4.3. Расчет динамических параметров системы.

4.3.1. Выбор передаточных функций элементов системы.

Выберите передаточные функции элементов системы. Для определения передаточной функции всей системы необходимо по справочным данным выбрать передаточные функции датчика, регу­лятора и исполнительного механизма (они выбираются в соответствии со статическими характеристиками основных звеньев системы и должны быть записаны в исходных данных, эти формулы просто нужно переписать оттуда).

Передаточная функция объекта регулирования дана в задании и определяется выражением:

Если проанализировать функцию, то можно сделать вывод, что для любого N передаточная функция объекта регулирования будет иметь вид:

W_о.р (p) =

Передаточная функция датчика -

Передаточная функция регулятора -

Передаточная функция исполнительного механизма –

(в формулах вместо N подставьте свое значение и вычислите коэффициенты)

4.3.2. Определение передаточной функции системы.

Определите передаточную функцию системы. В начале определите передаточную функцию обратной связи (Wо.с), для ее определения необ­ходимо воспользоваться формулой:

Подставив выражения передаточных функций в эту формулу, получите передаточную функцию обратной связи (Wо.с).

Для определения передаточной функции системы воспользуйтесь вы­ражением:

Подставьте сюда все составляющие передаточные функции, преоб­разуйте выражение. В результате передаточная функция системы будет описываться выражением, в котором:

• числитель – это знаменатель передаточной функции обратной связи;

• знаменатель – выражение, равное р * на знаменатель передаточной функции обратной связи + числитель передаточной функции обратной связи.

Числовой пример выполнения пунктов 4.3.1.- 4.3.2. смотрите /2 стр. 285,286/, /7 практическая работа № 5/

4.3.3. Нахождение временной функции переходного процесса.

Найдите временную функцию переходного процесса и постройте график переходной функции системы. Для этого необ­ходимо упростить выражение передаточной функции системы. Целесообразно исключить из выраже­ния передаточной функции в числителе третью и вторую степени р, а в знаменателе четвертую и третью. Для дальнейшего исследования передаточная функция системы будет иметь вид:

• числитель – коэффициент*р (может быть и свободный член);

• знаменатель – квадратное уравнение

В знаменателе квадратное уравнение необходимо преобразовать: коэффициент при р² должен быть =1, поэтому все составляющие выражения передаточной функции системы нужно разделить на этот коэффициент.

Числовой пример смотрите /2 стр. 286 /, /7 практическая работа № 5/

Процесс построения переходных функций системы регулирования по передаточным функциям имеет в теории управления важное значение. По этим характеристикам определяются все параметры системы и качество регулирования.

Для построения переходных функций системы регулиро­вания по передаточным функциям необходимо применять обратное преобразование Лапласа или воспользоваться табличными значе­ниями преобразования. Чтобы осуществить это обратное преобра­зование, необходимо сложную передаточную функцию заменить суммой нескольких простых функций.

В общем случае передаточная функция системы определяется по формуле:

(1)

Если разложить ее на составляющие, то она принимает вид:

(p) = (2)

Корни квадратного уравнения знаменателя, т.е. определяются по формуле:

(3)

Здесь запись – корень квадратный из выражения , а само это выражение является дискриминантом квадратного уравнения, т.е.

D = .

В зависимости от значения дискриминанта D = возмож­ны три случая:

1. D > 0;

2. D = 0;

3. D < 0.

1. При D > 0 получим два разных корня с действительными значениями р₁

и р₂. Квадратное уравнение примет вид:

(4)

и тогда передаточная функция системы запишется следующим образом:

(5)

Замените это выражение суммой двух составляющих:

(6)

Коэффициенты A и B неизвестны и должны быть определены, для этого приведите к общему знаменателю эти два слагаемых, раскройте скобки:

Сгруппируйте подобные члены и вынесите р за скобку:

(7)

Сравнивая числители в выражениях (1) и (7), за­пишите систему уравнений:

(8)

Эту систему уравнений решите относительно А и В.

Примечание: здесь и в дальнейших расчетах значения p₁ и р₂ – положительные числа согласно формуле (4).

подставим А во второе уравнение:

или или

получим:

(9)

найдем А:

приведем это выражение к общему знаменателю, получим:

подчеркнутые выражения сокращаются

(10)

Примечание: Обратите внимание на то, что коэффициенты A и B не должны иметь одинаковые знаки.

Определив коэффициенты А и В, получим две составляющие:

По таблице обратных преобразований Лапласа находим:

Переходный процесс будет определяться суммой этих состав­ляющих

или

(11)

(12)

Формулы (11,12) и есть временная функция переходного процесса (при D > 0), полученная путем преобразования передаточной функции системы, т.е. мы от оператора Лапласа р перешли к временной функции t.

Для построения временной функции вычислите ее значение при t =0 - Y(0) и определите максимум этой функции Y_max (t) через первую производную - Y⁽¹⁾ =0.

для формулы (11):

• при t =0 Y(0)=A  B, так как exp(0) = 1 , то exp(p₁t) = 1 и exp (p₂t) =1), (на рис.2 – это значение 2).

• первая производная определяется следующим образом:

(13)

перенесем выражение в правую часть уравнения, получим:

(14)

разделим обе части уравнения (14) на одну из величин: либо на

либо на , для того, чтобы в одной из частей уравнения получить единицу.

=1 (15)

примем , тогда выражение (15) примет вид:

(16)

)

выражение (16) примет вид: К* exp(t*(p₁p₂)) = 1, отсюда:

exp(t*(p₁p₂)) = 1/К (17)

Прологарифмируем обе части уравнения (17), получим:

t*(p₁p₂)*Ln(e) = Ln(1/K) (18)

Ln(e)=1, тогда t*(p₁p₂) = Ln(1/K), отсюда получаем:

t_max = Ln(1/K)/(p₁p₂) (19)

Формула (19) определяет время, когда временная функция (11) имеет максимальное значение.

Подставьте это значение (t_max) в исходное уравнение (формула 11) и определите максимум временной функции: (на рис.2 – это точка А)

Y_max (t) = A*exp(p₁t_max)  B*exp(p₂t_max)

Построение графика осуществляйте с учетом вычисленных значений.

рис 2.

Для формулы (12) вычисления аналогичные, только изменятся знаки при коэффициентах А и В.

Числовой пример смотрите /2 стр. 95,96 /, /7 практическая работа № 4/

2. В случае D < 0, корни являются комплексными величинами р = а ± ib. Эти корни определяются выражением (3).

Здесь 4A₀ >A₁². Исходя из этого, можно написать:

p₁=(-0,5A₁ +0,5A_ki) и p₂=(-0,5A₁ - 0,5A_ki), где

(20)

Выпишите из формулы (1) значения А₀ и А₁ и вычислите значение А_к по выше приведенной формуле (20).

Коэффициенты А и В в формуле (2) определяются следующим образом:

А= ; В=

После преобразований получим:

В= 0,5В₁+ i = С₀ + iС₁;

А= 0,5В₁- i = С₀ - iС₁ (21)

Из формулы (21) видно, что:

С₀= 0,5*В₁ (22)

С₁= (В₀  0,5А₁В₁)/А_к (23)

Выпишите из формулы (1) значения В₀ и В₁ и вычислите С₀ и С₁ по выше приведенным формулам (22, 23).

Обратное преобразование составляющих переходного процес­са даст следующие выражения:

(24)

Переходная функция будет описываться двумя гармоническими функциями (24), их можно заменить одной, если определить модуль (М) и фазу (φ) результирующего колебания.

Заменив две гармонические функции одной при условии, что

М= и (25)

получите временную функцию переходного процесса:

Y(t) = 2exp(-0,5А₁t)Msin(0,5А_kt+ ) (26)

Формула (26) и есть временная функция переходного процесса (при D < 0), полученная путем преобразования передаточной функции системы, т.е. мы от оператора Лапласа р перешли к временной функции t.

По формуле (25) определите модуль (М) и фазу (φ). Значение угла φ в формуле (25) получено в радианах. Чтобы перевести его в градусы примените формулу: 1 радиан = 180⁰ / π ≈ 57 ⁰.

Запишите полученную функцию переходного процесса, подставив в уравнение (26) все вычисленные значения.

Построение графика осуществляйте с учетом реперных точек гармонической функции. Эти точки определяют­ся выражением:

Смотри /2 рис. 1.29 в/.

Для построения временной функции рассчитайте характерные точки гармонической функции, для этого:

1. определите число радиан в фазовом угле, составив пропорцию

и решив ее относительно R

2. определите момент времени t₁ когда гармоническая функция равна нулю (см. рис. 3), решив равенство:

3. второй момент времени t₂ определите с помощью выражения:

4. момент времени, когда гармоническая функция имеет максимальное отрицательное значение (1), определите с помощью выражени­я: t₁₂ = (t₁ + t₂)/2

5. момент времени, когда гармоническая функция имеет макси­мальное положительное значение (+1), определите с помощью выражени­я: t₀₁= t₁₂  t₁

6. постройте график гармонической функции (пунктирной линией), указав на нем все вычисленные моменты времени. Y(t) = sin (0,5A_k t + φ)

рис.3

Аналогичным образом можно определить все моменты времени, когда гармоническая функция принимает максимальные значения. Зная эти моменты времени, можно определить амплитуды гармонического колебания.

7. определите амплитуды гармонического колебания в разные мо­менты времени, для этого эти моменты времени, подставьте в функцию (26). Моменты времени подставляются в выра­жения ехр(0,5A_K t₀₁) и ехр(0,5A_K t₁₂) и т.д.

8. вычислите значение функции при t = 0 - Y(0), (на рис 4 – это значение 3,16).

По этим данным постройте график переходного процесса.

рис 4.

Числовой пример смотрите /2 стр. 101 /, /7 практическая работа № 4/