vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
(Второй постулат иногда называют «условием частот Бора». По существу в фотонной модели он выражает закон сохранения энергии.)
•Таким образом, частота излучения определяется не частотой периодического движения заряженной частицы в атоме (как следовало бы из положений классической физики), а разностью энергий двух стационарных состояний.
•Интересно, что вплоть до 1924 Бор оставался противником фотонной теории Эйнштейна
и считал, что излучение происходит в виде максвелловской монохроматической электромагнитной волны.
• При принятии «постулатов Бора» линейчатый характер атомных спектров
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
объясняется тем, что атомы могут находиться лишь в состояниях с дискретными значениями энергии, а испускание или поглощение излучение происходит при переходах между этими состояниями.
•Проясняется и смысл «спектральных термов»: для перехода атома из
стационарного состояния с энергией n в стационарное состояние с энергиейm и в соответствии со вторым постулатом (т.к. = c/ ):
Сравнивая с формулировкой комбинационного принципа
получаем
(Поскольку спектральные термы были определены Ритцем как положительные величины, получается, что энергии стационарных состояний отрицательны. Это не должно смущать – значения энергии всегда определяются с точностью до постоянной. В частности, потенциальную энергию взаимодействия разноименных зарядов обычно считают нулевой при бесконечном расстоянии между ними и отрицательной – при
конечном.)
8
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
• Для частного случая атома водорода термы задаются формулой Бальмера
T (n) = RnH2
•Следовательно, энергии стационарных состояний, отсчитываемых «вниз» от нулевого уровня:
•Подставив значения постоянных Ридберга и Планка, для n =1 получим энергию стационарного состояния с наименьшей энергией – основного состояния атома водорода:
•В этом состоянии пребывает невозбужденный атом.
Простейшая схема уровней внутренней энергии атома водорода с первыми
тремя сериями линейчатого спектра 9
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
• Энергия первого возбужденного состояния (n =2) выше основного приблизительно на 10.2 эВ (см. по левой шкале). Еще выше – второе возбужденное состояние, и т.д.
•Линиями показаны переходы между состояниями, цифры указывают соответствующие длины волн в нанометрах.
•Переходы в основное состояние из всех вышележащих дают УФ серию Лаймана.
•Переходы на второй уровень энергии определяют серию Бальмера (видимый свет и ближний УФ), на третий – серию Пашена (ИК).
Простейшая схема уровней внутренней энергии атома водорода с первыми
тремя сериями линейчатого спектра 10
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
•Комбинируя классические и квантовые представления, Бору удалось установить связь структуры линейчатых спектров водорода, описываемых эмпирической формулой Бальмера, со структурой атома.
•Это позволило выразить постоянную Ридберга через мировые константы.
vk5.com/club152685050.3. Модель водородоподобного| vk.com/id446425943 атома по Бору
•Постулаты Бора – важнейший шаг от классической физики к квантовой теории. Однако, разрыв с классической физикой еще не был полным.
•Бором и последователями был развил подход, который теперь называют «старой квантовой теорией» (или «старой квантовой механикой»).
•В ней электроны и другие частицы движется по траекториям, задаваемым
классической физикой. (Далее будет показано, что понятие траектории для них не может быть определено – как и для фотонов.)
•Затем из непрерывного множества таких траекторий («состояний движения»), разрешаемых классической физикой, на основании специального дополнительного (по отношению к двум рассмотренным ранее) постулата отбирается дискретное множество квантовых состояний.
•Пример этого подхода – боровская модель атома водорода. В ней принята
планетарная модель атома Резерфорда: вокруг неподвижного положительно заряженного ядра по круговой орбите движется электрон массы m.
•vk.com/club152685050Бор рассмотрел| vk«водородоподобный.com/id446425943 » атом, состоящий из ядра с зарядом +Ze и одного электрона.
•При Z=1 это атом водорода, при Z=2 -- ион гелия, при Z=3 – двукратно ионизованный атом лития, и т.д.
•Взаимодействие между ядром и электроном считается кулоновским.
•При этом разрешенными считаются лишь те круговые орбиты радиуса an , для которых момент количества движения электрона L кратен величине
ħ=h/ 2 (редуцированная постоянная Планка):
Ln = mvn an = n ħ , |
где vn -- скорость для орбиты «n». |
Изначально постоянная Планка вводилась именно для определения величины кванта -- но кванта энергии. В оптических спектрах не видно эквидистантных (равноудаленных друг от друга) линий. Поэтому в модели Бора в качестве квантуемой сразу выбрана другая величина. Тем более, что ее размерность совпадает с размерностью постоянной Планка. Решение задачи «от ответа».
• Позднее Зоммерфельд предложил более общее правило квантования
атомных орбит.
2
|
|
|
|
2 |
vk.com/club152685050 | vk.com/id4464259434 |
an |
= n |
2 |
|
0 |
|
|
|
Ze2m
•Радиус электронной орбиты основного состояния атома водорода (n=1, Z=1)
|
a0 |
= |
4 |
0 |
2 |
= 0.529177... |
Å -- «боровский радиус». |
Соответствует |
|
|
|
|
e2 m |
|
|
|
|
наблюдаемому размеру атома. |
|
|
|
|
|
|
|
•Далее определим энергию n-ного электронного состояния как сумму кинетической и потенциальной энергий электрона:
|
|
|
|
|
m |
2 |
|
|
|
Ze |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = |
n |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 0an |
|
|
|
|
|
|
|
m |
2 |
|
|
|
Ze2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Но для равновесной орбиты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, или |
|
|
|
|
|
a |
= |
|
4 |
0 |
a2 |
|
|
2 |
|
|
Ze2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
4 0an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ze2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Итого: |
|
|
|
|
|
|
|
n = |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
. Подставим выражение для an : |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
0an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
Ze2 |
|
|
Ze2m 1 |
|
|
|
mZ 2e4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
2 4 0 |
|
|
4 0 n |
|
|
|
|
(4 0 ) 2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mZ 2e4 |
1 |
|
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943 |
n = |
− |
|
|
|
|
|
|
(4 |
0 |
)2 2 2 |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
•Энергия основного состояния атома водорода (n=1, Z=1) оказывается приблизительно равной 1 – 13.6 эВ.
•Сравнивая полученное выражение при Z=1 с выражением для энергии стационарного состояния через постоянную Ридберга
, видим, что формулы совпадут при
R = |
me 4 |
|
|
1 |
= |
|
|
me 4 |
(4 |
0 |
)2 |
2 2 |
2 c |
(4 |
0 |
)2 |
2 3c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•Таким образом, Бору удалось выразить через мировые константы эмпирически введенную постоянную Ридберга.
