Тема 5. Середні величини

1. Поняття про середню величину.

2. Середня арифметична.

3. Середня гармонійна.

4. Середня геометрична.

5. Ряди розподілу.

1.

Кожен елемент сукупності може відрізнятися від інших елементів рівнем типової ознаки. Щоб відокремити типовий рівень від індивідуальних застосовують метод абстрагування. Абстрагуватись від можливих варіацій типової ознаки значить розрахувати її середній рівень. В середній величині індивідуальні відмінності рівнів типової ознаки елементів взаємно гасяться, і тому така типова ознака виступає сутністю сукупності. Проте, саме у цей елемент відображатиме сутність цієї сукупності.

Середня величина буде носієм типовості лише у тому випадку, коли статистична сукупність буде однорідною. Це перша умова застосування середніх величин. Другою умовою є те, що середня величина не змінює числа одиниць у сукупності.

Обидві умови дозволяють побудувати логічну формулу розрахунку середньої величини:

2.

Найуживанішу середню величину назвали арифметичну простою. Вона застосовується тоді, коли відома кількість елементів сукупності і відомі значення типової ознаки усіх одиниць сукупності.

Якщо значення типової ознаки повторюються, то застосовується середня арифметична зважена. (добуток значень ознаки на число елементів, у яких це значення повторюється, називається зважуванням).

Приклад.

Необхідно знайти середній розряд робітників, якщо відомо, що робітників 5-го розряду – 4 чоловіки, робітників 4-го розряду – 7 чоловік, робітників 3-го розряду – 2 чоловіки.

Середня не збігається з жодним значенням розряду, але це типовий рівень кваліфікації.

Різновидом середньої арифметичної величини є середня прогресивна величина. Для її розрахунку береться лише частина елементів сукупності, причому та частина, в межах якої елементи сукупності мають прогресивні значення типової ознаки.

Приклад.

Кожен з десяти робітників виготовив за зміну відповідно: 20, 25, 18, 21, 19, 22, 26, 24, 23, 27 деталей. Визначити середній прогресивний виробіток робітників.

Розв’язок.

1. Упорядковуємо ряд показників виробітку: 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27.

2. Визначаємо середній виробіток:

3. Визначаємо середній виробіток з тих показників, які є прогресивними (у нашому випадку більшими від 22,5 деталей за зміну):

3.

Якщо середню арифметичну неможливо знайти через відсутність даних про число одиниць сукупності, але якщо це число можна обчислити, і записати спосіб обчислення на місце числа одиниць сукупності, то така модифікована середня арифметична називатиметься середньою гармонійною.

Приклад.

Двоє робітників протягом 40 хвилин виготовляли однакові деталі. Перший робітник витрачав на виготовлення однієї деталі 2 хв., другий – 3 хв. Обчислити середні витрати часу на виготовлення однієї деталі.

Розв’язок.

Загальна формула середньої гармонійної простої:

;

Загальна формула середньої гармонійної зваженої:

;

Приклад.

У одного продавця придбали товару на 150 грн. по 3 гривні за кілограм. У іншого продавця придбали товару на 300 грн. по 2 гривні за кілограм. Якою буде середня ціна покупки?

Розв’язок.

Якби у кожного продавця придбали товару на одну гривню, то середня ціна покупки була б:

.

Але у першого і другого продавця придбали товару не на одну гривню, а на 150 і 300 гривень відповідно. Тому покупку першого продавця треба збільшити у 150 разів, а другого – у 300 разів, тобто

Отже, середня гармонійна є модифікованою середньою арифметичною.

4.

У випадках, коли існує необхідність розраховувати середню величину з відносних показників, використовують середню геометричну. Загальна формула середньої геометричної простої така:

;

Приклад.

Внаслідок інфляції ціни за 3 роки зросли у 2,7рази, у тому числі: за 1-й рік у 1,8 рази;

за 2-й рік у 1,2 рази;

за 3-й рік у 1,25 рази.

Визначити середньорічний темп зростання цін.

Розв’язок.

Середня арифметична

не забезпечує точності, бо (рази), а не 2,7 рази.

Точність забезпечується середньою геометричною: (рази).

Якщо часові періоди не однакові то використовують середню геометричну зважену:

;

5.

Статистична сукупність формується під впливом багатьох причин. З одного боку, це спільні для усіх елементів сукупності, причини. З іншого боку, - індивідуальні причини. Спільні причини обумовлюють цілісність сукупності, індивідуальні – її структуру (елементи структури за певною ознакою завжди можна вишикувати в ряд).

Будь-який ряд розподілу характеризує сукупність з якісного та кількісного боку.

З якісного боку ряди розподілу характеризують сукупність назвою групувальної ознаки. Такі ряди розподілу називаються атрибутивними. Прикладом атрибутивного ряду є розподіл пенсіонерів за видами отримуваних пенсій. (Пенсії: за віком; за інвалідністю; у разі втрати годувальника; за вислугою років; соціальні пенсії).

З кількісного боку ряди розподілу характеризують сукупність своїми варіантами і частотами. Варіанта – це значення групувальної ознаки. (Третій розряд, пенсійний вік, вища освіта і т. ін.). Частота – це величина групи, до складу якої входять елементи з однаковою варіантою. Частоти бувають абсолютними, відносними і кумулятивними. Абсолютна частота – це число одиниць у групі. Відносна частота – це питома вага групи у сукупності. Кумулятивна частота – це сума елементів до певного елементу ряду.

Таблиця. Частоти рядів розподілу.

Значення варіант	Абсолютні частоти	Відносні частоти	Кумулятивні частоти
			Абсолютні	відносні
Х1 Х2 Х3 … Хm	С1 С2 С3 … Сm	D1 D2 D3 … Dm	C1 C1+C2 C1+C2+C3 … C1+…+Cm	D1 D1+D2 D1+D2+D3 … D1+…+Dm
Разом	n	100	-	-

Ряд розподілу, який характеризує сукупність з кількісного боку, називається варіаційним.

У співвідношенні варіант і частот проявляються закономірності розподілу. Їх виявляють шляхом пошуку центру розподілу з метою виміру симетричності розподілу.

Центр розподілу знаходять за модою і медіаною.

Мода – це домінантна (найбільш поширена) ознака.

У дискретних рядах мода шукається візуально. Наприклад, розподіл робітників у бригаді за розрядами такий: 1-го розряду 5%; 2-го – 16%; 3-го – 31%; 4-го – 27%; 5-го – 17%; і 6-го розряду 4%. Знайти домінантне значення розряду.

Домінантним є значення третього розряду, бо третій розряд є найбільш поширеним (13%).

У інтервальних рядах мода шукається за формулою: ;

де х_о – нижня межа модального інтервалу;

h – розмах модального інтервалу;

f_m; f_m-1; f_m+1 – частоти відповідно морального, перед модального і після модального інтервалів.

Приклад.

За даними таблиці знайти моду.

Таблиця. Розподіл працівників за стажем роботи.

№	Стаж роботи, років	Чисельність працівників
1 2 3 4	До 6 6 – 9 9 – 12 12 - 15	18 27 32 24

Мода належить 3-му інтервалу. Точне значення моди: .

Медіана – значення ознаки, яке поділяє упорядкований ряд на дві рівні за кількістю елементів частини.

У дискретних рядах медіаною є елемент, який знаходиться в центрі ряду. Наприклад, у ряді 50, 65, 70, 84, 85 медіаною є 70. Якщо ряд налічує парну кількість елементів, то медіана є середньою величиною двох найближчих до середини ряду елементів.

У інтервальних рядах медіану шукають за формулою: ;

Де х_о – нижня межа інтервалу, у якому кумулятивна частота є більшою половини обсягу ряду;

h – розмах модального інтервалу;

- обсяг ряду;

S_m-1 – сума кумулятивних частот перед медіанного інтервалу;

f_me – частота медіанного інтервалу.

Приклад.

За даними таблиці розрахувати медіанний стаж роботи робітників.

Таблиця. Стаж роботи робітників.

Стаж (х), років	Чисельність робітників (с), чол.	Кумулятивні частоти (S), чол.
до 3 3 – 6 6 – 9 9 – 12 12 – 15	12 18 27 32 24	12 30 57 89 113
Разом	113	-

Медіанним є інтервал «6 – 9», бо

57>113/2=56,5.

Це значить, що

Х_о=6; h=3; c=113; S_m-1=30; f_me=27.

Отже, точне розташування центру розподілу буде знаходитись у точці:

Якщо число інтервалів у ряді є парним, то частота медіанного інтервалу буде більшою або дорівнюватиме номеру медіани: ;

В усіх наведених прикладах, ряди розподілу є асиметричними. Якщо виявити причини асиметрії, то можна проектувати ситуації (наприклад, поведінку груп), у яких асиметрія буде або усунута, або збільшена.

26