Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike

а При движении со скоростью ~ состояния в котором было только

14.3.7 . . βc ,

стью ~ имеет следующий вид

βc :

~ 0 ~ ~ − ~ × ~ ~ 0 ~ ~ ~ × ~ p − 2 E = Ek + γ(E [β B]), B = Bk + γ(B + (β E]), γ = 1/ 1 β ,

где ~ 0 и ~ 0 электрические и магнитные поля в сносе ~k ~ и ~k ~ состав

E B — ; E , E B , B — -

ляющие электрических и магнитных полей, параллельные и перпендикулярные

в. Используя приведенные в пункте а формулы преобразования полей, решите задачи 14.3.1–14.3.3, 14.3.5 .

г. Используя приведенные в пункте а формулы преобразований полей, решите

14.3.9.Во сколько раз изменится разность потенциалов и емкость плоского конденсатора при движении его со скоростью βc: а) вдоль пластин? б) перпендикулярно пластинам?

14.3.10.Во сколько раз изменится разность потенциалов и емкость длинного цилиндрического конденсатора при движении его со скоростью βc вдоль оси?

14.3.11.Неподвижной сфере радиуса R с равномерно распределенным поверхностным зарядом Q сообщили скорость βc. Определите максимальную электрическую напряженность и максимальную и минимальную плотности поверх-

ностного заряда в новом состоянии.

14.3.12 . Определите распределение электрической напряженности и маг-

нитной индукции движущегося со скоростью βc заряда q.

14.3.13 . Между неподвижными обкладками конденсатора со скоростью βc движется пластина из вещества с диэлектрической проницаемостью ε. Напряженность электрического поля между диэлектриком и пластинами E. Чему равна напряженность электрического поля и индукция магнитного поля внутри диэлектрика?

271

♦ 14.3.14 . Диэлектрическая пластина толщины h движется со скоростью βc между обкладками конденсатора, который пронизывается внешним магнитным полем с индукцией B, перпендикулярной к обкладкам и пластине. Диэлектрическая проницаемость вещества пластины ε. Определите разность потенциалов между разомкнутыми обкладками конденсатора.

14.3.15. Во сколько раз изменится амплитуда плоской электромагнитной волны при переходе в систему координат, движущуюся со скоростью βc в направлении распространения волны?

14.3.16 . Решите задачу 14.3.15 при распространении плоской волны в диэлектрической среде с коэффициентом преломления n.

14.3.17. На движущуюся со скоростью βc металлическую стенку перпендикулярно падает плоская электромагнитная волна. Во сколько раз изменится амплитуда волны при отражении?

14.3.18 . Решите задачу 14.3.17, когда электромагнитная волна падает на движущуюся стенку под углом α.

14.3.19.Скорость электронов в параллельном пучке βc. Как изменится плот-

ность электронов при движении относительно пучка со скоростью β1c в продольном направлении?

14.3.20.В прямом проводе плотность тока равна j. Как изменится эта плот-

ность при движении провода со скоростью β1c в продольном направлении? Какой объемный заряд возникает в проводе?

14.3.21 . Изменится ли плотность тока в проводнике при движении его перпендикулярно направлению тока?

♦14.3.22. Толщина неподвижного плоского конденсатора h, плотность тока утечки j. Начальная плотность поверхностных зарядов σ. Как будет меняться электрическое поле внутри конденсатора при движении его со скоростью βc па-

раллельно пластинам?

14.3.23 . Решите задачу 14.3.21 в случае движения конденсатора со скоростью βc перпендикулярно пластинам.

♦14.3.24. Магнитный момент длинного плоского соленоида с током равен M. Какой электрический момент возникнет у этого соленоида при поперечном движении его со скоростью v параллельно плоским поверхностям?

272

времени, б) формулу Лоренца, согласно которой масса частицы, движущейся со

p

скоростью βc, m = mi/ 1 − β2, где mi — масса покоя частицы.

14.4.2 . Электрон, влетающий со скоростью v в протяженное однородное электрическое поле, летящее ему навстречу со скоростью u, через время τ вылетает из него. Электрическая напряженность направлена по скорости электрона. Определите ее величину.

14.4.3.Одна из пластин неподвижного плоского конденсатора испускает электроны, которые через время τ после испускания попадают со скоростью v на вторую пластину. Определите напряженность электрического поля конденсатора. Пространственным зарядом и начальными скоростями электронов пренебречь.

14.4.4.Во сколько раз изменится время движения электрона в задаче 14.4.3, если конденсатор и испущенные электроны двигаются со скоростью u: а) поперек пластин? б) параллельно пластинам? Чему равны в случаях а) и б) скорости электронов на второй пластине?

14.4.5.Скорость электрона, пролетевшего неподвижный участок с электрическим полем напряженности E, направленной по движению электрона, изменилась с 2v до v. Определите время пролета электрона через этот участок.

14.4.6 . На неподвижный электрон налетает со скоростью света продольное электрическое поле напряженности E. Как глубоко проникнет электрон в это поле, если оно действует на электрон в направлении своего движения?

14.4.7.Электрон, пролетая через поле неподвижного плоского конденсатора, получает поперечный импульс p. Скорость электрона на входе в конденсатор равна βc и направлена параллельно его пластинам. Какой поперечный импульс получит электрон, если, наоборот, конденсатор со скоростью −βc пролетает мимо первоначально неподвижного электрона? Во сколько раз поперечная скорость, приобретенная электроном в первый раз, будет меньше поперечной скорости, полученной электроном второй раз?

14.4.8.С какой скоростью движется электрон вокруг тяжелого ядра с зарядом ez по круговой орбите радиуса R?

14.4.9 . Во сколько раз ускорение протона, движущегося перпендикулярно электрическому полю со скоростью βc, больше ускорения протона, движущегося с той же скоростью по полю? под углом α к полю?

14.4.10 . Какую максимальную скорость может приобрести частица с массой покоя m и зарядом q, рожденная с нулевой скоростью в переменном синусоидальном электрическом поле с амплитудой напряженности E и частотой ω/(2π).

14.4.11.Электрон, влетающий со скоростью βc в протяженное неподвижное

иоднородное электрическое поле, проникает внутрь этого поля на глубину l. Скорость электронов направлена вдоль поля. На какую глубину проникнут электроны, если, наоборот, на неподвижные электроны с такой же скоростью налетает электрическое поле? Решите эту задачу двумя способами, используя: а) эффект релятивистского сокращения расстояния, б) взаимосвязь работы A с изменением

массы частицы m: A = c2 m.

274

14.4.12 . Электрон, влетающий со скоростью v в однородное электрическое поле, летящее ему навстречу со скоростью u, проникает в поле на глубину l. Определите напряженность поля, если оно направлено по скорости электрона.

14.4.13.За какое время электрон, родившийся без начальной скорости в электрическом поле с напряженностью E = 104 В/см (1 В/см = 1/300 ед СГС напряженности), пролетит в этом поле расстояние l = 1 м?

14.4.14.Какой должна быть длина линейного ускорителя со средней напря-

женностью ускоряющего электрического поля E = 105 В/см, предназначенного для ускорения π+-мезонов до энергий E = 1010 эВ (1 эВ = 1,6 · 10−12 Эрг)? За какое время π+-мезон с нулевой начальной скоростью ускорится до этой энергии? Энергия покоя π+-мезона m+c2 = 108 эВ, заряд e.

14.4.15.Для изучения поля электронов на малых расстояниях их ускоряют

до энергий в N = 1000 раз большей энергии покоя электрона mec2 и наблюдают встречное взаимодействие двух таких электронов. Во сколько раз нужно увеличить энергию электрона, чтобы получить такие же результаты, наблюдая взаимодействие между движущимся электроном и первоначально неподвижным электроном?

14.4.16.Пролетая через электростатический конденсатор, протон с кинети-

ческой энергией E = 106 эВ отклоняется на угол αp = 0, 1 рад. Оцените, на какой угол отклонится электрон с такой же кинетической энергией.

♦14.4.17. При какой минимальной разности потенциалов в плоском конденса-

торе электроны, ускоренные потенциалом U = 1 МВ, влетающие в конденсатор через небольшое отверстие в нижней пластине под углом α = 30◦ к ней, не долетают до верхней пластины?

14.4.18.Определите кинетические энергии протонов и электронов, проходящих по дуге радиуса R = 0,3 м через поворотный магнит с индукцией B = 1 Тл.

♦14.4.19. Магнитное поле в телевизионной трубке поворачивает электроны с

энергией E = 2·104 эВ на угол α = 60◦. Отклоняющая катушка создает магнитное поле на участке трубки длиной l = 10 см. Определите индукцию магнитного поля. Какая ошибка совершается при расчете индукции, если пренебречь изменениями массы электрона при его движении?

14.4.20. Каким должен быть радиус кольцевого накопителя с магнитным полем индукции B = 1 Тл, предназначенного для накопления протонов с энергией

E= 1011 эВ? для накопления электронов с энергией E = 1011 эВ?

14.4.21.Определите циклотронную частоту электрона, ускоренного разно-

стью потенциалов v = 2 · 106 В, в магнитном поле индукции B = 10 Тл.

275

14.4.22.Чему равна индукция магнитного поля на накопительных дорожках радиуса R = 6 м, если масса электронов, движущихся по этим дорожкам, в N = 1000 раз больше me?

♦14.4.23. Электрон влетает со скоростью βc в магнитное поле перпендикулярно границе поля и вектору индукции B. Определите время пребывания электрона в магнитном поле.

14.4.24.Решите задачу 14.4.23 в случае, если область, занятая магнитным полем, движется перпендикулярно своей границе со скоростью β1c.

14.4.25.Оцените, при какой минимальной энергии электроны, находящиеся на высоте h = 1000 км, смогут достигнуть поверхности Земли в области экватора, если индукция магнитного поля Земли B = 30 мкТл?

♦14.4.26. Космический корабль входит в ионосферу Земли со скоростью v, которая много больше тепловых скоростей протонов ионосферы. Какой должна быть минимальная толщина магнитного экранного слоя, защищающая лобовую поверхность корабля от протонов, если магнитная индукция B направлена параллельно поверхности?

14.4.27.Определите кинетическую энергию электрона, который движется в магнитном поле индукции B по винтовой линии радиуса R с шагом h.

14.4.28.В скрещенном электрическом поле напряженности E и магнитном поле индукции B релятивистская заряженная частица «дрейфует» поперек полей. Чему равна дрейфовая скорость частицы?

14.4.29 . Чему равна максимальная скорость заряженной частицы в скре-

щенном электрическом и магнитном полях ~ и ~ ~ ~ если минимальная

E B (E B),

скорость равна βc? β > k = E/B?

♦ 14.4.30 . Между плоским анодом и катодом подается высокое напряжение. Система находится в магнитном поле индукции B = 10 Тл, которое параллельно электродам. Расстояние между анодом и катодом h = 10 см. При каком минимальном напряжении электроны достигнут анода?

276

♦14.4.31 . Электрон вращается в постоянном магнитном поле индукции B,

~ ~

имея скорость βc. Включается электрическое поле E параллельно вектору скоро-

сти ~ Определите максимальную скорость электрона которую он приобретает

βc. ,

вскрещенном поле.

§14.5. Закон сохранения массы и импульса

14.5.1.Неподвижная частица массы M распадается на два γ-кванта. Определите массу каждого γ-кванта.

14.5.2.Мощность излучения Солнца W близка к 4 ·1026 Вт. Оцените массу, теряемую Солнцем из-за излучения в течение секунды.

14.5.3.Скорости двух частиц, образующихся при распаде неподвижного ядра массы M, одинаковы по величине и равны βc. Определите полную массу, массу покоя и кинетическую энергию каждой частицы.

14.5.4.При встречном столкновении протонов может рождаться частица с массой поля в k раз больше массы покоя протона mp:

p = p + p → p + p + M, M = kmp.

Определите минимальную массу движущихся протонов, для которых возможна эта реакция. Чему равна минимальная скорость протонов?

14.5.5. При какой кинетической энергии электронов и позитронов (в МэВ) в экспериментах на встречных пучках наблюдается рождение протон-антипротон- ной пары: e− + e+ → p + p¯? рождение π0-мезона: e+ + e− → π0?

14.5.6. Неподвижный атом массы M поглощает фотон массы m. Определите массу и импульс атома после поглощения фотона.

14.5.7 . Определите скорость «отдачи» неподвижного атома массы M после испускания фотона массы m.

14.5.8.Фотонная ракета, стартующая с Земли, по наблюдениям с Земли теряет в единицу времени массу m. Начальная масса ракеты M. Как меняется от времени скорость и масса покоя ракеты? Действием на ракету гравитационного поля Земли пренебречь.

14.5.9.Две частицы с массами m1 и m2, летящие со скоростью v1 и v2, направленными друг к другу под углом α, сливаются в одну частицу. Определите массу и скорость образовавшейся частицы.

14.5.10.В ядерной физике массы частиц измеряются в энергетических еди-

ницах, когда вместо массы m дается энергия массы mc2 (1 МэВ = 1,6·10−19 Дж).

Определите в МэВ массы электрона, протона, π0-мезона и ψ-мезона, если массы

тическую энергию π -мезона, если счетчик, расположенный по направлению его движения, регистрирует γ-квант с энергией 270 МэВ.

14.5.12 . При каких кинетических энергиях π0-мезона γ-квант, возникающий при распаде π0 → γ + γ и летящий назад, может родить электрон-позитрон- ную пару при столкновении с тяжелым ядром?

14.5.13. Неподвижное ядро, распадаясь, испускает электрон с кинетической энергией Ee = 1, 73 МэВ и перпендикулярно к направлению движения электрона нейтрино с энергией Eν = 1 МэВ. Масса покоя нейтрино равна нулю. Чему будет равна кинетическая энергия ядра, если оставшаяся масса ядра M = 3,9 · 10−22 г.

14.5.14 . Масса и импульс состояния, которое получается при движении со скоростью v состояния с массой M и нулевым импульсом, равны γM и γMv0,

p

γ = 1/ 1 − (v2/c2). Докажите это утверждение для состояния, в котором движутся две невзаимодействующие частицы.

♦ 14.5.15. Движущаяся частица распадается на два γ-кванта с одинаковой массой, которые разлетаются под углом α друг к другу. С какой скоростью двигалась частица?

14.5.16. Быстрые протоны сталкиваются с неподвижными протонами. При какой кинетической энергии быстрых протонов могут рождаться π0-мезоны: p +

p→ p + p + π0? ψ-мезоны: p + p → p + p + ψ? протон-мезонные пары: p + p →

p+ p + (¯p + p)?

14.5.17.При какой минимальной кинетической энергии позитрона его столк-

новение с неподвижным электроном может вызвать появление протон-антипро- тонной пары: e+ + e− → p + p¯? Во сколько раз эта энергия больше минимальной кинетической энергии позитрона, который рождает протон-антипротонную пару при встречном столкновении с электроном?

♦ 14.5.18. Определите минимальную энергию электрона и позитрона, которые,

имея одинаковые скорости, направленные под углом α друг к другу, могут родить протон-антипротонную пару: e+ − e− → p + p¯.

14.5.19.а. С какой скоростью двигалось возбуждающее ядро массы M, если после испускания γ-кванта массы m оно остановилось? На сколько отличается масса и энергия возбужденного и невозбужденного ядра?

б. В каком диапазоне скоростей возбужденного ядра из задачи пункта а возможно следующее событие. Испущенный возбужденным ядром γ-квант поглощается невозбужденным неподвижным ядром.

14.5.20.Определите минимальную и максимальную энергии нейтрино, об-

разующихся при распаде π0-мезона с энергией 6 ГэВ: π0 → µ+ + e + ν.

14.5.21.В каком диапазоне энергий лежат кинетические энергии электронов

инейтрино, возникающих при распаде µ−-мезона: µ− → e− + ν + ν¯?

278

14.5.22. Какую максимальную энергию могут приобрести фотоны с энергией E = 10 эВ при рассеянии на встречном пучке электронов с энергией

Ee = 1010 эВ?

♦ 14.5.23. Фотон массы m сталкивается с неподвижным электроном. Определите массу фотона и электрона после столкновения, при котором фотон изменил направление движения на угол α.

14.5.24. Докажите, что свободный электрон не может ни поглотить, ни испустить фотон.

279

ОТВЕТЫ

Глава 1. КИНЕМАТИКА

§ 1.1. Движение с постоянной скоростью

1.1.1.v = 200 м/с.

1.1.2.v = 0,7 км/с; на юго-восток.

1.1.3.v = 3 м/с; в 1 м от потолка и 2 м от боковой стены.

1.1.4.На расстоянии 1,15 м от счетчика A.

1.1.6.l0 = l(v − u)/(v + u).

1.1.7.v = c(τ0 − τ)/(τ0 + τ).

1.1.8.ν0 = ν(w − u)/(w − v).

♦1.1.9. а. При t < l/v граница области — конус с вершиной, находящейся на расстоянии vt от конца стержня, переходящий в касающуюся его сферу радиуса ut. При t > l/v — сферы

с центрами на концах стержня и радиусами ut и u(t − l/v) с касательной к ним конической поверхностью. б . cos α = u/v.

♦1.1.10 . Из области, ограниченной углом α = 2 arcsin(u/v) с вершиной в точке A, биссек-

триса которого — шоссе.

√

1.1.11 . v = cl/ l2 − c2 t2.

1.1.12.u = v/ sin α.

♦1.1.13. См. рис.

1.1.14.Ордината и абсцисса точки пересечения графиков x1 = vt и x2 = a + v(t − t1)/2 дают время и координату точки соударения частиц: t0 = (2a − vt1)/v, x0 = 2a − vt1.

♦ 1.1.15. См. рис.; б) vср = 0, в) vср = 1 м/с.

♦1.1.16. См. рис.

♦1.1.17. См. рис. а) возвращение луча по координате x занимает очень малое время, соответственно на единицу длины люминесцирующей поверхности экрана попадает мало электро-

нов. См. рис. б) при τy/τx = m/n, где m и n — любые целые числа.

√

v sin α + c2 − v2 cos2 α

.

c2 − v2

1.1.19. β = 2α. В направлении, противоположном начальному.

1.1.20 . tg ϕ = 2ma/(nb), где m и n — любые целые числа.

1.1.21. (−cx, cy, cz), (−cx, −cy, −cz).

p

1.1.22.t/t = (r2 − h2)/(R2 − h2).

280