Глава 11. Функции нескольких переменных

1 Область определения функции нескольких переменных

Пусть даны два числовых множества и , где некоторая область из пространства , а некоторое подмножество множества . Если каждой паре чисел по некоторому правилу (закону) поставлено в соответствие единственное число , то говорят, что на множестве задана функция двух переменных . При этом и называются независимыми переменными (или аргументами), зависимой переменной (или функцией), множество областью определения функции, а множеством значений функции.

З адача.

Найти область определения функции .

Решение. Функция определена при условии , т.е. . Это круг с центром в начале координат и радиусом 1, включающий свою границу, т.е. окружность .

2 Предел функции нескольких переменных

Число называется пределом функции при , если для любого числа найдется такая окрестность точки , что для любой точки из этой окрестности (за исключением, быть может, точки ) имеет место неравенство .

При этом пишут или , так как при , очевидно , ,..., .

Задача.

Найти предел .

Решение.

.

Ответ. 2.

3 Частные производные функции нескольких переменных

Частной производной функции по переменной , в точке называется предел (если таковой существует) отношения частного приращения к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю:

Аналогично определяется частная производная

Для обозначения частных производных функции двух переменных применяются следующие символы:

.

Задача.

Найти частные производные функции .

Решение.

4 Частные производные высших порядков

Пусть имеем некоторую функцию от двух переменных и . Ее частные производные и являются функциями от переменных и . В некоторых случаях для этих функций существуют снова частные производные, называемые частными производными второго порядка (или просто вторыми частными производными):

,

,

,

.

Теорема. Если в некоторой окрестности точки производные и существуют и непрерывны в самой точке , то они равны между собой в этой точке, т.е. имеет место равенство:

.

Задача.

Пусть

Имеем ,

,

,

, .

5 Производная сложной функции. Случай одной независимой переменной.

Теорема. Если функции и дифференцируемы в точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке , то сложная функция также дифференцируема в точке и имеет место формула

.

Задача.

Пусть , где .

Решение.

.

Если , . Тогда является сложной функцией переменной , где

.

Задача.

Пусть , где .

Решение.

.

6 Производная сложной функции. Случай нескольких независимых переменных.

Если функции , дифференцируемы в точке , а функция дифференцируема в точке , где , то сложная функция дифференцируема в точке , причем ее частные производные в этой точке находятся по формулам

Задача.

Пусть , ,

Решение.

7 Полный дифференциал функции

Выражение называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где ₁ и ₂ – бесконечно малые функции при х  0 и у  0 соответственно.

Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно х и у приращения функции z в точке (х, у).

Для функции произвольного числа переменных:

Задача.

Найти полный дифференциал функции .

8 Производная неявно заданной функции

Если - дифференцируемая функция переменных , и в некоторой области D и , то уравнение определяет однозначно неявную функцию , также дифференцируемую, и

,

Задача.

Найти производную неявной функции , заданной уравнением , и вычислить ее значение в точке .

Решение. Введем обозначение . Тогда . Следовательно,

и .

9 Приближенные вычисления с помощью дифференциала

В приближенных вычислениях пользуются данной формулой.

Задача.

Вычислить приближенно с помощью дифференциала .

Решение.

Рассмотрим функцию .

или

.

Положим теперь ; тогда

. Следовательно,

.

Или .

10 Касательная плоскость к поверхности

П лоскость, проходящая через точку , называется касательной плоскостью к поверхности в точке , если угол между секущей и этой плоскостью стремится к нулю, когда расстояние стремится к нулю, каким бы образом точка на поверхности ни стремилась к точке .

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке , если плоскость задана неявно:

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке , если плоскость задана явно:

Задача.

Найти уравнение касательной плоскости к сфере в точке , где .

Решение.

Подставляя и в уравнение сферы, находим , т.е. . Запишем уравнение сферы в неявном виде: , откуда

.

Найдем , , .

Уравнение касательной плоскости: , или

- плоскость параллельна оси .

11 Нормаль к поверхности

Уравнение нормали в точке к поверхности, заданной неявно, запишется в виде:

.

Уравнение нормали в точке к поверхности, заданной явно, запишется в виде:

Задача.

Записать уравнения нормали к поверхности в точке .

Решение.

Поскольку , то

, .

Уравнение нормали: .

12 Экстремум функции нескольких переменных

Алгоритм исследования функции на экстремум

1. Проверить необходимое условие экстремума:

1. Найти частные производные первого порядка

2. Решив систему уравнений

найти точки возможного экстремума.

2. Проверить достаточные условия экстремума:

1. Найти частные производные второго порядка

2. Составить матрицу , где , , .

Задача.

Исследовать на экстремум функцию

.

Решение.

Областью определения является вся плоскость . Найдем критические точки.

, .

Приравнивая эти производные нулю, приходим к системе:

Решая эту систему уравнений, находим четыре критические точки

.

Теперь найдем вторые частные производные: и составим выражение

.

Тогда:

1) точка минимума;

2. , в точке экстремума нет;

3. , в точке экстремума нет;

4. точка максимума.

Итак, данная функция имеет два экстремума: в точке минимум, и в точке максимум,