Примеры решения задач

Пример 1. Найти собственную длину стержня , если в - системе отсчета его скорость , длина м и угол между ним и направлением движения .

Р е ш е н и е. Лоренцевскому сокращению подвергаются только размеры тела в направлении движения (оси и в и системах). Поперечные размеры тела вдоль осей - и - в - и - системах отсчета не претерпевают Лоренцевского сокращения длины. Пусть

Тогда

С учетом записанных формул можно получить

,

Исключая из этих двух уравнений угол с помощью соотношения имеем

Окончательно

м

Пример 2. С какой скоростью двигались в системе отсчета часы, если за время =5с (в системе) они отстали от часов этой системы на с?

Р е ш е н и е. Пусть времени в системе соответствует собственное время в системе. Согласно преобразованиям Лоренца

.

По условию задачи . Откуда имеем

или

После несложных преобразований находим

Пример 3. Два стержня одинаковой собственной длины движутся навстречу друг к другу параллельно общей горизонтальной оси. В системе отсчета, связанной с одним из стержней, промежуток времени между моментами совпадения левых и правых концов стержней оказался равным . Какова скорость одного стержня относительно другого?

Р е ш е н и е. Свяжем с одним из стержней, который будем условно считать неподвижным, систему, а со вторым движущимся стержнем систему отсчтета. Благодаря эффекту Лоренцевского сокращения длина второго стержня в системе будет

Если этот стержень пролетает мимо первого стержня слева направо, и в некоторый момент времени его левый конец совпадает с левым концом первого стержня (неподвижного в системе), то в этот момент правый конец второго стержня еще не будет совмещен с правым концом первого стержня, поскольку ему надо еще пройти расстояние ( со скоростью . Тогда

.

Исключая из записанных соотношений величину , получим

.

После возведения в квадрат и сокращения в левой и правой части найдем

.

Пример 4. Рассмотрим задачу, сформулированную в вопросе 5 из «Вопросов для самоконтроля».

Р е ш е н и е. В К-СО , относительно которой частицы двигаются со скоростью v, расстояние между ними равно . В этой системе отсчета это расстояние испытало Лоренцево сокращение длины. Поэтому согласно формуле (2)

Релятивистская динамика

Нерелятивистское определение импульса оказывается неадекватным в СТО. Во многих случаях в задачах нерелятивистской динамики при таком определении импульса оказывается несправедливым закон сохранения импульса (ЗСИ). В то же время ЗСИ отражает такое важное свойство окружающего нас пространства как однородность (механические свойства окружающего нас пространства не меняются при любом параллельном переносе системы как целого в пространстве). В теоретической физике показывается, что ЗСИ будет выполняться и в релятивистской динамике, если в качестве импульса использовать определение

(5)

Релятивистское выражение второго закона Ньютона при этом имеет вид

(6)

Если для ускорения принять обычное определение и выполнить дифференцирование в правой части (6), то можно получить уравнение

(7)

где

.

Из формулы (7) можно понять, что при скоростях, близких к скорости света, масса уже не является мерой инертности тела, как в классической механике, где Ускорение тела уже не будет в общем случае совпадать по направлению с силой. Наряду с вектором, направленным вдоль вектора ускорения в правой части релятивистского уравнения движения (5) в общем случае появляется слагаемое ~ которое отсутствует в классическом уравнении

Для энергии свободной частицы массы , движущейся со скоростью в СТО получается выражение

(8)

откуда видно, что в отличие от классической механики энергия свободной частицы не обращается в нуль при а равна Величина носит название энергии покоя. Формулы (5) ÷ (8) справедливы и для составных тел, состоящих из многих частиц. Под следует понимать полную массу тела, которая определяется соотношением

, (9)

где и – энергия и импульс тела как целого. Величина связана со скоростью движения тела как целого соотношением

(10)

Из формул (9) и (10) легко получить (5) и (8), однако в случае частиц с массой равной нулю (фотоны) соотношения (9) и (10) более удобны, поскольку они не содержат неопределенностей (при обращается в нуль выражение ). В то же время из формулы (10) для фотона имеем , а из соотношения (9) при этом получим . Энергия покоящегося составного тела содержит в себе помимо энергии покоя входящих в его состав частиц, также кинетическую энергию частиц и энергию их взаимодействия. Это приводит к такому нетривиальному свойству релятивистской массы как ее неаддитивность: масса составного тела не равна сумме масс составляющих его частиц. Разность носит название дефекта масс, а само существование этой разности лежит в основе всей энергетики, причем не только ядерной, но и самой традиционной: например, при обычной реакции сгорания дефект массы исходного топлива и продуктов сгорания выделяется в виде тепловой энергии. Согласно формуле (9) в релятивистской динамике имеет место закон сохранения массы: масса замкнутой системы остается постоянной при всех процессах, которые происходят в системе. Это объясняется тем, что в замкнутой системе сохраняется энергия и величина импульса , а значит сохраняется и комбинация Можно показать, что масса является релятивистским инвариантом, наряду со скоростью света и интервалом Интересно, что энергия и импульс не будучи сами релятивистскими инвариантными величинами вместе образуют 4-х вектор который образует комбинацию которая является релятивистским инвариантом.