Односторонние пределы функции

В приложениях математического анализа встречаются так называемые односторонние пределы.

Введем понятия левой и правой окрестностей точки а (а – число).

Определение 1

1. любой интервал , правым концом которого является точка а, называется ее левой окрестностью.

2. любой интервал , левым концом которого является точка а, называется ее правой окрестностью.

Запись означает, что х принимает лишь значения, принадлежащие некоторой левой окрестности точки а, то есть

Запись означает, что х принимает лишь значения, принадлежащие некоторой правой окрестности точки а, то есть

Определение 2

1. Формула , где функция f(x) определена на множестве Х и а – предельная точка этого множества, а А – число, обозначает, что , такая, что |f(x)-A|< при (1)

2. Формула , где функция f(x) определена на множестве Х и а – предельная точка этого множества, а B – число, обозначает, что , такая, что |f(x)-B|< при (2)

Для чисел A и B используется следующая символическая запись A=f(a-0), B=f(a+0)

Определение 3

Под окрестностью символа понимается любой интервал , и под окрестностью символа понимается любой интервал .

Формулы

и (3) интерпретируются таки образом

и , где - произвольно, и

Пример

Имеем и

Замечание

Для существования предела функции f(x) при (а – число) необходимо и достаточно выполнение равенства f(a-0)=f(a+0).

Бесконечно малые функции

Определение

Функция называется бесконечно малой при (а – вещественное число или символ ), если , что .

Это эквивалентно (2) или (3).

Аналогично определяется бесконечно малая функция при , , , .

Замечание

Если (4), то в силу определения предела функции получаем, что f(x)-A – бесконечно малая функция. Таким образом, из (4) получаем представление функции f(x), имеющей предел А при в виде

(5), где .

Обратно, если для функции f(x) справедлива формула (5), то число А является пределом функции при . Из формулы (5) вытекает важная лемма о сохранении знака функции.

Лемма

Если , то в некоторой окрестности знак функции f(x) совпадает со знаком числа А.

Действительно, пусть . Выбирая окрестность так, чтобы при в силу равенства (5) будем иметь

, где

Sgn x=+1, при x>0

Sgn 0=0

Sgn x=-1, при x<0

Замечание Функция в некоторой окрестности по смыслу определения (1) является бесконечно малой при .

Бесконечно большие функции

Определение

Функция f(x) называется бесконечно большой при (а – число или символ при (1), если для точки a, что |f(x)|>E при (2) для всех допустимых значений аргумента х.

Если функция f(x) - бесконечно большая при , то условно пишут

(3)

Пример при

Записи и соответственно означают

при и при

Лемма

1. Если при , то при

2. Если при , то при

Основные теоремы о бесконечно малых функциях

Теорема 1

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций при есть функция бесконечно малая при .

Доказательство

Для простоты ограничимся тремя функциями при .

Рассмотрим их алгебраическую сумму .

Пусть . В силу определения бесконечно малой функции существуют три, характеризуемые окрестности , такие что

при (1) при (2) при (3)

представляет окрестность точки а, в которой одновременно будут выполнены неравенства (1),(2),(3). Таким образом, | , если Теорем доказана.

В частности разность двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Определение

Функция f(x) ограничена при , если она ограничена в некоторой окрестности .

Теорема 2

Произведение ограниченной при функции на бесконечно малую при функцию, есть функция бесконечно малая функция при .

Доказательство

Пусть при , где - некоторая окрестность точки а и при . Тогда , что при Отсюда имеем , если Таким образом,

при .

Теорема 3

Произведение конечного числа бесконечно малых функций при есть функция бесконечно малая при .

Доказательство

1. Рассмотрим сначала две функции при . Полагая и рассуждая также как в теореме 1, можно сказать, что , что и при Отсюда , если Следовательно, при .

2) Если имеем три функции при , то, используя первую часть доказательства, имеем при .

Следствие

Целая положительная степень бесконечно малой функции при есть бесконечно малая функция.

Замечание

Отношение двух бесконечно малых функций при может быть функцией произвольного поведения.

Пример

при .

; ;

С помощью действия деления можно сравнивать между собой бесконечно малые.

Определение 1

Две бесконечно малые функции при имеют одинаковый порядок при , если их отношение имеет конечный предел, отличный от нуля, то есть

Определение 2

При порядок бесконечно малой функции выше порядка бесконечно малой функции , если отношение есть бесконечно малая функция при , то есть . В этом случае пишут при .

Определение 3

При бесконечно малая функция имеет порядок n (n – натуральное число) относительно бесконечно малой функции при , если

12