1947_garmonicheskii analiz_kvm_4sem_dlya vsekh fakul
.pdfПромежуточная аттестация по дисциплине «Гармонический анализ» осуществляется в форме экзамена (зачета). Экзамен (зачет) проводится в письменной (устной) форме.
Перечень типовых контрольных заданий в прикрепленных файлах.
4. Критерии оценивания
Оценка «отлично (10)» выставляется обучающемуся, если он показал всесторонние, систематизированные, глубокие знания учебной программы дисциплины и умение уверенно применять их на практике при решении конкретных задач, свободное и правильное обоснование принятых решений; оценка «отлично (9)» выставляется обучающемуся, если он показал всесторонние,
систематизированные, глубокие знания учебной программы дисциплины и умение уверенно применять их на практике при решении конкретных задач, свободное и правильное обоснование принятых решений, но при этом были допущены небольшие неточности, которые были самостоятельно обнаружены и исправлены; оценка «отлично (8)» выставляется обучающемуся, если он показал всесторонние,
систематизированные, глубокие знания учебной программы дисциплины и умение уверенно применять их на практике при решении конкретных задач, свободное и правильное обоснование принятых решений, но при этом были допущены небольшие неточности, которые полсе указания экзаменатора были самостоятельно исправлены;
оценка «хорошо (7)» выставляется обучающемуся, если он твердо знает материал, грамотно и по существу излагает его, умеет применять полученные знания на практике, но допускает неточности в ответе или делает несущественные ошибки при решении задач;
оценка «хорошо (6)» выставляется обучающемуся, если он твердо знает материал, грамотно и по существу излагает его, умеет применять полученные знания на практике, но допускает небольшие ошибки в ответе и (или) при решении задач;
оценка «хорошо (5)» выставляется обучающемуся, если он твердо знает материал, грамотно и по существу излагает его, умеет применять полученные знания на практике, но отвечает неуверенно и (или) допускает ошибки при решении задач; оценка «удовлетворительно (4)» выставляется обучающемуся, показавшему фрагментарный,
разрозненный характер знаний, неточные формулировки базовых понятий, нарушения логической последовательности в изложении программного материала, если при этом он владеет основными разделами учебной программы, необходимыми для дальнейшего обучения и может применять полученные знания по образцу в стандартной ситуации; оценка «удовлетворительно (3)» выставляется обучающемуся, показавшему фрагментарный,
разрозненный характер знаний, неточные формулировки базовых понятий, нарушения логической последовательности в изложении программного материала, не владеющему некоторыми разделами учебной программы, но умеющему применять полученные знания по образцу в стандартной ситуации;
оценка «неудовлетворительно (2)» выставляется обучающемуся, который не знает большей части основного содержания учебной программы дисциплины, допускает грубые ошибки в формулировках основных понятий дисциплины и не умеет использовать полученные знания при решении типовых практических задач; оценка «неудовлетворительно (1)» выставляется обучающемуся, показавшему полное незнание учебной программы дисциплины.
5. Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности
При проведении устного экзамена обучающемуся предоставляется _1 астрономический час_ на подготовку. Опрос обучающегося по билету на устном экзамене не должен превышать двух астрономических часов. Во время проведения экзамена обучающиеся могут пользоваться только программой дисциплины.
Вопросы самоконтроля по курсу «Гармонический анализ» для студентов 2-го курса (4-й семестр)
1. |
Что такое тригонометрическая система функций? |
|
2. |
Как определяется тригонометрический полином порядка |
n ? |
3.Как определяется ортогональность двух функций на данном отрезке?
4.Как определяются коэффициенты Фурье функции, интегрируемой на отрезке
,
?
5.Сформулировать определение ряда Фурье функции, интегрируемой на отрезке , .
6.Что такое ядро Дирихле порядка n ?
7. Как определяется интеграл Дирихле порядка
n
для
2
-периодической функции?
8.Сформулируйте теорему Римана о коэффициентах Фурье.
9.Как формулируется принцип локализации для рядов Фурье?
10.Как определяется регулярная точка функции?
11.Сформулировать теорему Дини о сходимости ряда Фурье в регулярной точке функции.
12. |
Что такое ядро Фейера порядка n ? |
|
13. |
Какими свойствами обладают ядра Фейера? |
|
14. |
Сформулировать теорему Фейера для 2 -периодических непрерывных функций. |
|
15. |
Сформулировать теорему Вейерштрасса о приближении непрерывных |
2 -периодических |
|
функций тригонометрическими полиномами. |
|
16.Сформулировать теорему Вейерштрасса о приближении непрерывных на отрезке функций многочленами.
17.Сформулировать определение полноты множества функций на данном отрезке в смысле равномерного приближения.
18.Сформулировать теорему о полноте тригонометрической системы функций в смысле равномерного приближения.
19.Сформулировать определение полноты множества функций на данном отрезке в смысле среднего квадратичного приближения.
20.Сформулировать теорему о полноте системы приближения.
x |
|
n |
|
|
|
|
n 0 |
в смысле среднего квадратичного
21.В чем состоит минимальное свойство частных сумм ряда Фурье?
22.Написать неравенство Бесселя для коэффициентов Фурье.
23.Написать равенство Парсеваля для коэффициентов Фурье непрерывных 2 - периодических функций.
24.Сформулировать теорему о почленном дифференцировании ряда Фурье.
25.Сформулировать теорему о порядке отклонения частных сумм ряда Фурье от 2 - периодической функции, имеющей непрерывную производную данного порядка.
26.Сформулировать теорему о почленном интегрировании тригонометрического ряда Фурье.
27.Привести пример всюду сходящегося тригонометрического ряда, не являющегося рядом Фурье никакой абсолютно интегрируемой функции.
28.Определить тригонометрический ряд Фурье функции, заданной на отрезке l,l , l 0 .
29.Как определяется комплексная форма тригонометрического ряда Фурье?
30.Как определяется интеграл Фурье функции, абсолютно интегрируемой на числовой оси?
31.Сформулировать теорему о представлении функции интегралом Фурье в регулярной точке.
|
f x dx для функции, интегрируемой на |
32. Как определяется главное значение интеграла |
|
|
|
любом конечном отрезке?
33. Как определяется главное значение интеграла
c (a,b) ?
b f x dx
a
с единственной особой точкой
34.Как определяется преобразование Фурье функции?
35.Как определяется обратное преобразование Фурье функции?
36.Сформулировать свойства преобразования Фурье функции, абсолютно интегрируемой на всей числовой оси.
37. Сформулировать теорему о связи преобразования Фурье производной
преобразованием Фурье функции |
f x . |
f |
n |
x |
|
|
с
38.Сформулировать теорему о дифференцировании преобразования Фурье функции.
39.Сформулировать определение метрического пространства.
40.Какое метрическое пространство называется полным?
41.Какие два метрических пространства называются изометричными?
42.Какое подмножество называется плотным в метрическом пространстве?
43.Какое метрическое пространство называется сепарабельным?
44.Какое метрическое пространство называется пополнением данного метрического пространства?
45. Как определяются метрические пространства
l |
, |
1 |
|
l2
,
l
и
c
?
46.Сформулировать определение линейного пространства.
47.Сформулировать определение нормированного пространства.
48.Какое нормированное пространство называется полным?
49.Какое нормированное пространство называется банаховым?
50.Какое нормированное пространство называется сепарабельным?
51.Что такое базис нормированного пространства?
52.Как определяются нормированные пространства
53.Привести примеры базисов в пространствах l1, l2
l |
, l |
1 |
2 |
и c
, l и c ?
.
54.Сформулируйте определение линейного пространства со скалярным произведением.
55.Какими свойствами обладает скалярное произведение?
56. |
Как вводится скалярное произведение в пространствах |
, |
n |
2 |
a,b ? |
|
, CL |
||||
57. |
Сформулируйте определение гильбертова пространства. |
|
|
|
|
58. |
2 |
|
|
|
|
Является ли пространство CL a,b : а) гильбертовым; б) сепарабельным? |
|||||
59.Является ли пространство l2 : гильбертовым; б) сепарабельным?
60.Какая система элементов называется ортогональной в пространстве со скалярным произведением?
61. |
|
|
2 |
, |
Доказать ортогональность тригонометрической системы в пространстве CL |
||||
62. |
2 |
1,1 |
системы полиномов Лежандра |
|
Доказать ортогональность в пространстве CL |
||||
.
|
|
|
|
n |
2 |
1 |
n |
|
|
|
|
|
d |
x |
|
|
|
||
P |
x 1, P |
x |
|
|
|
|
|
, |
n 1, 2,... . |
|
dxn |
|
|||||||
0 |
n |
|
|
|
|
|
|||
63. |
Сформулируйте определение ряда Фурье элемента x из пространства X со скалярным |
|
|
|
произведением по ортогональной системе xn n 1 X . |
64. |
Доказать, что в гильбертовом пространстве X ряд Фурье любого элемента x по любой |
|
|
ортогональной системе xn n 1 |
X является сходящимся. |
65. Доказать, что в гильбертовом пространстве |
X |
ряд Фурье любого элемента x по данной |
||||
ортогональной системе xn |
|
X |
сходится к x тогда и только тогда, когда эта система |
|||
n 1 |
||||||
|
|
|
|
|
||
полна.
66.Сформулировать определение линейного пространства со сходимостью.
67.Сформулировать определение сопряженного пространства к линейному пространству со сходимостью.
68.Сформулировать определение пространства
69.Что такое обобщенная функция?
70.Сформулировать определение пространства
D D
основных функций.
обобщенных функций.
71.Какая обобщенная функция называется: а) регулярной; б) сингулярной?
72.Привести пример сингулярной обобщенной функции.
73.Как определяется производная обобщенной функции?
74.Сформулировать определение пространства S основных функций.
75.Что такое обобщенная функция медленного роста?
76.Сформулировать определение пространства S обобщенных функций медленного роста.