Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Pyrkova_--_Metody_reshenia_differentsialnykh_urav

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 133 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

родной системы (2.13) получим, полагая возникающие при интегрировании произвольные постоянные равными конкретному значению, например, равными нулю.

2.5. Примеры решения задач, предлагавшихся на экзаменационных контрольных работах

Пример 2.1. (2-24) Найти все действительные решения сис-

	x	=	5x − y −4z
	&
темы	&	=	−12x +5y +12z , (λ1 = −1, λ2,3 =1).
темы	y	=	−12x +5y +12z , (λ1 = −1, λ2,3 =1).
	&	= 10x −3y −9z
	z	= 10x −3y −9z
				5	−1	−4
c Матрица системы				−12	5	12
c Матрица системы			A =	−12	5	12	.
				10	−3	−9
				10	−3	−9

1. Не все корни характеристического уравнения различны: либо а) существует базис из собственных векторов матрицы A системы, либо б) строим жорданову цепочку для матрицы A системы.

λ1 = −1, (A − λ1 E)h1 = 0 .

Для краткости записи используются следующие обозначения: выражение α(n)+ β(m) над стрелочкой означает, что

перешли к эквивалентной системе алгебраических уравнений, n-ая строка матрицы которой представляет собой линейную комбинацию n-ой и m-ой строк с коэффициентами α и β соответственно.

					6 −1 −4														1	(2)					6 −1 −4
					6 −1 −4															(2)					6 −1 −4
																		(3)−(1)
																		6
A − λ1 E = −12											6 12 →														−2					1				2
																											4
							10 −3 −8																				4		−2 −4
																													(1)−				1	(2)
		(1)+2(2)						2 1 0														2 1 0								2
		(1)+2(2)						2 1 0														2 1 0									1
		(3)+2(2)														(2)+(1)															1	(2)
		(3)+2(2)						2 1					2			(2)+(1)							0 2 2									(2)
→							−	2 1					2		→								0 2 2					2 →
								0			0		0										0	0		0
								0			0		0										0	0		0
																	−	1												1
2 0 −1														1 0
2 0 −1									1					1 0				2
									1	(1)																r				2
	0	1							2	(1)					0	1						,	дает			r				2				или
	0	1			1		→								0	1			1			,	дает			h1		=	−1					или
	0 0 0														0 0			0
	0 0 0														0 0			0												1

r				1			r					1
r				2		и	r	=			− 2
h1		= −		2		и	x1	=			− 2		e−t
				2								2
				2								2
λ2,3	=1,		(A − λ2 E)h2							= 0 .
								4 −1 − 4													1				4 −1 −4
																					1	(2)
A −λ2 E =												4				12					4	(2)							1
A −λ2 E =							−12					4				12	→								−3				1					3
								10 −3 −								10
								10 −3 −								10										10 −3 −10
		(1)+(2)						1 0 −1									(2)+3(1)							1 0 −1
		(3)+3(2)									1						(3)−(1)								0	1			0					дает
→							−3				1			3		→									0	1			0	,				дает
																									0 0 0
								1 0 −1																	0 0 0
r		1					r				1
r			0		и		r				0
h2		=	0		и		x2	=			0	et . Нашли только один собственный
			1								1
			1								1

вектор, поэтому строим жорданову цепочку для матрицы A системы.

										4 −1 −4							1			1					4	−1 − 4			1
										4 −1 −4							1			1					4	−1 − 4			1
(A − λ		E)h = h									4 12											(2)
																					4	(2)				1		3
									−12								0			→					−3	1		3	0
	2			3		2																				−3 10			1
										10	−3 10						1								10	−3 10			1
																									10
(1)+(2)									1 0 −`1							(2)+3(1)							1 0 −1				1


(3)+3(2)												1				(3)−(1)									1	0		дает
→					−				3	1	3	0		→									0		1	0	3 ,	дает
									1 0 −1
												1											0 0 0				0


r				1	1														r				1
r																			r
h3 =α				0	+			3	или (при α = 0 ) h3 =														3	.
				1				0															0
				1				0															0
2. Общее решение
x				1							1							1 1
y =	C		e −t −2				+et			C	0		+C		3	t 0				+			3		. n
		1								2					3
					2
z					2						1							1					0
Пример 2.2. (2-14) Найти все действительные решения сис-
					x				=	7x + y +2z
					&
		темы				&			=	2x +3y				+ z				, (λ1,2,3					=3).
		темы			y				=	2x +3y				+ z				, (λ1,2,3					=3).
					&				= −8x −2 y − z
					z				= −8x −2 y − z
													7			1				2
													2			3
d Матрица системы A =													2			3				1 .
														−2
											−8			−2					−1

1. Отметим, что все корни характеристического уравнения равны.

(A − λE)h1 = 0

									1	0	1
				4	1		2
				4	1		2				2
A −λE =				2	0			→	0	1	2	,	дает
A −λE =				2	0		1	→	0	1	0	,	дает
				−8					0	0	0
				−8	−2 −4				0	0	0

		−	1
							1
r			2		r		1
r			2	или	r		0	. Нашли только один собствен-
h1	=		0	или	h1	=	0	. Нашли только один собствен-
							− 2
			1				− 2

ный вектор, поэтому строим жорданову цепочку матрицы A системы:

(A − λE)h2 = h1 .

												1	0		1
		4		1			2	1								0
		4		1			2	1							2	0
		2		0			1			→		0	1		2	1	,	дает
		2		0			1		0	→		0	1		0	1	,	дает
	−8		−2			−4		−2				0	0		0	0
	−8		−2			−4		−2				0	0		0	0


				−	1
									0				0
r					2				0		r		0
r					2		+		1	или (при α = 0 )	r			1
h2		=α			0		+		1	или (при α = 0 )	h2		=	1	.
									0					0
					1				0					0

(A − λE)h3 = h2 .

																									1		1

		4				1			2	0												1 0
		4				1			2	0												1 0		2		2
		2			0				1						→							0	1	2		2		,	дает
		2			0				1	1					→							0	1	0		−2		,	дает
		−8	−2					−4														0 0 0				0
		−8	−2							0												0 0 0				0
										0
				1					1


		−																							0
		−	2						2																0
	r		2						2													r	=	− 2
	h2 = β		0				+		− 2			или (при β =1 ) h3											=	− 2		.
				1					0																1


	3. Общее решение
x						1									1			0
						0		+ C2 e3t							0			1			+
y =C1e3t						0		+ C2 e3t					t		0	+		1			+
			−			2								− 2				0
z			−			2								− 2				0
											1				0			0
		+C3 e			3t t 2								+t
											0				1	+	−2				. o
								2			0				1	+	−2				. o
								2			2				0
									−		2				0			1
Пример 2.3. (2-01) Найти															все действительные решения сис-
					x			=			4x +3y
						&
		темы			&			=			4 y −3z						, (λ1				= 5,λ2,3 = 4 ±3i).
		темы			y			=			4 y −3z						, (λ1				= 5,λ2,3 = 4 ±3i).
					&			= − x +3y +5z
					z			= − x +3y +5z
															4	3			0
e Матрица системы															0	4		−3
e Матрица системы											A =				0	4		−3		.
																3			5
													−1			3			5

1. Все корни характеристического уравнения различны, следовательно существует базис из собственных векторов матрицы A системы.

λ1 = 5 , (A − λ1 E)h1 = 0 .

−1 3

1 0 9

A − λ1 E =

−1

−3

→

дает

−1 3

0 0 0

−9

= −3 .

λ2 = 4 + 3i , (A − λ2 E)h2 = 0 .

−3i

1 0 −1

A −λ

2 E =

−

−3

→

, дает

−1

3 1−3i

0 0 0

= i

В нашем случае

xλ

e(4+3i )t

= h

= i

e(4+3i )t

e4t i e3it =

cos 3t

sin 3t

e4t i

(cos 3t +i sin 3t) =

e4t

−sin 3t

+i cos 3t

cos 3t

sin 3t

Вектор-функции

= Re xλ2

x3 = Im xλ2

- действитель-

ные решения системы. 2. Общее решение

x		9

y	= C1e5t	3	+

z		−1

		cos 3t
e 4t
e 4t	C2	−sin 3t

		cos 3t

+C3

sin 3t cos 3t . p sin 3t

Пример 2.4. (2-41) Найти все действительные решения сис-

						e	2t
				&		e
	темы			&	x + y + cos t .
	темы		x =		x + y + cos t .
				&	−2x +3y
			y =		−2x +3y
						1		1
f Матрица системы A =								.

					−2			3
1. Решаем характеристическое уравнение det(A −λE )= 0 .
	1−λ	1		=	(1−λ)(3	−λ)+2 = λ2 −4λ +5 = 0, отку-
	1−λ	1
	−2	3 −	λ
	−2	3 −	λ

даλ1,2 = 2 ± i .

2. Все корни характеристического уравнения различны, поэтому существует базис из собственных векторов матрицы A системы.

λ1 = 2 + i , (A − λ1 E)h1 = 0 .

−1−i

−

A − λ E =

→

, дает

−2 1−i

−

1 −i

, или

h =

, или

+ i

нашем

случае

λ t

(2+i )t

λ1

h e 1

+ i

cos t

sin t

e2t

+ eit = e2t

−sin t

cos t

cos t +sin t

Вектор функции

x1 = Re xλ

= Im xλ

- действитель-

ные решения системы.

3. Общее решение однородной системы

cos t

e 2t

sin t

e 2t

cos t

−sin t

cos t +sin t

4. Решение неоднородной системы ищем методом вариации постоянных, полагая C1 = C1 (t ) и C2 = C2 (t ).

Подставляя

′

(t)e

cos t + C1 (t )(e

′

(t)e

sin t +

= C1

cos t )+ C2

+ C2 (t )(e 2t sin t )′

′

(cos t −sin t) + C1 (t )(e

′

(t)e

(cos t

y = C1

−sin t ))

+C2′(t)e2t (cos t +sin t) + C2 (t )(e 2t (cos t +sin t ))′

внеоднородную исходную систему, получим для определе-

ния C1′ и C2′ систему

′

(t )e

2t cos t +C

′(t)e2t

sin t

cos t ,

′

(t)e

(cos t −sin t)+C

(t)e

(cos t +sin t) = 0

сокращаем оба уравнения на e2t , и умножаем первое уравнение на cos t

		′	(t)cos	2
C
	1		(t)(cos t
C		′
	1


t + C2	′(t )sin t cos t		=1	,
−sin t)+ C2		′(t )(cos t + sin t )	= 0	,

к первому уравнению, умноженному на 2, прибавляем второе, умноженное на (cos t +sin t)

		′	(t )cos	2	t +C	′	(t )sin t cos t		=1
C	1					2				,
		′	(t )(cos 2				2 t)+C	′(t )(cos t +sin t )2	= 0
C	1				t −sin
								2

ко второму уравнению прибавляем первое, умноженное на 2

′

(t )−C

′

(t )= 2

′

′(t )(cos t +sin t)

= 0

(t )(cos t −sin t )+C

C ′ =C

′ + 2

Полученный из первого уравнения результат

′

подставляем

во второе

уравнение

2 C

+1 cos t = 2 sin t ,

(t)=

∫

sin t

= −t −

∫

d cos t

dt +c2

откуда

−1+

dt +c2

cos t

= −t − ln

cos t

+ c2 ,

аналогично

находим

(t)=

∫

sin t

dt +c1 = t −ln

cos t

+c1 .

cos t

Общее решение неоднородной системы

= (t −ln

cos t

)

e2t

cos t −sin t

(−t −ln

cos t

sin t

)

e 2t .

cos t +sin t

2.6. Задачи для самостоятельного решения

Найти все

29.(2-01)

30.(2-02)

31.(2-03)

32.(2-04)

действительные решения систем уравнений:

&	= 4x +3y
x	= 4x +3y
&		, ( λ1 = 5 , λ2,3		= 4 ± 3i ).
y = 4 y −3z		, ( λ1 = 5 , λ2,3		= 4 ± 3i ).
&	= −x +3y	+5z
z	= −x +3y	+5z
&	= −2x − y	+ z
x	= −2x − y	+ z
&		+2z , ( λ1,2,3	= −3 ).
y = 2x −5y		+2z , ( λ1,2,3	= −3 ).
&	= 3x −2 y	−2z
z	= 3x −2 y	−2z
&	= 3x +2 y
x	= 3x +2 y
&		, ( λ1 = 4 , λ2,3		=3 ± 2i ).
y = 3y + z		, ( λ1 = 4 , λ2,3		=3 ± 2i ).
&	= 2x −4 y	+4z
z	= 2x −4 y	+4z
&	= −4x +2 y −3z
x	= −4x +2 y −3z
&		, (λ1,2,3	= −2).
y = −2 y + z		, (λ1,2,3	= −2).
&	= x − y
z	= x − y

		x = 3x + y −2z
		&
33.	(2-11)	&		−3z	, ( λ1 = 2 , λ2,3				=3 ± i ).
33.	(2-11)	y = 5y		−3z	, ( λ1 = 2 , λ2,3				=3 ± i ).
		&	= −x	+3y
		z	= −x	+3y
		x = 6x + y +2z
		&
34.	(2-12)	&		+2 y + z	, (λ1,2,3			= 2).
34.	(2-12)	y = 2x		+2 y + z	, (λ1,2,3			= 2).
		&	= −8x −2 y −2z
		z	= −8x −2 y −2z
		x = 4x −5y +5z
		&
35.	(2-13)	&		−2 y +5z , ( λ1 = −1 , λ2,3						=1 ± i ).
35.	(2-13)	y = 3x		−2 y +5z , ( λ1 = −1 , λ2,3						=1 ± i ).
		&	= −x	+2 y − z
		z	= −x	+2 y − z
		x = 7x + y +2z
		&
36.	(2-14)	&		+3y + z	, (λ1,2,3		=3).
36.	(2-14)	y = 2x		+3y + z	, (λ1,2,3		=3).
		&	= −8x −2 y − z
		z	= −8x −2 y − z
		x = −4x +2 y +5z
		&
37.	(2-21)	&		− y −6z	, (λ1,2		=1, λ3			= 2).
37.	(2-21)	y = 6x		− y −6z	, (λ1,2		=1, λ3			= 2).
		&	= −8x +3y +9z
		z	= −8x +3y +9z
		x = x + y − z
		&
38.	(2-22)	&		+2 y − z , (λ1,2		= 2, λ3			=3).
38.	(2-22)	y = −x		+2 y − z , (λ1,2		= 2, λ3			=3).
		&	= 2x	− y +4z
		z	= 2x	− y +4z
		x = 2x + y + z
		&
39.	(2-23)	&			, (λ1,2	=1,		λ3	= 2).
39.	(2-23)	y = −2x − z			, (λ1,2	=1,		λ3	= 2).
		&	= 2x	+ y +2z
		z	= 2x	+ y +2z
		x = 5x − y −4z
		&
40.	(2-24)	&						= −1,λ2,3 =1).
40.	(2-24)	y = −12x +5y +12z , (λ1						= −1,λ2,3 =1).
		&	=10x −3y −9z
		z	=10x −3y −9z
		x = −4x + y
		&
41.	(2-31)	&			, (λ1	= −3, λ2,3				= −2 ± i).
41.	(2-31)	y = x −4 y −2z			, (λ1	= −3, λ2,3				= −2 ± i).
		&	= −5x +5y + z
		z	= −5x +5y + z
					33

<<< < Предыдущая 1 23 / 133 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015138 Кб15Plotnikov 7.doc
#
03.06.2015207 Кб28Plotnikov 8.doc
#
03.06.2015288 Кб16program.pdf
#
03.06.2015301 Кб55Project management.docx
#
03.06.2015457 Кб40PS3_10_13.pdf
#
27.03.20162 Мб43Pyrkova_--_Metody_reshenia_differentsialnykh_urav.pdf
#
03.06.2015148 Кб18qm-tolstikhin1-2012.pdf
#
03.06.201510 Мб11questionsExamRNP-2013-2014.pdf
#
01.05.2025135 Кб1Rabota_po_biologoii_Yaroslav_Serov_poslednyaya...docx
#
03.06.2015199 Кб53Random processes and SDE.pdf
#
03.06.201513 Мб22Razumov_1.doc