?Если он будет продолж ать следовать триггерной стратегии,то он должен,начиная с момента времени t = 2,все время играть H.Однако у него есть и такая стратегия:в момент времени t + 1 сыграть D,и играть триггерную стратегию во все последующие периоды.Какой из двух вариантов для него бо лее выгоден?Таблица2.2.2 показывает,какими будут действия игроков в зависимости от стратегии игрока1в момент

стратегии в момент времени t = 2,и не будет наказывать игрока2.Зная это,игрок2в момент времени t = 1 может сыграть H:триггерное равновесие не является совершенным по подыгра м. И если мы хотим,чтобы в совершенном по подыграм равновесии в бесконечно повторяющейся дилемме заключенного в каждый момент времени оба игрока выбирали кооперативные стратегии D,нам необходимы более сложные стратегии,чем триггерные.Р авновесная стратегия должна предписывать не только наказание для отклонившегося игрока,но и наказание для игрока,который не стал наказывать отклонившегося,для того, кто не стал наказывать того,кто должен был наказать отклонившегося,и так далее. 7 Фаденберг и Маскин(1986)показали,что условия существования совершенного равновесия с данным вектором выигрышей практически не отличаются от условий Народной Теоремы8:

гично,если игрок i придерживается равновесной стратегии в стадии IIIj, j ̸= i,то его выигрыш

Доказательство этой теоремы является конструктивным,то е сть приводит способ построения совершенных равновесий.Равновесные стратегии строят ся по такому принципу:игрокA, отклонившийся от равновесной стратегии,подвергается сур овому наказанию(его минимаксной

вергается тому же наказанию — причем после окончания наказания его выигрыш в каждом последующем периоде будет ниже чем в том случае,если бы никт о не отклонился от наказания игрокаA.Так как размерность множества X ∩Y равна числу игроков,мы можем достичь этого, не снижая выигрыш остальных игроков.

Результаты,похожие на «народную теорему»,были получены и для конечных игр.Фактически,речь идет о существовании равновесия с любым вектором в ыигрыша,превосходящим минимаксный выигрыш.Доказательство существования простог о равновесия Нэша предлагается читателю в качестве задачи17.Народная теорема для конечны х игр и совершенных равновесий сформулирована,например,у Осборна и Рубинштейна(1994,с тр. 160).

Пример совершенного равновесия в бесконечно повторяющейся игре

Здесь же мы приведем пример пары совершенных по подыграм стратегий для следующей игры, повторяющейся бесконечное число раз:

Пусть мы хотим,чтобы в равновесии в бесконечно повторяющей ся игре выигрыш игроков был u = (4, 4).Этот выигрыш соответствует действию a = (A, A) в каждом периоде.

Для этой игры мы имеем u1 = u2 = 1, µ1 = (B, B), µ2 = (C, A),так что при достаточно большом δ такое равновесие возможно.Однако заметим,что пара страте гий,полученных с помощью народной теоремы,не будет совершенным по подыграм равнове сием.Рассмотрим равновесие, которое предполагает играть (A, A) пока один из игроков не отклонится,затем играть (B, B) если отклонился игрок1,и (C, A),если отклонился игрок2.В этом случае,ни в одной подыгре, которая соответствует отклонению1-го игрока в предыдущие периоды,второй игрок не станет делать ход a2 = B, так как u2(B, B) < u2(B, C).

Построим совершенное по подыграм равновесие.Возьмем v′ = (2, 2) = u(a′), где a′ = (A, D). Пусть a1 = (B, D), u1 = (2, 3), a2 = (A, C), u2 = (3, 2).Неравенство(2.62)дает нам N > 5.Действуя согласно доказательству Теоремы9,получим пару марковски х стратегий,изображенных на рисунке2.25.

заключения контракта,то происходит снижение реальных цен на факторы производства,что приводит к увеличению объема продукции,производимого фир мами.Согласно другой теории, увеличение спроса на продукцию отдельного производителя может быть вызвано как ростом денежной массы,так и изменениями предпочтений населения в пользу производимого товара.Производитель должен увеличить планируемый объем выпу скаемой продукции только во втором случае(так как в первом случае также должны будут выр асти цены на факторы производства);однако он не знает причин видимого увеличения ц ен на свою продукцию и поэтому будет вынужден среагировать даже если цены на самом деле выросли в результате денежной эмиссии центральным банком.

Будем считать,что инфляция и ВВП определяются в ходе следую щей динамической игры.На первом этапе публика формирует инфляционные ожидани я πe.После того,как эти ожидания сформированы,центральный банк определяет предл ожение денег,соответственно,и уровень инфляции π (для простоты будем предполагать,что инфляция и предложен ие денег взаимооднозначны).

Функция полезности центрального банка есть

производства в экономике выше того,который будет достигну т при инфляции , равной ожида - емой(возможно,из-за того,что рынки факторов производств товаров не являются полностью конкурентными).Величина πo = 0 отражает целевой уровень инфляции, a > 0 — то,насколько контроль над инфляцией важен для центрального банка по сравнению со стимулированием ВВП.Функция полезности(или,точнее,функция ущерба)банк а квадратична по π − πo, что отражает наши предположения о возрастающих предельных издержках инфляции:увеличение

Найдем равновесие в этой игре при πo = 0.Сначала решим максимизационную задачу центрального банка при данном πe.Максимизируя

Последний результат получен,исходя из предположения о нал ичии рациональных ожиданий у публики:уровень инфляции,который установится в результ ате проводимой центральным банком кредитно-денежной политики,не может отличаться от ожидаемого(за исключением возможных случайных колебаний,которые не были учтены в это й модели).То есть,например,

90 ГЛАВА2.ДИНАМИЧЕСКИЕ ИГРЫ С ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ

не может быть так,что ожидаемая инфляция равна 10%,а инфляция,реализуемая центральным банком — 15%.Публика будет предвидеть действия центрального банка и ск орректирует свои ожидания.

Полученное равновесие не является Парето-оптимальным.Де йствительно,того же объема ВВП y¯ можно было бы добиться и при π = πo.Однако этот уровень инфляции динамически несостоятелен.Предположим,например,что центральный банк обещает π = πo и публика сформирует свои ожидания на уровне πe = πo.Тогда у центрального банка будет стимул эти ожидания обмануть,так как π(πo) > πo.Если мы предполагаем,что не существует институциональных факторов,которые могли бы заставить центральный банк сдержать свое обещание относительно уровня инфляции,то уровень инфляции π = πo не может быть реализован.

Какие механизмы могут сдерживать оппортунистическое поведение центрального банка? В первую очередь,банк должен быть огражден от влияния полит ической конъюнктуры.Законодательная или исполнительная власть может оказывать давление на центральный банк с целью стимулировать экономический рост ценой высокой инфляции;если банк способен противостоять такому давлению,то его обещания сдерживать инфля цию будут более достоверными. Ряд работ(см.например,Алесина и Саммерс, 1993)обнаружил статистически значимую взаимосвязь между низким уровнем инфляции и высокой степенью независимости центрального банка.Также важны правила,регулирующие работу банка.Чем выше a — вес инфляции в целевой функции банка — тем ниже будет инфляция в равновесии.Поэтому так низка была инфляция на протяжении второй половины20-го века в Германи и,где была сильна память о гиперинфляции1922-1923годов,и в Новой Зеландии,где зако нодательно установлено,что глава центрального банка должен уйти в отставку при превышении инфляцией некого заданного барьера.

Согласно Бэрро и Гордону(1983),центральный банк может при держиваться низкого уровня инфляции,если между ним и публикой существует определенны й уровень доверия.Если изначально публика доверяет банку и считает,что в ближайшем буд ущем он не станет преследовать инфляционную политику,то банку может быть невыгодно обман ывать ожидания публики,так как это повлечет потерю доверия и рост инфляционных ожиданий.

Этот аргумент можно формализовать в виде бесконечно повторяющейся игры.Пусть на протяжении моментов времени t = 1, 2, . . . два игрока — банк и публика — играют в такую однопериодную игру.Изначально,публика ожидает,что банк будет придерживаться политики низкой инфляции: πe = 0.Банк в каждый момент времени выбирает,какой уровень инфля ции

— низкий πL = πo = 0 или высокий πH = π(0) = b2b+a (yo − y¯) — следует реализовывать.Если банк обманывает ожидания публики и реализует π = πH ,то начиная со следующего момента времени,публика ожидает уровень инфляции,соответствующ ий равновесию в рассмотренной выше динамической модели: πe = ab (yo − y¯).

Возможно ли,что в бесконечно повторяющейся игре мы будем им еть π = πL, πe = πL в каждый момент времени?Пусть δ — фактор дисконта для центрального банка.Рассмотрим дисконтированный выигрыш банка в двух случаях:когда он все время придерживается политики низкой инфляции,и когда он отклоняется в момент врем ени t = 1.В первом случае дисконтированный выигрыш центрального банка составит