2). Решить уравнение в поле комплексных чисел:

        .

Решение. Находим дискриминант  . По формуле корнейквадратного уравнения находим корни:

. Ответ:  .

   Замечание. Здесь мы использовали равенство  , откуда  .

   Определим операцию деления в любом поле К как умножение на обратный элемент:   положим по определению   и    .

   Легко проверить, что  ,

 (6)             .

 Действительно, 

.

   Однако, нет необходимости запоминать формулу (6). Лучше использовать одно простое правило. Но для этого введем сначала одно понятие.

Определение. Комплексное число   называется комплексносопряженным комплексному числу  .

   Из определения сразу же следует, что число   являетсякомплексно сопряженным числу  , т.е. такие числа, которые отличаются друг от друга лишь знаком мнимой части являютсякомплексно сопряженными друг другу.

Пример:   и  , i  и – i,   и т.п.

Правило деления комплексных чисел.

Для того, чтобы разделить одно комплексное число на другое, нужно числитель и знаменатель дроби умножить на число комплексносопряженное знаменателю.

.

Примеры.  ,

,  ,  .

Замечание. Если  , то комплексно сопряженное к нему число обозначается  .

П.4. Свойства комплексно сопряженных чисел.

1.     .

2.    .

3.     .

4.    .

5.    

6.    .

7.    .

8.   

9. Для любого многочлена   с действительными коэффициентами от комплексной переменной z

     .

Доказательство. 1) Пусть   – произвольное комплексное число. Тогда по определению комплексно сопряженного числа   и  , ч.т.д.

2) Пусть  . Тогда   и  . С другой стороны,   и  , откуда и следует, что  .

3) Докажем с помощью метода математической индукции, что равенство   верно для любого числа слагаемых n.

а) База индукции.

При  ,   равенство    только что доказано.

б) Индукционная гипотеза.

Предположим, что утверждение верно, если число слагаемых равно  : .

в) Индукционный переход.

Так как утверждение верно для двух слагаемых, то

. Далее используем индукционное предположение:

, откуда и следует доказываемое равенство.

4) Пусть  . Тогда   и  . С другой стороны,  , откуда и следует, что  .

5) Доказывается аналогично пункту 3) методом математической индукции.

6) Пусть   и k – произвольное натуральное число. Тогда по определению натуральной степени числа  , ч.т.д.

7) Пусть а – действительное число. Тогда   и по определению комплексно сопряженного числа  , ч.т.д.

8) Пусть  . По уже доказанным в пунктах 4) и 7) свойствах   , ч.т.д.

9) Пусть z – комплексная переменная и   – многочлен от комплекснойпеременной z с действительными коэффициентами: , где

– действительные числа. Тогда, используя уже доказанные свойства, получаем:

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Пример. Вычислить  .

Решение. Обозначим  . Тогда  ,  ,  . Отсюда,  .

п.1.Формула Муавра.

Теорема. (Формула Муавра, 1707 г.)

Для любого целого числа n и любого действительного числа   имеет место следующее равенство:

              .                     (1)

   Доказательство. Разобьем доказательство на 3 этапа.

1) Пусть   – натуральное число. Так как комплексное число   имеет модуль  , то справедливость формулы Муавра в этом случае следует из следствия 2 теоремы об умножении комплексных чисел в тригонометрической форме записи.

2) Пусть теперь  . Тогда

, ч.т.д.

3) Пусть  , где   – натуральное число. Тогда по свойству целых степеней, которые справедливы в любом поле, в том числе и в полекомплексных чисел, имеем:

.

   Здесь мы использовали уже доказанные случаи формулы Муавра возведения в натуральную степень и в степень, равную (–1).

Теорема доказана.

Следствие. (О целых степенях комплексного числа.)

Пусть  . Тогда 

                .

Доказательство предоставляется читателю.

п.2. Деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи.

Теорема. (О делении комплексных чисел в тригонометрической форме)

Пусть  , где   и  , где   – два произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме. Тогда

              .                (2)

   Доказательство. Воспользуемся следствием формулы Муавра и правилом умножения комплексных чисел в тригонометрической форме записи. Получаем:

 

, ч.т.д.

Пример 1. Запишите комплексные числа   и   в тригонометрической форме и найдите их произведение   и частное  .

Решение. 1) Комплексное число   на комплексной плоскостинаходится во второй четверти, поэтому

,  .

2) Комплексное число   на комплексной плоскости находится во четвертой четверти, поэтому

,  .

3) 

.

Ответ:  ,  .

Пример 2. Вычислить  .

Решение. Комплексное число   на комплексной плоскостинаходится в третьей четверти, поэтому  , 

Применим формулу Муавра:

.