1. Основные положения теории расчета стержневых систем на устойчивость методом перемещений

1.1. Исходные предпосылки

При построении теории расчета нa устойчивость стержневых систем со сжатыми элементами методом перемещений принимаются следующие допущения и рабочие гипотезы:

1) рассматриваются системы физически и геометрически линейные;

^*) Понятие идеализированной системы раскрыто в Приложении, где кратко представлены основные положения и определения теории устойчивости сооружений.

2) расчетная схема системы – идеализированная по геометрии и воздействиям (нагрузкам)^*);

3) стержни считаются несжимаемыми

и нерастяжимыми (за исключением эле-

ментов типа затяжек, подвесок и т.п., про-

дольные деформации которых могут быть

соизмеримыми с перемещениями, возникающими за счет изгиба других элементов);

4) сближением концов стержня, вызванным его изгибом, пренебрегают (иными словами, считается, что длина хорды, соединяющей концы изогнутого j-го стержня, равна его первоначальной длине l_j ), т.е. l_j ;

5) растягивающие продольные силы, возникающие в исходном состоянии, в расчет не принимаются (в запас устойчивости);

6) деформации сдвига не учитываются.

Раскроем смысл и значение сформулированных предпосылок.

Первая из них означает, что

а) элементы считаются изготовленными из материалов, обладающих свойством линейной упругости; внутренние и внешние связи – идеальные (абсолютно жесткие или линейно упругоподатливые, шарниры – без трения) – таким образом обеспечивается физическая линейность;

б) перемещения системы при переходе из теряющего устойчивость исходного равновесного состояния в новую форму равновесия, характеризующуюся искривлением и изгибом стержней (а в пространственных системах – также и кручением), предполагаются малыми (линейные перемещения – в сравнении с длинами элементов, а угловые – в сравнении с единицей) – это дает геометрическую линейность. Отсюда вытекают следствия:

– при аналитическом описании напряженно-деформированного состояния элементов системы после потери устойчивости используется приближенное (линеаризованное) выражение кривизны оси вместо точного (нелинейного) – см. Приложение;

– изгибающие и крутящие моменты, поперечные силы и приращения продольных сил, возникающие в элементах при отклонениях от исходной формы равновесия, малы (в частности, << , где = N_j – ; N_j – продольная сила в j-ом стержне после потери устойчивости), поэтому отношение продольных сил в новой (изгибно-крутильной) форме равновесия считается таким же, как в исходной форме:

N₁: … : N_j : … : N_m = ( ): … :( ): … :( )

: … : : … : = ₁ : … : _j : … : _m .

Вторая предпосылка об идеальном характере системы применительно к расчету методом перемещений дает:

^*) Для решения методом перемещений задач устойчивости apoк и других систем с криволинейными элементами используется способ заменяющей рамы – с аппроксимацией криволинейной оси вписанным многоугольником.

а) в отношении геометрии – стержневые элементы не имеют несовершенств, т.е.:

– оси стержней идеально прямоли-

нейны^*) (для армированных или

многослойных стержней следует

рассматривать оси приведенных

цент­ров тяжести сечений, при этом материалы, из которых изготовлены элементы, однородны и обладают совершенной структу-

рой – нет трещин, пустот и других дефектов);

– отсутствуют отклонения от заданной формы сечений;

^*) Такие нагрузки иногда также называют «мертвыми», см. например:

Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости / В.В. Боло-тин. – М.: Физматгиз, 1961. – 340 с.

б) в отношении силовых воздействий – нагрузки сосредоточенные узловые, консервативные^*),

т.е. сохраняющие первоначальное

направление при отклонениях си-

стемы от исходного равновесного

состояния. Нагружение – простое (пропорциональное), при котором все нагрузки задаются с точностью до общего параметра F: F_t = _t F, t = 1,2,…, u (_t – известные числовые коэффициенты, u – число узловых нагрузок), следовательно, в любой момент нагружения, вплоть до критического состояния (0 < F F_cr), отношение нагрузок остается неизменным: F₁ : F₂ : … : F_t : … : F_u = = ₁ : ₂ : … : _t : … : _u. Значения коэффициентов ₁, ₂ , … , _u таковы, что в исходном состоянии стержни не испытывают изгиба и кручения – имеет место лишь осевое сжатие или растяжение, причем продольные силы в элементах из условий равновесия узлов выражаются через параметр нагрузки: j = 1,2,…, m (m – число стержней; ₁, ₂,…, _m – числовые коэффициенты, определяемые как линейные комбинации известных коэффициентов₁, ₂,…, _u ).

Если состояние реальной системы при заданных нагрузках не является безмоментным, как, например, в раме (рис. 1.1, а), то для перехода к идеализированным нагрузкам выполняется обычный расчет системы (результат – эпюры М и N, представленные на рис. 1.1, б, в), после чего в узлы рамы прикладываются сосре-

q а) EI1 F F h EI2 EI2 l

3MC /(2h) б) MC MC M MC /2 MC /2

ql /2 в) F2 N ql /2+F

F1 F1 г) F2 F F a1 a2 F1 = ql /2 F2 = 3MC /(2h)

Рис. 1.1

доточенные силы, равные найденным продольным силам в стерж-нях, примыкающих к соответствующим узлам (см рис. 1.1, г). Направления узловых нагрузок назначаются согласно знакам продольных сил. Соотношение q и F должно быть известно, тогда определению подлежит критическое значение одного из них – q_cr или F_cr . Заметим, что точки а₁ и а₂ , где приложены силы F, следует включить в число расчетных узлов при формировании основной системы метода перемещений.

Допущения 3 и 4 – обычные для метода перемещений. Так же как в расчетах на прочность, они вносят весьма малые погрешности в результаты исследования устойчивости, обеспечивая в то же время значительное упрощение решения задачи. Введение условия l_j означает пренебрежение сближением концов изгибаемого стержня как величиной столь же малой в сравнении с прогибами, как прогибы по отношению к длине стержня.

Рабочие гипотезы 5 и 6 не носят принципиального характера – следствием их является некоторое упрощение математической стороны решения. При необходимости от них отказываются (например, в тех случаях, когда нельзя пренебрегать деформацией сдвига – для элементов сквозного сечения, тонкостенных или изготовленных из материалов с низким модулем сдвига; или при наличии в системе растянутых стержней целесообразно учесть их благоприятное влияние на устойчивость сооружения). Отказ от этих предпосылок не изменяет, в основном, ни последовательности расчета, ни структу­ры основных уравнений.

Самыми сильными из всех допущений являются первые два, представляющие собой общие предпосылки линейной теории устойчивости. Свойст­ва, которыми они наделяют расчетную схему, могут заметно отличать­ся от свойств реального сооружения. Но зато радикально упрощается процедура расчета, который выполняется в бифуркационной постановке.

В заключение отметим, что из всех допущений только отрицание сближения концов стержня при его изгибе и требование узлового загружения являются специфическими для решения задач устойчивости методом перемещений.