Основы математической логики

Математические подходы к вопросам логики были впервые указаны Джорджем Булем. В честь него алгебру высказываний называют так же «Булевой Алгеброй». Алгебра высказываний или Булева алгебра, составляет основу математической логики. При чём здесь используется тот же язык формул, который характерен для математики вообще. Алгебра логики, или Булева алгебра – это раздел математики нашедший большое практическое применение в технической области знаний. Она используется для решения сложных математических задач, при написании программ и алгоритмов, разработке компьютеров, электронных устройств и так далее.

Математическая логика имеет непосредственную связь с теорией проектирования ЭВМ.

Поведение различных компонентов ЭВМ может быть описано с помощью логических функций и законов математичкой логики. В этой особой Булевой алгебры для описания схем используется особый тип алгебры, в которой все переменные и функции могут принимать только 2 значения (0 и 1).

Объекты и операции алгебры высказываний

Высказывание – это истинное или ложное повествовательное предположение. Повествовательное предложение, в котором говорится об одном единственном событии называют простым высказыванием.

Высказывание принято обозначать большими буквами латинского алфавита.

Если высказывание A истинно, будем писать A = 1. Если высказывание A ложно, будем писать A = 0

В алгебре высказываний определены действия над высказываниями, выполняя которые получаются сложные высказывания.

Объединение двух или нескольких высказываний в одно с помощью союза И называется операцией логического умножения или конъюнкция.

Возможны следующие варианты записи конъюнкции:

F = A _^ B

F = A · B

F = A & B

A	A	A & B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Истинность логического произведение устанавливается с помощью таблицы:

Логическое умножение истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.

Объединение двух или нескольких высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией.

Приняты две форма записи дизъюнкции:

F = A _\/ B

F = A + B

Таблица истинности имеет следующий вид:

A	A	A \/ B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Логическое сложение истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из входящих в него простых высказываний истинно.

Присоединение союза «НЕ» к этому высказыванию называется операцией отрицания.

Отрицание обозначается:

_

F = A

F = ˥A

Таблицы истинности

Высказывания, образованные при помощи нескольких операций логики (сложения, умножение и отрицание), будем называть сложными. Истинность всего сложного высказывания устанавливается с помощью таблиц называемых Таблицами истинности.

Таблица истинности – это таблица которая содержит всевозможные комбинации значений входных переменных вместе с соответствующими им значениями выходных переменных.