Задача №3

Определить скорости и угловое ускорение точек плоского механизма.

Плоский механизм состоит из стержней 1,2,3 и ползунов В и Е, Д или из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1 и О2 шарнирами; точка Д находится на серединах соответствующих стержней.

Длины стержней равны соответственно: l1=0,6 м; l2=1,2 м; l3=1,4 м; l4=1,0 м.

Положение механизма определяется углами ,,,,. и - угловые скорости стержней 1 и 4 постоянные величины. Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки. Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом .

Решение (рис.7).

Дано:  =120; =60; =90; =0; =30; AD=DE; l1=0,6 м; l2=1,2 м; l3=1,4 м; l4=1,0 м.

1=5с^-1.

Определить , V_E , .

1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. 8).

2. Определяем V_E

Точ­ка Е при­над­ле­жит стерж­ню АЕ. Что­бы най­ти V_E , на­до знать ско­рость ка­кой-ни­будь дру­гой точ­ки это­го стерж­ня и на­прав­ле­ние V_E. По дан­ным за­да­чи мо­жем оп­ре­де­лить

V_А = м/c V_АО₁А

На­прав­ле­ние V_E най­дем, уч­тя, что точ­ка Е при­над­ле­жит од­но­вре­мен­но стерж­ню О₂Е, вра­щающемуся во­круг О₂; => V_EО₂Е

Те­перь, зная V_А и на­прав­ле­ние V_E вос­поль­зу­ем­ся те­о­ре­мой о про­ек­ци­ях ско­ро­стей двух то­чек те­ла (стерж­ня АЕ) на пря­мую со­еди­ня­ю­щие этим точ­ки (пря­мая АЕ).

Сна­ча­ла по этой те­о­ре­ме ус­та­нав­ли­ва­ем в ка­кую сто­ро­ну на­прав­лен век­тор V_E (про­ек­ции ско­ро­стей долж­ны иметь оди­на­ко­вые зна­ки). За­тем, вы­чис­ляя эти про­ек­ции, на­хо­дим:

V_E * cos 60⁰ = V_A * cos 30⁰; V_E = 5,2 м/с

3. Определим

Точка В принадлежит стержню BD=>, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АЕ. Для этого, зная V_А и V_E построим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АЕ; это точка С2, лежащая на пересечении перпендикуляров к V_А и V_E, восстановленных из точек А и Е (к V_А и V_E перпендикулярны стержни 1 и 4). По направление вектору V_А определяем направление поворота стержня АЕ вокруг МЦС С2. Вектор будет перпендикулярен отрезку С₂D, соединяющему точки D и C₂ и направлен в сторону поворота.

Величину найдем из пропорции:

/ С₂D = V_A /С₂А

Чтобы вычислить C₂D и C₂A, заметим что AC₂E - прямоугольный, т.к. острые углы в нем равны 30 и 60, и что C₂А=АЕ*sin30=0,5AE=AD. Тогда

AC₂D является равносторонним и C₂D= C₂A. В результате получим

= V_{A *}С₂D / С₂А = V_A = 3м/с

Т.к. точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно, то направление известно. Тогда, восстанавливаем из точек B и D перпендикуляры к скоростям и , построим МЦС C₃ стержня BD. По направлению вектора определим направление поворота стержня BD вокруг центра C₃. Вектор будет направлен в сторону поворота стержня BD. Из рисунка видно, что а =>

Составив пропорцию найдем, что

, м/с

4. Определяем 

Т.к. МЦС стержня 3 известен (точка С3), то