Глава 19. Гармонический анализ

1. Четная функция

Функция , определенная на множестве , называется четной, если для любого значения из выполняются условия

и .

График четной функции симметричен относительно .

Задача.

Укажите график четной функции.

Варианты ответов:

1) 2)

3) 4)

Решение.

График четной функции симметричен относительно оси , поэтому рис. №2.

Ответ. №2.

2. Нечетная функция

Функция , определенная на множестве , называется нечетной, если для любого значения из выполняются условия

и .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Задача.

Укажите график нечетной функции.

Варианты ответов:

1) 2)

3) 4)

Решение.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки О), поэтому рис. №3.

Ответ. №3.

3. Периодическая функция

Функция , определенная на множестве , называется периодической на этом множестве, если существует такое число , что при каждом значение и . При этом Т называется периодом функции.

Для построения графика периодической функции периода достаточно построить его на любом отрезке длины Т и периодически продолжить его во всю область определения.

Элементарными периодическими функциями являются: , , ,

Задача.

Укажите график периодической функции

Варианты ответов:

1) 2)

3) 4)

Ответ. №4.

Задача.

Периодической является функция…

Варианты ответов: 1) 2)

3) 4)

Решение.

Функция, описываемая уравнением №3 является периодической.

Ответ. №3.

4. Простые

гармонические колебания

5. Период

колебания

Колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону или , называются простыми гармоническими колебаниями.

А – амплитуда колебания,

- фаза колебания,

- частота колебания,

- начальная фаза.

Задача.

Гармонические колебания с амплитудой равной 5, частотой равной 3 и начальной фазой описываются законом…

Решение.

Задача.

Гармонические колебания с амплитудой D, частотой и начальной фазой определяются уравнением…

Варианты ответов:

1) 2)

3) 4)

Ответ. №4.

6. Ряд Фурье функции

Рядом Фурье периодической функции с периодом , определенной на отрезке , называется функциональный ряд

,

где ,

,

,

Величина интегралов в данных формулах не изменится, если пределами их взять и .

Тогда:

,

,

Задача.

График функции при и его периодическое продолжение заданы на рисунке

Тогда ряд Фурье для этой функции имеет вид…

Варианты ответов: 1)

2)

3) 4)

Решение.

По рисунку видно, что функция - общего вида, поэтому ряд Фурье для нее имеет вид №3.

Ответ. №3.

7. Ряд Фурье для четной функции

Ряд Фурье для четной функции содержит только свободный член и косинусы, т.е.

, где

,

,

,

Задача.

Функция , заданная на отрезке является четной. Тогда разложение этой функции в ряд Фурье может иметь вид…

Варианты ответов:

1)

2)

3)

4)

Решение.

Т.к. является четной функцией, то . Поэтому разложение этой функции в ряд Фурье может иметь вид 4.

Ответ. №4.

8. Ряд Фурье для нечетной функции

Ряд Фурье для нечетной функции состоит только из синусов

, где , ,

,

Задача.

Дана функция , . Тогда коэффициент разложения в ряд Фурье равен…

Решение.

Функция является нечетной, поэтому коэффициент равен 0. Следовательно, .

Ответ. 0.

9. Условия

Дирихле (разложения функции в ряд Фурье)

1) функция должна быть непрерывной в промежутке значения х от до или может иметь в указанном промежутке конечное число разрывов первого рода.

2) функция должна иметь конечное число максимумов и минимумов или не иметь их совсем.

10. Теорема

Дирихле

Если функция с областью существования удовлетворяет условиям Дирихле, то

1) ряд Фурье функции сходится в указанном промежутке значений х;

2) сумма этого ряда равна функции во всех точках ее непрерывности;

3) в каждой точке разрыва функции сумма ряда равна величине ординаты средней точки скачка графика функции;

4) при и сумма ряда одинакова и равна

.

Задача.

График периодической функции имеет вид:

- сумма ряда Фурье для этой функции. Тогда сумма равна…

Решение.

В точке функция терпит разрыв, поэтому

.

Ответ. .