3. Додавання, множення, піднесення до степеня.

Означення: Сумою двох додатних раціональних чисел називається таке раціональне число, яке знаходиться за таким правилом

(1)

Т: Сума двох невід’ємних раціональних чисел існує, є невід’ємним числом і задається єдиним чином.

Доведення: Існування випливає із однозначності дії додавання на множині натуральних чисел. Припустимо, що сумою може бути інше число. Розглянемо і . Тоді , . Розглянемо суму (2)

Покажемо рівність правих частин в (1) і (2). За дистрибутивним законом . Отже, сума єдина.

Означення: під спрощенням дробу розуміють заміну його рівним нескоротним дробом і виділенням з нього цілої частини, якщо дріб неправильний.

Означення: Під операцією виділення цілої частини з неправильного дробу розуміють представлення дробу у вигляді суми цілого числа і правильного дробу.

Т: Операція виділення цілої частини з неправильного дробу завжди можлива.

Доведення: Нехай маємо дріб де .

1. Розглянемо випадок, коли . Тоді .

2. Розглянемо випадок, коли . За означенням дії ділення і теоремою про діленням з остачею маємо . Тоді = (за теоремою про ділення суми) = = (за означенням скорочення) = . Оскільки, , то дріб – правильний.

Суму записують і називають мішаним дробом.

Означення: добутком двох дробів називається дріб, що обчислюється за правилом , п, р .

Властивості: Якщо число множимо на правильний дріб, то результат зменшується. Якщо число множимо на неправильний дріб, то результат збільшується.

Означення: Множення числа а на дріб називається знаходженням величини дробу даного числа.

Правило: Щоб знайти величину дробу даного числа потрібно це число помножити на цей дріб.

Операція піднесення до степеня означається аналогічно операції піднесення до степеня на множині невід’ємних цілих чисел.

4. Основні закони додавання, множення.

Усі закони, які ми розглядали на множині невід’ємних цілих чисел мають місце і на множині невід’ємних раціональних чисел. Проілюструємо один із них: комутативний закон дії додавання.

Т: Для будь-який невід’ємних раціональних чисел а та має місце рівність .

Доведення: Оскільки і , то = .

5. Віднімання, ділення, добування кореня.

Операція віднімання означується аналогічно до операції віднімання на множині невід’ємних цілих чисел.

Нехай – зменшуване, – від’ємник. Якщо різниця – існує, то для неї виконується умова = + .

Дія віднімання виконується за умови, якщо . Якщо така різниця існує, то = . В цьому легко переконатись, якщо знайдене підставити у рівність означення дії віднімання: = + = = = = = .

Т: Якщо , то різниця існує і єдиним чином.

Доведення провести самостійно.

Означення: Якщо – ділене, а дріб – дільник, то частка , якщо вона існує задовольняє умові: = .

Знайдемо . = .

Доведення: Доведемо, що саме такий. = = = = .

Т: В множині раціональних додатних чисел частка завжди існує, якщо дільник не дорівнює 0 і вона єдина. (розширення множини цілих невід’ємних чисел).

Доведення: Доведення аналогічне доведенню теореми про існування частки на множині цілих чисел. Доведення провести самостійно.

Означення: Відношенням числа за величиною а його дробу називається ділення числа а на дріб .

Щоб знайти число за величиною його дробу досить цю величину поділити на цей дріб.

Т: Для будь-якого а існує таке число b , що аb = 1.

Доведення: Якщо дано а , то b , . Число а можна подати у вигляді дробу . Перемножимо .

Означення: Правильним буде і обернене твердження. При цьому числа а, b називаються взаємно оберненими. Для 0 не існує оберненого.

Усі властивості дії множення мають місце для дії ділення. Неможливе лише ділення на нуль.

Операція добування кореня означається аналогічно до операції добування кореня на множині цілих невід’ємних чисел.