Задачи ЛП и методы их решения

4. Искусственные переменные.

49-58. Решить ЗЛП, используя метод искусственных переменных.

55.f = −2x1 + 2x2 + x3 + 2x4 − 3x5 → max

57.f = 5x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 − 3x5 → max

58.f = 2x1 + x2 − x3 + 3x4 − 2x5 → min

5. Теория двойственности.

59-71. Построить двойственные задачи к ЗЛП, заданным в условиях.

x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 , x5 ≤ 0

67.f = x1 + 2x2 − x3 + 4x4 − x5 + x6 → min

70.f = 3x2 − 2x3 + x4 → min

x j ≥ 0 , j 1:4

71. f = 4x1 + x2 + x3 + 2x4 + x5 → max

72-76. Используя теорию двойственности и графический метод, найти решения следующих ЗЛП.

72. f = 3ax1 +11x2 + 5bx3 + x4 → min

76. f = 6x1 + 3x2 − x3 − 2x4 → max

3x1 + 2x2 + x3 + 4x4 ≤ 0

2x1 + 2x2 − x3 − x4 =1 x2 ≥ 0 , x3 ≥ 0 , x4 ≥ 0 ,

77. Используя теорию двойственности, графический метод и способ исключения неизвестных, найти решения следующих ЗЛП.

x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 , x5 ≥ 0

224

78-80. Решить следующие ЗЛП, применив симплекс-метод к соответствующей двойственной задаче.

78.f = 3x1 + 2x2 + x3 → max

79. f =19x1 + x2 + 16x3 → max

80.f = 4x1 + 6x2 − 3x3 → max

225

7. Построение моделей экономических задач в виде ЗЛП.

81-88. Построить линейные модели в виде ЗЛП для задач, приведенных в условиях.

81. (задача о планировании выпуска продукции при ограниченных ресурсах)

Нефтеперерабатывающий завод производит за месяц 1 500 000 л алкилата, 1 200 000 л крекинг-бензина и 1 300 000 л изопентола. В результате смешивания этих компонентов в пропорциях 1:1:1 и 3:1:2 получается бензин сорта А и Б соответственно. Стоимость 1000 л бензина сорта А и Б соответственно равна 90 ед. и 120 ед.

Определить месячный план производства бензина сорта А и Б, максимизирующий стоимость выпущенной продукции.

82. (задача о диете)

Рацион кормления коров на молочной ферме может состоять из трех продуктов - сена, силоса и концентратов. Эти продукты содержат питательные вещества - белок, кальций и витамины. Численные данные представлены в таблице.

В расчете на одну корову суточные нормы потребления белка и кальция составляют не менее 2000 и 210 г соответственно. Потребление витаминов строго дозировано и должно быть равно 87 мг в сутки.

Составить самый дешевый рацион, если стоимость 1кг сена, силоса и концентрата равна соответственно 1,5 2 и 6 ед.

83.(матричная транспортная задача)

Вобласти имеются два цементных завода и три потребителя их продукции - домостроительных комбината. В таблице указаны суточные объемы производства цемента, суточные потребности в нем комбинатов и стоимость перевозки 1 т цемента от каждого завода к каждому комбинату.

226

Требуется составить план суточных перевозок цемента с целью минимизации транспортных расходов.

84.(задача о смесях)

Вметаллургический цех в качестве сырья поступает латунь (сплав меди с цинком) четырех типов с содержанием цинка 10, 20, 25 и 40 % по цене 10, 30, 40 и 60 ед. за 1 кг соответственно.

Вкаких пропорциях следует переплавлять это сырье в цехе, чтобы получить сплав (латунь), содержащий 30 % цинка и при этом самый дешевый ?

85.(задача о загрузке оборудования)

Цех выпускает три вида деталей, которые изготавливаются на трех станках. На рисунке показана технологическая схема изготовления детали каждого вида с указанием времени ее обработки на станках.

Станок 1 Станок 2 Станок 3

Суточный ресурс рабочего времени станков 1, 2 и 3 составляет соответственно 890, 920

и840 мин. Стоимость одной детали вида 1,2 и 3 равна соответственно 3,1 и 2 ед. Требуется составить суточный план производства с целью максимизации стоимости

выпущенной продукции.

86. (задача о ранце с дополнительными ограничениями)

Участник экспедиции укладывает рюкзак, и ему требуется решить, какие положить продукты. В его распоряжении имеются мясо, мука, сухое молоко и сахар. В рюкзаке для продуктов осталось лишь 45 дм3 объема, и нужно, чтобы суммарная масса продуктов не превосходила 35 кг. Врач экспедиции рекомендовал, чтобы мяса (по массе) было больше муки по крайней мере в два раза, муки не меньше молока, а молока по крайней мере в восемь раз больше, чем сахара.

Сколько и каких продуктов нужно положить в рюкзак, с тем чтобы суммарная калорийность продуктов была наибольшей ? Характеристики продуктов приведены в таблице.

227

87. (задача плоского прямоугольного раскроя)

На мебельной фабрике требуется раскроить 5000 прямоугольных листов фанеры размером 4 х 5 м каждый, с тем чтобы получить два вида прямоугольных деталей: деталь А должна иметь размер 2 х 2 м, деталь Б - размер 1 х 3 м. Необходимо, чтобы деталей А оказалось не меньше, чем деталей Б.

Каким образом следует производить раскрой, чтобы получить минимальное (по площади) количество отходов ?

88. (задача одномерного раскроя)

Для серийного производства некоторого изделия требуются комплекты заготовок профильного проката. Каждый комплект состоит из двух заготовок длиной 1800 мм и пяти заготовок длиной 700 мм.

Как следует раскроить 770 полос проката стандартной длины 6000 мм, чтобы получить наибольшее количество указанных комплектов ?

(далее)

228

ПРИЛОЖЕНИЯ

1. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Студенты заочного отделения экономического факультета выбирают вариант контрольной работы по следующему правилу:

На титульном листе контрольной работы необходимо указать фамилию, имя, отчество, номер

группы, специальность, номер зачетной книжки (студенческого билета), номер варианта. В

разделе 2 даются методические указания по выполнению заданий 1– 3 и рекомендации по оформлению решений. В разделе 3 приведен пример выполнения всей контрольной работы.