КР 1-2 Высшая математика

А₂(1; -1; 0):

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»

Институт информационных технологий

Специальность: Информационные системы и технологии в экономике. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

По курсу «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

Студент-заочник 1 курса

Группы № 282322

№ зачётки: 25

ФИО:

Иванов Иван Иванович

Адрес:

Тел. моб: Проверил:

Минск, 2012

Задание 65

Найти пределы последовательностей:

а)

б)

в)

Решение:

а) Имеем неопределенность типа , чтобы избавиться от нее проведем преобразование выражения:

Разделим в первом пределе числитель и знаменатель на n, а во втором – на n²:

б) Имеем неопределенность типа , чтобы избавиться от нее проведем преобразование выражения:

Разделим числитель и знаменатель на n²:

в) Здесь имеет место неопределенность вида . Преобразуем выражение и воспользуемся вторым замечательным пределом :

Ответ: а) 0; б) ; в) е ^{- 4}

Задание 75

Найти производную заданных функций:

а) б)

Решение:

а) =

=

Воспользуемся правилом дифференцирования сложных функций

(vⁿ)' = n v^{n - 1} v ', где v = , в одном случае и v = - в другом случае. Получаем:

Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функций

(arcsin u)′ = , где u =.

Получим

б)

Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функций

, где .

Получим

Ответ: а) ; б)

Задание 85

Найти предел функции :

1) не пользуясь правилом Лопиталя;

2) используя правило Лопиталя.

Решение:

1. При непосредственной подстановке в выражение значения x = 1 получаем неопределенность. Чтобы избавиться от нее, введем замену переменной:

х - π = t, x = π + t, t  0 при х  π.

Тогда

При t  0 имеем бесконечно малые величины sin 3t и , которые заменим эквивалентными им величинами: sin 3t ~ 3t, ~ :

2. Так как имеем неопределенность, воспользуемся правилом Лопиталя:

Опять получили неопределенность , поэтому повторно воспользуемся правилом Лопиталя:

Ответ: 18

Задание 95

Дана функция .

1) вычислить все частные производные первого порядка;

2) найти производную в точке М₀ (1; 1; 1) по направлению вектора

;

3) найти

Решение:

1) Находим частные производные функции u= u(x,у):

2) Находим производную по направлению вектора :

Находим направляющие косинусы вектора :

cosα =

cosβ =

cosγ =

Находим значения частных производных в точке М₀:

Находим производную по направлению вектора в точке М₀ (1; 1; 1):

3) Находим градиент

Ответ: 1)

2) 0; 3) ;

Задание 105

Дана функция

Вычислить значение ее частной производной четвертого порядка в точке

Решение

Найдем частные производные:

Вычислим значение производной в точке :

Ответ: 54

Задание 115

Найти неопределенные интегралы:

а) б) в) г)

Решение:

а)

Преобразуем подинтегральное выражение

Сделаем замену переменной: t = , dt = .

=

_{Вернемся к переменной х:}

б)

Найдем искомый интеграл методом замены переменной. Введем новую переменную t = sin3x. Тогда dt = 3cos3x dx, cos3x dx = dt/3.

Имеем

_{Вернемся к переменной х:}

в)

Применим метод интегрирования по частям, для чего воспользуемся формулой:

Положим u = =3х² + х

Тогда = (3х² + х )  =6x + 1; du = (6x + 1)dх

Повторным интегрированием по частям найдем интеграл .

х = u, du = dx

Тогда искомый интеграл

г)

Преобразуем подинтегральное выражение:

Вернемся к переменной х:

Ответ:а); б)

в) ;

г)

14