1.7. Аксиоматическое определение вероятности

Аксиоматический подход основывается на основных свойствах вероятности, подмеченных на примерах классического определения и частоты.

Пусть Е - пространство элементарных событий, a Q - класс событий (набор подмножеств множества Е). Будем считать, что в результате любых введенных выше операций над событиями, вновь получаются события этого же класса.

Пример 11. Опыт состоит из подбрасывания игральной кости один раз. Здесь Е - {е_х, е_г,..., е₆}. Выпишем все события, которые образуют Q. Тогда {0, s ’ ^5}’ > ^2 » }»*••> fei > ^1 ^s}^—

Замечание. Число подмножеств множества из N элементов с учетом Е и 0 равно 2^N . Например, в рассмотренном выше примере число таких подмножеств равно 2⁶ = 64 .

Определение 2. Числовая функция Р, определяемая на классе событий

О, называется вероятностью, если выполнены следующие аксиомы:

1. VAeil: P(A)t 0;

2. Р(Е) = 1;

3. Если -4,, А₂А_п несовместные события, то

р(а_} +а₂ +...+л„)=р(л₁)+р(а₂)+:..+р(л;_!).

Из этого определения следуют свойства:

1. Р(А) = 1-Р(А) V^efi.

Действительно, так как А + А = Е => Р(А+А) = Р(Е) и, с учетом

аксиом 2 и 3, получаем Р(А) + Р(А) = 1 .

2. /^>(0)= 0 .

Действительно, так как Е — 0 , то с учетом свойства 1 и аксиомы 2, получаем /40) *= Р(Е) = 1 — Р(Е) = 1 — 1 = 0.

3. Если А,,А₂,...,А_п образуют полную группу событий, т.е.

Л, + Л₂ +...+ - Е, то ЛЛ|) + /^,(Л₇)+ - +^К) = ¹.

Это следует из аксиом 2—3.

10iP(A)S\ VAeQ,

'fio следует ш свойства 3 и аксиомы 1.

1. Теорема умножения вероятностей

Определение 1. Условной вероятностью события В при условии, что событие А произошло, называется вероятность, определяемая формулой

_, _вч Р{АВ)

РЛВ) = ’ (1)

,'Р{А) ^КЧ

Это можно легко показать для случая классического определения веро­ятности. Будем считать, что формула справедлива в общем случае и про­иллюстрируем её на примере.

Пример 1. В урне 3 белых и 3 синих шара. Из урны вынут один шар, затем второй. Рассмотрим два события: А - первым вынут белый шар, В - вторым вынут синий, тогда АВ - вынуты по очереди белый и синий шары.

2. 3 С¹-С¹ 9 3

Найдем вероятности: 1Щ I =—; Р(АВ) = — =—=— подста­

вив эти вероятности в формулу (1), убеждаемся, что она справедлива.

Определение 2. Если Р_А(В) = Р(В) и Р_В(А) = Р(А), то такие события называются независимыми.

"Теорема 1. УА,ВеС11 Р(АВ) = Р(А)Р_Л(В) = Р(В)Р„(А). (2)

Это следует из формулы (1).

Следствие 1. Для независимых событий Р(АВ)= Р(А)Р(В).

Следствие 2. Если обозначить Р(А₁) = р_: и Р(А^)=д_{, то вероятность появления хотя бы одного из событий, независимых в совокупности, равна

^Р_(^А1⁼¹~_3¹⁹²"^д-'

Рассмотрим событие А₁ А₂... А _п - ни одного из событий А\ не наступило. Тогда по следствию 1 из определения вероятности получим Р(А) = 1 - Р(1₁А₂...А_Я) = 1 - д,д₂..д_я.

2. Теорема сложения вероятностей

Теорема2. УА,ВеП: Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(АВ). (4)

Из диаграммы событйй легко получить_равенства:

А + В = Л + ВА'? В = АВ + АВ, где А, В А и АВ, А В - попарно несовместные события.

Тогда, согласно третьей аксиоме, получаем Р(Л,+ В) = Р\А) + Р(ВА) и Р(В)= Р(АВ) + Р(АВ).

Если из последнего равенства выразить Р(АВ) Р(В) - ^

подставить в первое, то получим формулу (4).

Следствие 3. Если А и В — несовместные события, то получаем третью аксиому.

Пример 2. Вероятности попадания при Двух выстрелах соответственно равны р_х =0,8; р₂= 0,9. Найти вероятность поражения цели.

Вероятность поражения цели представляет собой событие А + В, гд_е событие А - поражение цели при первом выстреле, а событие В - поражение при втором выстреле.

Первый способ: По теореме сложения вероятностей получаем Р(А+В) = Р(А)+Р(В) - Р(АВ) = 0,8 + 0,9-0,72 = 0,98.

Второй способ: По формуле (3) получаем

Р(А + В) = 1-^₂ =1-0,2 0,1 = 0,98.

Пример 3. Устройство содержит три независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны: 0,05; 0,06; 0,08. Найти вероятности событий:

1. Откажет один элемент.

Введём события: А - интересующее нас событие; В - отказал первый элемент; С - отказал второй элемент; Г) - отказал третий элемент.

Тогда

А = ВСГ> + ВС1) + ВСВ

и, согласно теоремам об умножении и сложении вероятностей, получим

Р(А) = Р(В ■ С • 5) + Р(В ■ С ■ 3) + Р(В • С • В) =

= 0,05-0,94-0,92+ 0,95-0,06-0,92+ 0,95-0,94-0,08 = 0,167.

2. Ни один элемент не откажет.

Здесь интересующее нас событие А = В • С ■ '3 и тогда Р(А) = Р( В ■ С• В) = 0,95 • 0,94 • 0,92 = 0,8216.

3. Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из событий В), В₂,..., В_{п г} образующих полную группу событий. Будем называть их гипотезами. Пусть известны вероятности гипотез:

Р(В_г),..., Р(В_п) и условные вероятности: Рв,Ы)> ”в_г (") в„ (А).

/огда имеет место формула полной вероятности Теорема 3,

Г<Л,*£пн^Р,и)~Р(В₁)Р,₁(А)+Р(В₁)Р,,(А)+..лРЮ^Р1.(^А'>- (5) Щ

Тогда по третьей ахсиоме и теореме умножения вероятностей

получим

Р(А) = Р(ЛВ₁) + Р(АВ₂) + ... + Р(АВ_и) = = Р( Я, )Р_В, (Л) + Р(В₂ )Р_В} (А) +... + Р(В_п )Р_Вй (А).

Пример 4. Три станка выпускают одинаковую продукцию. Первый станок выпускает 20%, из них - 5% брака, второй - 30% и 3% брака, третий - 50% и 2% брака. Из общей партии берётся наудачу деталь. Какая вероятность того, что эта деталь бракована?

Пусть А - интересующее нас событие, в качестве гипотез рассмотрим события:

; 5, - деталь изготовлена на первом станке, Р(В_г) = 0,2; Р_й (А) = 0,05;

В₂"‘ деталь изготовлена на втором станке, Р(В₂) = 0,3; Р_Вг(А) = 0,03;

В₃ - деталь изготовлена на третьем станке, Р(В_Ъ) = 0,5; Р_В (А) = 0,02.

Тогда по формуле (5) получим

Р(А) = Р(В_х)Р_В1 (А) + Р(В₂)Р_Вг (А) + Р(В₃)Р_В: (А) = = 0,2-0,05 + 0,3 0,03 + 0,5-0,02 = 0,029.

3. Формула Бейеса

У

или, с учетом формулы полной вероятности, получаем

(6)

щ

Пример 5. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, т котором находится бензоколонка, относится к числу легковых как 3:2.

словия такие же, как и для формулы полной вероятности. Пусть событие А произошло, тогда вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Бейеса.

вероятность того, что будет заправляться грузовая равна 0 1 К заправке подъехала машина. Найти вероятность того, что ІІЩЩІ

В ведём гипотезы:

3

В!-подъехала грузовая машина, °С® і) ⁼ Т I ^в, (Л) = од,

2

В₂ - подъехала легковая машина, Р(Вг) ⁼ ~ Ї ^в₂(^) = 0,2.

Тогда по формуле (6) получаем

Р(В) 0.6 0.1 0^ з

^{Д 0} Р(В,)Р_Ві(А)+Р(В₂)Р_Ік(А) 0,6 0,1+0,4 0,2 0,14 ⁼ 7'

3. Повторение испытаний

1. Независимые испытания. Формула Бернулли

Испытание - это осуществление определённых условий, в результате которых может произойти то или иное элементарное событие простран­ства Е. Если число исходов испытания - т, то назовём событие Л₁ - щ исходом (і — 1, 2,..., т). Обозначим Р\ — ^(Д ) и будем считать, что все

т

события А_і образуют полную группу событий, тогда

Пусть произведено п испытаний.

Определение 1. Если исходы испытания в каждом опыте не зависят от предыдущих исходов, то испытания называются независимыми.

Например, при бросании игральной кости, исходы: выпало одно, два очка и т.д. не зависят от предыдущих очков — испытания независимые.

Рассмотрим случай ТП = 2 (схема Бернулли). Положим р\⁼ Р> Рг ~1-Рг ~Ч, т.е. Р(А) = р, Р(А) =4 .

Рассмотрим следующую задачу. Пусть произведено п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одной и той же вероятностью р. Требуется найти Щ ЙЙ - вероятность того, что событие А появится к раз, а событие А появится п — к раз.

Рассмотрим в какой либо последовательности чередование событий А и А так, чтобы А повторялось к раз, а событие А появилось п — к раз. Это событие В — А А А А А-... А. По теореме умножения вероятностей получаем

Р(В) = Р(А)Р(А)Р(А)Р(А)Р(А)...Р(А) = V \

По теореме сложения вероятностей Р_п(к) равна сумме тагих вероятностей для веек различных способов появлений события А (к раз

Г*

из п), т.е. их число Чв к\(п-к)\‘ ^^0СК0ЛЬКУ ^{800 уги} вероятности равны, то получаем формулу Бернулли

Замечание 1. Так как все возможные исходы (событие >4 появилось

О раз, 1 раз,..., п раз) образуют полную группу событий, то

р,(о)+ЗД+ад+...+ад=£ад=і-

*=о

Пример 1. Студент выучил 18 вопросов из 30, вынесенных на зачет. На зачете преподаватель предлагает ответить на три вопроса и в случае правильного ответа на два вопроса студент получает зачет. Найги веро­ятность сдачи зачета.

Очевидно, что вероятность правильного ответа студента на случайно

выбранный вопрос равна Р — ⁼ 0,6, а вероятность неправильного

ответа ^ = 1 —/7 = 0,4.

Для получения зачета студент должен ответить на два из трех или на все три вопроса, т.е. вероятность сдачи зачета

Р = Р,( 2) + Р₃(3) = Сір’д + С’рУ =

= й)².0,4 + ^-І (0,6)^! 1 = 3 0,144 + 0,216 = 0,648.

1-2 1-2-3 .

Пример 2. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0, 96. Найти вероятность трёх попаданий при четырёх выстрелах.

Если р * - вероятность хотя бы одного попадания при двух выст­релах, то

р* - 0,96 -1 -д² => 4 = 0,2, тогда вероятность одного попадания р = 0,8 и вероятность трёх попа­даний при четырёх выстрелах

^Ра(3)= змГЇ'(^0,8)³' °’^{2 = 0}’⁴⁰⁹⁶ •

Рассмотрим более общий случай, когда при п испытаниях число исходов каждого испытания ш > 2 и пусть р | - вероятность того, что событие А_і произойдет (Ї * 1, 2, 3, ..., їй) .

Тогда вероятность того, что событие А_х произойдет р_ад

А 2 произойдет к 2 раз, ... И событие А_т произойдет к п„ж|0 :¹ _: ■ • раз, йЦ

ляется по формуле

?„(*,, к₂,...,к_т) =

где Л,

Пример 3. Игральная кость брошена 10 раз. Найти вероятность того что одно очко выпадет два раза, два очка - ни разу, три очка - один щ четыре очка-два раза, пять очков-три раза и шесть очков - два раза

Здесь количество исходов испытаний

к_г = 2, к₂ = 0, £₃ = 1., *₄ = 2, к₅ = 3, к₆ = 2, а вероятности этих исходов

1

Аг ~Рг - А ~ Р* 5т Рз ВРб ъ 7*

о

Тогда найдем искомую вероятность по формуле (2)

Ло(2» 0,1, 2, 3, 2) =

— Г-| = 0,00125.

3. !• 0!-1 !• 2!-3 !* 2! 1б

2. Локальная теорема Муавра — Лапласа

При больших значениях п формулу (1) использовать затруднительно. Поэтому возникает вопрос о замене её некоторой асимптотической формулой, т.е. приближенной, справедливой при больших п.

Теорема 1. Если вероятность появления события А в каждом из независимых испытаний постоянна и равна р, то вероятность Р„(к) при больших п приближенно равна значению функции

_ к - пр ^{при (3)}

\inpq

Значения функции (р(х) берутся из таблицы (прил. 1), при этом <р(х) - четная функция, т.е. <р(~х) = <р(х) .

Пример 4. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероят­ность того, что среди 100 новорожденных окажется половина мальчиков.

Вероятность такого события вычисляем по формуле (3) при п — 100 и к - 50. Имеем

50-100-0,51

-0,2,

VI00 0,51 0,49

^/>'“⁽⁵⁰⁾ * >»:оТ»-,.49*°-²⁾■ '-Щ-- где значение <р(0,2)ї= 0,39.10 взято из таблицы значений функции <р(х).